《反比例函数的图象和性质》导学案.doc

反比例函数的图象和性质（导学案）
教材版本：华东师大版
学习目标：
一、 知识与能力目标
1、进一步熟悉描点法画函数图象的步骤，会用描点法画反比例函数的图象，知道反比例函数的图象形状——双曲线。
2、逐步提高从函数图像中获取信息的能力，探索、掌握反比例函数的主要性质并能简单应用。
3、会用待定系数法求反比例函数点解析式。
4、继续渗透数形结合思想，进一步提高分析问题和解决问题的能力。
二、 过程与方法目标
1、经历列表、描点、连线画函数图像的过程，体会反比例函数y=(k≠0)中自变量取值x≠0，从而y≠0,因此不能将所有点用一条曲线连接起来。逐步提高从图象中感受其规律的能力。
2、通过观察、比较画出的图象，体会画图象时选取合适点的必要性，总结方法，感受数学美。
3、通过观察、类比、分析图象，从函数图象中获取信息，概括反比例函数的性质，理解“在每个象限内的”含义。
三、 情感态度与价值观
亲身经历列表、描点、连线，规范画出函数图象的过程，通过观察分析图象，概括反比例函数的性质，体验探索知识和与他人合作的快乐，享受成功的喜悦，从而增强学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯。
学习重点:
1、画反比例函数的图象。
2、分析图象，概括性质。
学习难点：
分析图象，探索性质
学习方法：
练习法、观察分析法、合作讨论法
课前准备：
列表和建立平面直角坐标系

导 学 案
问题导学：
同学们，路程、速度、时间这三个量每天伴随着我们的生活。你知道其中隐含的函数关系吗？你从家到学校当速度一定时，路程与时间的关系s=vt (v是常量）是正比例函数，其图象是一条直线；当路程一定时，速度与时间的关系v=（s是常量）是反比例函数，它的图象又是什么形状呢？走进本节课堂，共同探究。（设计意图：从学生身边事例引入，让学生感受数学来源于生活又服务于生活，激发学生的求知欲，增强学习数学的兴趣）
自主学习：
1、 初步感知：
组内互查，上节课后作业（教材56页2题）y=的图象不是直线。那么它是怎样的曲线呢？
2、阅读教材56页例1部分，思考问题：
（1）用什么方法画反比例函数的图象?分哪几个步骤？（与一次函数比较）。
（2）自变量x的取值范围是什么？列表取值时需要注意什么？
（3）怎么连接所描点？能用一条曲线将所有电连线吗 ？连线时注意什么？教材56页云图中的问题，你解决了吗？（设计意图：鼓励学生发表自己的见解，可以从数或形的角度出发进行讨论。明确反比例函数的图象是两个分支，只能将每个象限内的点分别连接）
（4）反比例函数的图象由几部分组成？叫什么名称？
（5）这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？（57页云图问题）
（6）反比例函数的图象都是这样吗？
3、动手试一试（设计意图：培养学生的画图象能力，特别是练习用光滑的曲线连接，为后面分析图象、概括性质作准备）
在不同坐标系中分别画出下列函数图象：
y=－ y= y= −
组内交流
1、看谁画的图象更准确更美观？他是怎么做的？（设计意图：通过比较同学们画的图象，直观分析，体会选取适当数量点和合适位置点的意义，总结方法，感受数学美）
2、阅读教材57页“讨论” 部分，思考 下列问题：
（1）y= 和 y=的图象在第_______象限，在第一象限内，曲线从左到右_______，y随x的增大而_______；在第三象限内，曲线从左到右_______，y随x的增大而_______。
（2）y=－ 和 y= − 的图象在第_______象限，在第二象限内，曲线从左到右_______，y随x的增大而_______；在第四象限内，曲线从左到右_______，y随x的增大而_______。
（3）猜想：反比例函数y=的图象所在象限与什么有关？由什么确定图象两分支的位置？
（4）类比一次函数的性质，尝试说出反比例函数的性质，完成教材58页“概括”。（设计意图：先学生尝试叙述，再对照教材，让学生自己发现问题，分析原因，激发求知欲，体会数学的严谨性）
（5）阅读教材58页“思考”，判断：反比例函数y=，若k>0，图象从左到右下降，y随x的增大而减小？说明理由。（设计意图：强调“在每个象限内”，加深记忆）
3、怎么用待定系数法求一次函数表达式的?反比例函数的表达式呢？请你阅读58页例2，完成本题的解答。
自主测评
1、 函数y= 的图象通常称为_______，图象位于_______象限，在每个象限内，y随x的增大而_______。
2、 已知反比例函数的图象经过点（-2，1），则这个函数的图象位于（ ）。
A、第一、三象限 B、第二、三象限
C、第二、四象限 D、第三、四象限
3、已知反比例函数y=(k≠0)的图象经过点（3，-4），则这个反比例函数的表达式是_______。若图象过点（a，6），则a的值是_______。
4、如图所示，设A为反比例函数图象上一点，并且长方形ABOC的面积为3，则这个反比例函数解析式为           .
5、已知反比例函数y=的图象上两点（2,y1)，（-4,y2),试比较y1和y2的大小。若点A（x1,y1),B(x2,y2)，且 x1< x2<0，则y1______y2。
收获与问题：(请你认真记录下来)
收 获
问 题

