四川省夹江县2012-2013学年九年级数学第二次调研考试试题(解析版)-新人教版.doc

四川省夹江县2012-2013学年九年级第二次调研考试数学试题
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1．（3分）（2012•烟台）的值是（　　）

A．
4
B．
2
C．
﹣2
D．
±2

考点：
算术平方根．
专题：
常规题型．
分析：
根据算术平方根的定义解答．
解答：
解：∵22=4，
∴=2．
故选B．
点评：
本题考查了算术平方根的定义，是基础题，比较简单．

2．（3分）（2012•兰州）sin60°的相反数是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
特殊角的三角函数值．
分析：
根据特殊角的三角函数值和相反数的定义解答即可．
解答：
解：∵sin60°=，
∴sin60°的相反数是﹣，
故选C．
点评：
本题考查特殊角的三角函数值和相反数的定义，要求学生牢记并熟练运用．

3．（3分）（2013•夹江县二模）与2÷3÷4运算结果相同的是（　　）

A．
4÷2÷3
B．
2÷（3×4）
C．
2÷（4÷3）
D．
3÷2÷4

考点：
有理数的除法．
分析：
根据有理数的除法运算进行计算即可得解．
解答：
解：2÷3÷4=2÷（3×4）．
故选B．
点评：
本题考查了有理数的除法运算，是基础题．

4．（3分）（2011•嘉兴）两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（　　）

A．
两个外离的圆
B．
两个外切的圆
C．
两个相交的圆
D．
两个内切的圆

考点：
圆与圆的位置关系；简单组合体的三视图．
专题：
计算题．
分析：
由于两球都与水平线相切，故几何体的左视图相内切的两圆．
解答：
解：观察图形可知，两球都与水平线相切，
所以，几何体的左视图为相内切的两圆，
故选D．
点评：
本题考查了三视图，圆与圆的位置关系的运用．关键是分析图形，得出两球都与水平线相切，判断其左视图中两圆的位置关系．

5．（3分）（2010•荆州）△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，作△ABC的外接圆．如图，若的长为12cm，那么的长是（　　）

A．
10cm
B．
9cm
C．
8cm
D．
6cm

考点：
弧长的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
分析：
根据弧长公式，可知弧AC和弧BC的比即为它们所对的圆心角的度数比，再根据弧AB的长即可求解．
解答：
解：∵∠C=90°，
∴AB是直径．
∵∠A=30°，
∴∠B=60°．
∴弧AC和弧BC的比即为它们所对的圆心角的度数比，即为2：1．
又∵的长为12cm，
∴的长是12×=8（cm）．
故选C．
点评：
在同圆中，根据弧长公式，知两条弧的长度之比等于两条弧所对的圆心角的度数比．

6．（3分）（2012•烟台）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
专题：
计算题．
分析：
先解不等式组得到﹣1＜x≤2，然后根据在数轴上表示不等式的解集的方法即可得到正确答案．
解答：
解：
解不等式①得，x≤2，
解不等式②得x＞﹣1，
所以不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
故选A．
点评：
本题考查了在数轴上表示不等式的解集：在数轴上，一个数的左边部分表示大于这个数，这个数用空心圈上，当含有等于这个数时，用实心圈上．也考查了解一元一次不等式组．

7．（3分）（2012•佛山）吸烟有害健康，被动吸烟也有害健康．如果要了解人们被动吸烟的情况，则最合适的调查方式是（　　）

A．
普查
B．
抽样调查

C．
在社会上随机调查
D．
在学校里随机调查

考点：
全面调查与抽样调查．
分析：
调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
解答：
解：要了解人们被动吸烟的情况，由于人数众多，意义不大，选普查不合适，在社会上和在学校里随机调查，选择的对象不全面，故选抽样调查．
故选B．
点评：
本题主要考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．

8．（3分）（2010•十堰）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转40°得△A′CB′，若AC⊥A′B′，则∠BAC等于（　　）

A．
50°
B．
60°
C．
70°
D．
80°

考点：
旋转的性质．
分析：
已知旋转角度，旋转方向，可求∠A′CA，根据互余关系求∠A′，根据对应角相等求∠BAC．
解答：
解：依题意旋转角∠A′CA=40°，
由于AC⊥A′B′，由互余关系得∠A′=90°﹣40°=50°，
由对应角相等，得∠BAC=∠A′=50°．故选A．
点评：
本题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．

