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第五讲：函数与方程

【例题精讲】
【例1】
⑴函数在内零点的情况是 ．
⑵对实数和，定义运算“”：设函数，．若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是　　　．
⑶已知函数．
①若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ；
②若函数的值域为，则实数的取值范围.为 .

⑷方程有两个根,且一个大于1,一个小于1, 则实数 的取值
范围为 .

(5)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则

【例2】已知二次函数,
⑴ 若函数在区间上存在零点, 求实数的取值范围;
⑵ 问是否存在常数,当时,的值域为,且区间的长度为12.

【例3】已知函数 ,
⑴若函数的定义域和值域均为,求实数的值.
⑵若函数在区间上是减函数,且对任意总有, 求实数的取值范围.

【例4】函数为奇函数，且．若在上的最小值为，求的值．

【课堂演练】
1．若方程的唯一解为，且，则　　　　．
2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，且x与f(x)有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
-2.3
3.4
0
-1.3
-3.4
3.4
则函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有 个．
3．已知函数f(x) = mx2+(m-3)x+1至少有一个值为正的零点，则实数m的取值范围是　　　　　．
4．函数的零点个数为　　　　　　．
5．若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是
　　　　　．
6．已知函数．若在区间上是减函数，则实数的取值范围是　　　　　　．
7．已知二次函数．
⑴若，试判断的零点个数；
⑵若对且，证明：，使成立．

8．已知函数，其中常数满足．
⑴若，判断函数的单调性；
⑵若，求时的的取值范围．

第五讲：函数与方程

【例1】
⑴函数在内零点的情况是 ．只有一个零点
⑵对实数和，定义运算“”：设函数，．若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是　　　．
解：由题意得，即在同一坐标系内画出函数与的图象，结合图象可知，当时两个函数的图象有两个公共点，从而方程有两个不同的根，即与轴有两个不同交点．
⑶已知函数．①若函数的定义域为，求实数的取值范围②若函数的值域为，求实数的取值范围.①．；②．
⑷方程有两个根,且一个大于1,一个小于1, 求实数 的取值范围.
(5)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则4．-8．提示：因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以
【例2】已知二次函数,
⑴ 若函数在区间上存在零点, 求实数的取值范围;
⑵ 问是否存在常数,当时,的值域为,且区间的长度为12.
解：⑴∵函数的对称轴是，∴在区间上是减函数．∵函数在区间上存在零点，则必有 ：即
∵．
⑵假设存在常数，∵，在区间上是减函数，在区间上是增函数，且对称轴是．①当时，在区间上，最大，最小，∴
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
y
x
f(x)=m (m>0)

，即，解得．∴；
②当是，在区间上，最大，最小，∴，解得；
③当时，在区间上，最大，最小，∴，即，解得或．综上所述，存在常数，，满足条件．
【例3】已知函数 ,
⑴若函数的定义域和值域均为,求实数的值.
⑵若函数在区间上是减函数,且对任意总有, 求实数的取值范围.
解：⑴∵∴在上是减函数．又定义域和值域均为，∴．
⑵∵函数在区间上是减函数，∴．又，且，∴在区间上，
．
∵对任意总有，∴．
【例4】函数为奇函数，且．若在上的最小值为，求的值．
解：由是奇函数，得，由得，，∴．设，则，∴对称轴．当时，此时
时，取得最小值．∴．．．当时在上无最小值．∴．综上所述，．
【课堂演练】
1．若方程的唯一解为，且，则　　　　．
2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，且x与f(x)有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
-2.3
3.4
0
-1.3
-3.4
3.4

则函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有 个．3
若一次函数有一个零点３，则的零点是　　　　　．
已知函数f(x) = mx2+(m-3)x+1至少有一个值为正的零点，试求实数m的取值范围．
解：当m=0时，由f(x)=0可得＞0，满足题意；
当m＞0时，f(x)的图象开口向上，且f(0) = 1，故必有两根均在原点的右侧，从而△≥0，且＞0，解得0＜m≤1；
当m＜0时，图象开口向下，且f(0) = 1，故显然均满足题意．
综上所述，所求m的取值范围为m≤1．
3．（为常数），若存在，使得，则实数的取值范围是 ．
4．函数的零点个数为　　　　　　．
5．若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围是
　　　　　．
6．已知函数．若在区间上是减函数，则实数的取值范围是　　　　　　．

7．已知二次函数．
⑴若，试判断的零点个数；
⑵若对且，证明：，使成立．
解：⑴当时，有一个零点．当时，有两个零点．⑵令，则
，
∴．∴在内必有一实根，即，使成立．

8．已知函数，其中常数满足．
⑴若，判断函数的单调性；
⑵若，求时的的取值范围．
解：⑴当，时，单调递增．当，时，单调递减．
⑵．①当，时，，解得；②当，时，，解得．