合作学习
1、 如果长方形的面积是10cm2,那么它的长ycm与宽xcm之间的函数图像大致是（ ）（设计意图：通过比较分析各个选项的图象，巩固反比例函数的性质，明白具体问题中自变量的取值要符合实际意义）矩形面积为4，它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可表示为  (　 　
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窗体底端

2、 函数y= 中，当自变量x取互为相反数的值时，对应y的值是什么关系？函数y= − 中呢？
3、 反比例函数的图象是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？
4、 反比例函数的图象是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？
小组讨论，记录结果：

探究展示
展示交流：
1、 已知点A、A1在反比例函数y=的图象上，过点A向x轴、y轴作垂线，垂足分别是点B、C，过点A1向x轴、y轴作垂线，垂足分别是点B1、C 1，那么四边形ABOC和四边形A1B1OC1的面积______，是______。三角形ABO与三角形A1OC1的面积______，是______。（设计意图：反比例函数的图象与多边形面积综合，体会数形结合思想的应用)。
2、 某一函数，A、B、C三位同学分别指出这个函数的一个性质,A:第一象限内有它的图象；B：第三象限内有它的图象；C:在每个象限内，y随x的增大而减小。请你写出一个满足上述性质的函数表达式______。
3、 反比例函数y=（k>0)的图象上有三点A（x1,y1) 、 B(x2,y2)、C（x3,y3)，其中x1 < x2<0，x3>0，试比较y1 ， y2 ，y3的大小。
梳理知识：
反比例函数y=（k≠0)

一次函数 y=ax+b (a≠0）
字母 取 值
图 象
位 置
性质
字母取值
图象位置
性 质

K>0

a>0
b>0

b<0

K<0

a<0
b>0

b<0

（设计意图：与一次函数类比，善于构建知识框架，系统学习，养成良好的学习习惯。）
巩固与拓展
基础巩固
1、 如果双曲线y=经过点（-2，-8），则a=______，双曲线在______象限。
2、 已知反比例函数的图象y=经过点P（-1，2），那么一次函数
y= -kx+2的图象不经过（ ）象限。
A、一 B、二 C、三 D、四
3、函数y=2x与函数y=--在同一坐标系中的大致图象是（　　）
A．
B．
C．
D．

4、在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是y=在第一象限图象上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，ΔOAB的面积将会（　　　）
Ａ．逐渐增大　Ｂ．不变　　Ｃ．逐渐减小　　Ｄ．先增大后减小　
5、反比例函数y=的图象经过点（-1，-2），则x>1时，函数值y的取值范围是（ ）
Ａ．y>1 Ｂ．0<y<1 Ｃ． y>2 Ｄ．0<y<2
拓展创新
1、已知，反比例函数y=-的图象与直线y=-x的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为（　　）
Ａ.8 Ｂ．6 Ｃ． 4 Ｄ．2
2、 一次函数y=kx-k与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象是（　　）

3、已知A（-4，2）、B（n，-4）是一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=图象的两个交点，
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式。
（2）在同一坐标系中画出这两个函数的图象。
（3）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围。
4、四边形OABC是面积为4的正方形，函数y=（k>0)的图象经过点B.
( 1 )求k的值。
（2）将正方形OABC分别沿着直线AB、BC翻折，得到正方形MABC1、,NA1BC,设线段MC1，NA1分别与函数y= （x>0)的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式。

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