9．（3分）（2012•咸宁）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（　　）

A．
（，0）
B．
（，）
C．
（，）
D．
（2，2）

考点：
位似变换；坐标与图形性质．
分析：
由题意可得OA：OD=1：，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．
解答：
解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，
∴OA：OD=1：，
∵点A的坐标为（1，0），
即OA=1，
∴OD=，
∵四边形ODEF是正方形，
∴DE=OD=．
∴E点的坐标为：（，）．
故选C．
点评：
此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．

10．（3分）（2012•绵阳）如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=（　　）

A．
1：
B．
1：2
C．
：2
D．
1：

考点：
旋转的性质；勾股定理．
专题：
综合题；压轴题．
分析：
连接AP，根据同角的余角相等可得∠ABP=∠CBP′，然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP′全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=CP′，连接PP′，根据旋转的性质可得△PBP′是等腰直角三角形，然后求出∠AP′P是直角，再利用勾股定理用PA′表示出PP′，又等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍，代入整理即可得解．
解答：
解：如图，连接AP，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，
∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，
∴∠ABP=∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，
∵，
∴△ABP≌△CBP′（SAS），
∴AP=P′C，
∵P′A：P′C=1：3，
∴AP=3P′A，
连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，PP′=PB，
∵∠AP′B=135°，
∴∠AP′P=135°﹣45°=90°，
∴△APP′是直角三角形，
设P′A=x，则AP=3x，
根据勾股定理，PP′===2x，
∴PP′=PB=2x，
解得PB=2x，
∴P′A：PB=x：2x=1：2．
故选B．

点评：
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形以及直角三角形，把P′A、P′C以及P′B长度的倍转化到同一个直角三角形中是解题的关键．

二、填空题：（本大题共8个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2013•夹江县二模）计算式子的结果是　　．

考点：
绝对值．
分析：
首先计算出﹣1，再根据绝对值的概念可直接得到答案．
解答：
解：|﹣1|=|﹣|=．
故答案为：．
点评：
此题主要考查了绝对值的概念，关键是掌握概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．

12．（3分）（2013•夹江县二模）化简代数式所得的结果是　0　．

考点：
二次根式有意义的条件．
分析：
根据二次根式的性质：被开方数大于或等于0，可以求出x的值，则代数式的值即可求解．
解答：
解：根据题意得：，
解得：x=1．
故原式=0+0=0．
故答案是：0．
点评：
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

13．（3分）（2012•柳州）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，已知∠ABC=80°，则∠DBC=　40　°．

考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
根据角平分线的性质得出∠ABD=∠DBC进而得出∠DBC的度数．
解答：
解：∵BD是∠ABC的角平分线，∠ABC=80°，
∴∠DBC=∠ABD=∠ABC=×80°=40°，
故答案为：40．
点评：
此题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线性质得出∠ABD=∠DBC是解题关键．

14．（3分）（2012•湖州）一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为　x=﹣1　．

考点：
一次函数与一元一次方程．
专题：
压轴题．
分析：
先根据一次函数y=kx+b过（2，3），（0，1）点，求出一次函数的解析式，再求出一次函数y=x+1的图象与x轴的交点坐标，即可求出答案．
解答：
解∵一次函数y=kx+b过（2，3），（0，1）点，
∴，
解得：，
一次函数的解析式为：y=x+1，
∵一次函数y=x+1的图象与x轴交于（﹣1，0）点，
∴关于x的方程kx+b=0的解为x=﹣1．
故答案为：x=﹣1．
点评：
本题考查了一次函数与一元一次方程，关键是根据函数的图象求出一次函数的图象与x轴的交点坐标，再利用交点坐标与方程的关系求方程的解．

15．（3分）（2013•夹江县二模）某校按如下规则组建一个学生课外活动小组，参加“热爱家乡，美化环境”环保宣传活动．规则一：活动小组的总人数不能少于50人，且不得超过55人；规则二：活动小组的组员中，九年级学生占活动小组总人数的，八年级学生占活动小组总人数的，余下的为七年级学生．则该课外活动小组中七年级的学生人数是　13　．

