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抽象函数的对称性与周期性
抽象函数的对称性与周期性
一、抽象函数的对称性
性质1 若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：
（1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x)
性质2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：
（1）f(a＋x)＝－f(a－x) （2）f(2a－x)＝－f(x) （3）f(2a＋x)＝－f(－x)
易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。

二、复合函数的奇偶性
定义1 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。
定义2 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数。
说明：
（1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。
（2）两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)
（3）y＝f(x＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称（或关于点（a，0）中心对称）

三、复合函数的对称性
性质3 复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称
性质4 复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称
证明 性质3： 令（m，n）为y＝f(a＋x)上任一点，则n＝f(a＋m)
令b－x＝m＋a，x＝b－m－a 则（b－m－a，n）为y＝f(b－x)上相应的一点
又点（m，n）与点（b－m－a，n）关于直线x＝＝轴对称
∴y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称
性质4 令（m，n）为y＝f(a＋x)上任一点，则n＝f(a＋m)
则（b－m－a，－n）为y＝f(b－x)上相应一点
点（m，n）与点（b－m－a，－n）关于点（(m＋b－m－a)/2，0）
即（(b-a)/2，0）中心对称
∴y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称
推论1 复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称
推论2 复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称

四、函数的周期性
若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x)
③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x)

五、函数的对称性与周期性
性质4 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|
性质5 若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|
性质6 若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|
下证性质6
f(x)关于点（a，0）中心对称，∴f(2a－x)＝－f(x)
f(x)关于直线x＝b轴对称，∴f(2b－x)＝f(x) ∴f(2a－x)＝－f(2b－x)
令t＝2a－x 则x＝2a－t f(t)＝－f[(2b－2a)＋t]＝f(t＋4b－4a)
∴f(x)为周期函数且T＝4|a－b|

例题与应用
例1 函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（ ）（2002年3＋X高考预测试题（四月卷））
A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称
C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称
解：据复合函数的对称性知函数y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)之间关于
点（（6－4）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D。（原卷错选为C）
例2 设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。（2001年理工类第22题）
证明：∵f(x)关于x＝0和x＝1轴对称 ∴f(x)为周期函数且T＝2

例3 设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时f(x)＝x，则f(7.5)等于（）（1996年理工类第15题）
A．0.5 B．－0.5 C．1.5 D．－1.5
解：∵f(x)＝－f(x＋2)＝－[－f(x＋4)]＝f(x＋4)
∴f(x)为周期为4的周期函数
f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，故选B。

例4 设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（ ）
A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数
C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数
解：f(x)关于x＝10轴对称，关于（20，0）中心对称，∴f(x)为周期函数，且T＝40，∴f(x)也关于点（0，0）中心对称，即f(x)为奇函数，故选C。