函数解析式的七种求法.doc

函 数 解 析 式 的 七 种 求 法

一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设是一次函数，且，求
解：设 ，则

二、 配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。
例2 已知 ，求 的解析式
解：，

三、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知，求
解：令，则，

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数的图象关于点对称，求的解析式
解：设为上任一点，且为关于点的对称点
则，解得： ，
点在上

把代入得：

整理得

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例5 设求
解 ①
显然将换成，得：
②
解① ②联立的方程组，得：

例6 设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式
解 为偶函数，为奇函数，

又 ① ，
用替换得：
即②
解① ②联立的方程组，得
，
六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例7 已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求
解对于任意实数x、y，等式恒成立，
不妨令，则有
再令 得函数解析式为：
七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例8 设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数 都有，求
解 ，
不妨令，得：，
又 ①
分别令①式中的 得：

将上述各式相加得：，