考点：
有理数的混合运算．
专题：
计算题．
分析：
根据题意得到该课外小组的总人数为2和4的倍数，即为4的倍数，再根据总人数的范围即可确定出总人数，进而求出七年级的人数．
解答：
解：∵九年级学生占服务队总人数的，八年级学生占服务队总人数的，
∴该课外活动小组的总人数是2和4的倍数，即为4的倍数．
又∵该课外活动小组的总人数不能少于50人，且不得超过55人，
∴该课外活动小组的总人数的可能值是50，51，52，53，54，55．
在这5个数中，只有52是4的倍数，
∴该课外活动小组的总人数是52人．
∴该课外活动小组中七年级的学生人数为（1﹣﹣）×52=13．
故答案为：13．
点评：
此题考查了有理数混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．

16．（3分）（2011•龙岩）如图，依次以三角形、四边形、…、n边形的各顶点为圆心画半径为l的圆，且圆与圆之间两两不相交．把三角形与各圆重叠部分面积之和记为S3，四边形与各圆重叠部分面积之和记为S4，…．n边形与各圆重叠部分面积之和记为Sn．则S90的值为　44π　．（结果保留π）

考点：
扇形面积的计算；多边形内角与外角．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
根据题意可得出，重叠的每一部分是半径为1的扇形，圆心角是多边形的内角和，根据扇形的面积公式：S=进行计算即可．
解答：
解：S3===π；
S4===π；
…
S90===44π．
故答案为44π．
点评：
本题考查了扇形面积的计算，以及多边形的内角和定理，是基础知识要熟练掌握．

三、计算或化简：（本大题共3个小题，每小题9分，共27分）
17．（9分）（2013•夹江县二模）计算：．

考点：
实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
专题：
计算题．
分析：
分别根据0指数幂、负整数指数幂的计算法则、有理数乘方的法则及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
解答：
解：原式=3+1﹣5﹣1+4
=2．
点评：
本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂、负整数指数幂的计算法则、有理数乘方的法则及绝对值的性质是解答此题的关键．

18．（9分）（2012•上海）解方程：．

考点：
解分式方程．
分析：
观察可得最简公分母是（x+3）（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解答：
解：方程的两边同乘（x+3）（x﹣3），得
x（x﹣3）+6=x+3，
整理，得x2﹣4x+3=0，
解得x1=1，x2=3．
经检验：x=3是方程的增根，x=1是原方程的根，
故原方程的根为x=1．
点评：
本题考查了分式方程的解法．注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定要验根．

19．（9分）（2012•北京）已知，求代数式的值．

考点：
分式的化简求值．
专题：
计算题．
分析：
将所求式子第一个因式的分母利用平方差公式分解因式，约分后得到最简结果，然后由已知的等式用b表示出a，将表示出的a代入化简后的式子中计算，即可得到所求式子的值．
解答：
解：•（a﹣2b）
=•（a﹣2b）
=，
∵=≠0，∴a=b，
∴原式====．
点评：
此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．

四、解答题：（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）
20．（10分）（2010•随州）甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、q分别表示两人各投掷一次的点数．
（1）求满足关于x的方程x2+px+q=0有实数解的概率；
（2）求（1）中方程有两个相同实数解的概率．

考点：
根的判别式；概率公式．
分析：
（1）方程x2+px+q=0有实数解，则p2﹣4q≥0，把投掷骰子的36种p、q对应值，代入检验，找出符合条件的个数；
（2）方程x2+px+q=0有相同实数解，则p2﹣4q=0，把投掷骰子的36种p、q对应值，代入检验，找出符合条件的个数．
解答：
解：两人投掷骰子共有36种等可能情况，
（1）其中使方程有实数解共有19种情况：
p=6时，q=6、5、4、3、2、1；
p=5时，q=6、5、4、3、2、1；
p=4时，q=4、3、2、1；
p=3时，q=2、1；
p=2时，q=1；故其概率为．
（2）使方程有相等实数解共有2种情况：
p=4，q=4；p=2，q=1；故其概率为．
点评：
本题考查一元二次方程根的判别式和概率关系，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；一元二次方程有实数根，判别式为非负数．

