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二次函数复习

1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．
2．二次函数的三种基本形式
(1)一般式： ；
(2)顶点式： ，它直接显示二次函数的顶点坐标是 ；
(3)交点式： ；
其中x1，x2是图象与x轴交点的 ．

考点三 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与a，b，c及b2－4ac的符号之间的关系

注意：当x＝1时，y＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝a－b＋c.若a＋b＋c＞0，即当x＝1时，y＞0；
若a－b＋c＞0，即当x＝－1时，y＞0.

任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：

温馨提示
二次函数图象间的平移可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函数图象间的平移.

1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出
a，b，c的值．
2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般式．
3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．

若一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(－2,0)，则抛物线y＝ax2＋bx的对称轴为(　 　)
A．直线x＝1 B．直线x＝－2 C．直线x＝－1 D．直线x＝－4
对于抛物线y＝－(x＋1)2＋3，下列结论：
①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1,3)；④x＞1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为(　 　)
A．1. B．2 C．3 D．4
　如图，已知抛物线y1＝－x2＋4x和直线y2＝2x.我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2，若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2.下列判断：
①当x＞2时，M＝y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M＝2，则x＝1.其中正确的有(　 　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式
为(　 　)
A．y＝(x－2)2 B．y＝(x－2)2＋6 C．y＝x2＋6 D．y＝x2
下列二次函数的图象，不能通过函数y＝3x2的图象平移得到的是(　 　)
A．y＝3x2＋2 B．y＝3(x－1)2 C．y＝3(x－1)2＋2 D．y＝2x2
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝x2－2x，其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为(　 　)
A．2 B．4 C．8 D．16

考点三　　用待定系数法求二次函数的解析式
如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0,3)，B(3,0)，C(4,3)，
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；
(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分)．

　如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．

考点四 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0),的图象与a，b，c的关系
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(1,0)和点(0，－2)，且顶点在第三象限，设P＝a－b＋c，则P的取值范围是(　 　)
A．－4＜P＜0　　 B．－4＜P＜－2 C．－2＜P＜0　　 D．－1＜P＜0

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若M＝a＋b－c，N＝4a－2b＋c，P＝2a－b.则M，N，P中，值小于0的数有(　 　)
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
(2013·齐齐哈尔)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点(x1,0)，(2,0)，且－2＜x1＜－1，与y轴正半轴的交点在(0,2)的下方，则下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③2a＋b＋1＜0；④2a＋c＞0.则其中正确结论的序号是(　 　)
A．①②　　 B．②③　　 C．①②④　　 D．①②③④

(2013·河南)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝x＋2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为(3，)．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F.
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．
(3)若存在点P，使∠PCF＝45°，请直接写出相应的点P的坐标．

1． 二次函数y＝2(x－1)2＋3的图象的顶点坐标是( )
A．(1,3) B．(－1,3) C．(1，－3) D．(－1，－3)
2． 把抛物线y＝(x＋1)2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是(　 　)
A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x＋2)2－2 C．y＝x2＋2 D．y＝x2－2
3． 在二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象上，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是(　 　)
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜－1 D．x＞－1
4. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列关系式错误的是(　 　)
A．a＞0 　　　　 　B．c＞0 C．b2－4ac＞0 D．a＋b＋c＞0

5． 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0,1)的抛物线解析式 ．
6． 已知二次函数y＝x2＋bx＋c过点A(1，0)，C(0，－3)．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．

1． 已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是(　 　)
A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
2． 已知两点A(－5，y1)，B(3，y2)均在抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上，点C(x0，y0)是该抛物线的顶点．若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是(　 　)
A．x0＞－5 B．x0＞－1 C．－5＜x0＜－1 D．－2＜x0＜3
3．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴为x＝－1，且过点(－3，0)，下列说法：①abc＜0；②2a－b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(－5，y1)，(，y2)是抛物线上两点，
则y1＞y2.其中说法正确的是(　 　)
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④

4．已知b＜0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为图中四个图象之一，试根据图象分析，a的值应等于(　 　)
　A．－2 　 B．－1 　　 C．1 　　 D．2
5．若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，且过点A(m，n)，B(m＋6，n)．则n＝ .
6． 如图，抛物线的顶点为P(－2,2)，与y轴交于点A(0,3)．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′(2，－2)，点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为 .

7．已知二次函数y＝－x2－7x＋，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0<x1<x2<x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是(　 　)
A．y1>y2>y3 B．y1<y2<y3 C．y2>y3>y1 D．y2<y3<y1
8．抛物线y＝x2＋bx＋c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y＝(x－1)2－4，则b，c的值为(　 　)
A．b＝2，c＝－6 B．b＝2，c＝0 C．b＝－6，c＝8 D．b＝－6，c＝2
9．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，图象经过(3,0)．下列结论中，正确的一项是(　 　)
A．abc＜0 B．2a＋b＜0 C．a－b＋c＜0 D．4ac－b2＜0

10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1,0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0,2)，(0,3)之间(包含端点)，则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a＋b＞0；③－1≤a≤－；④3≤n≤4，正确的是(　 　)
A．①② B．③④ C．①④ D．①③
11．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(0，－3)，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间，你所确定的b的值是 ．
12． 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3,0)，B(－1,0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的顶点坐标．

13．已知抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A，B(点A，B在原点O两侧)，与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2＝x＋n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8.当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．

14．如图，已知抛物线y＝x2＋bx与直线y＝2x交于点O(0,0)，A(a,12)．点B是抛物线上O，A之间的一个动点．过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C，E.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若点C为OA的中点，求BC的长；
(3)以BC，BE为边构造矩形的BCDE，设点D的坐标为(m，n)，求出m，n之间的关系式．

14． 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝(x－m)2－m2＋m的顶点为A，与y轴的交点为B.连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD＝AC，连结BD.作AE∥x轴，DE∥y轴．
(1)当m＝2时，求点B的坐标；
(2)求DE的长；
(3)①设点D的坐标为(x，y)，求y关于x的函数解析式；
②过点D作AB的平行线，与第(3)①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

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