21．（10分）（2012•常州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF．

考点：
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
专题：
证明题；压轴题．
分析：
方法一：连接CE，由与EF是线段AC的垂直平分线，故AE=CE，再由AE∥BC可知∠ACB=∠DAC，故可得出△AOE≌△COF，故AE=CF，所以四边形AFCE是平行四边形，再根据AE=CE可知四边形AFCE是菱形，故可得出结论．
方法二：首先证明△AOE≌△COF，可得OE=OF，进而得到AC垂直平分EF，再根据线段垂直平分线的性质可得AE=AF．
解答：
证明：连接CE，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，OA=OC，
∵AE∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
在△AOE与△COF中，
∵，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AE=CE，
∴四边形AFCE是菱形，
∴AE=AF．

另法：∵AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
∵，
∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚，
∴OE=OF，
∴AC垂直平分EF，
∴AE=AF．

点评：
本题考查的是线段垂直平分线的性质及菱形的判定定理，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键．

22．（10分）（2011•义乌）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y=（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为．
（1）求k和m的值；
（2）点C（x，y）在反比例函数y=的图象上，求当1≤x≤3时函数值y的取值范围；
（3）过原点O的直线l与反比例函数y=的图象交于P、Q两点，试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值．

考点：
反比例函数综合题．
专题：
综合题．
分析：
（1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y=，可求出k的值；
（2）根据反比例函数得性质求解；
（3）P，Q关于原点对称，则PQ=2OP，设P（a，），根据勾股定理得到OP==，从而得到OP最小值为，于是可得到线段PQ长度的最小值．
解答：
解：（1）∵A（2，m），
∴OB=2，AB=m，
∴S△AOB=•OB•AB=×2×m=，
∴m=；
∴点A的坐标为（2，），
把A（2，）代入y=，得=
∴k=1；
（2）∵当x=1时，y=1；当x=3时，y=，
又∵反比例函数y=，在x＞0时，y随x的增大而减小，
∴当1≤x≤3时，y的取值范围为≤y≤1；
（3）由图象可得：P，Q关于原点对称，
∴PQ=2OP，
反比例函数解析式为y=，设P（a，），
∴OP==，
∴OP最小值为，
∴线段PQ长度的最小值为2．

点评：
本题考查了点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了三角形的面积公式以及代数式的变形能力．

五、解答题：（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）
23．（10分）（2010•荆州）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价y1（万元）之间满足关系式y1=170﹣2x，月产量x（套）与生产总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系．
（1）直接写出y2与x之间的函数关系式；
（2）求月产量x的范围；
（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？

考点：
二次函数的应用．
专题：
压轴题．
分析：
（1）设函数关系式为y2=kx+b，把（30，1400）（40，1700）代入求解即可；
（2）根据题中条件“每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元”列出不等式组求解月产量x的范围；
（3）根据等量关系“设备的利润=每台的售价×月产量﹣生产总成本”列出函数关系式求得最大值．
解答：
解：（1）设函数关系式为y2=kx+b，把坐标（30，1400）（40，1700）代入，

解得：
∴函数关系式y2=30x+500；

（2）依题意得：，
解得：25≤x≤40；

（3）∵W=x•y1﹣y2=x（170﹣2x）﹣（500+30x）=﹣2x2+140x﹣500
∴W=﹣2（x﹣35）2+1950
∵25＜35＜40，
∴当x=35时，W最大=1950
答：当月产量为35件时，利润最大，最大利润是1950万元．
点评：
本题考查了函数关系式及其最大值的求解，同时还有自变量取值范围的求解．

24．（10分）（2010•荆门）如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．
（1）求证：AC•CD=PC•BC；
（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；
（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．

考点：
相似三角形的判定与性质；三角形的面积；圆周角定理．
专题：
综合题；压轴题；数形结合．
分析：
（1）由圆周角定理知∠A=∠P，而∠ACB=∠PCD=90°，故有△ABC∽△PCD⇒⇒AC•CD=PC•BC；
（2）当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．由题意知∠PCB=45°，CE=BE，而又∠CAB=∠CPB，得tan∠CPB=tan∠CAB=．代入数值可求得PE的值，从而PC=PE+EC，由（1）知CD=PC，即可求出；
（3）由题意知，S△PCD=PC•CD．由（1）可知，CD=PC．有S△PCD=PC2．故PC最大时，S△PCD取得最大值；而PC为直径时最大，故可求解．
解答：
（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°．
又∵PC⊥CD，
∴∠PCD=90°．
而∠CAB=∠CPD，
∴△ABC∽△PDC．
∴．
∴AC•CD=PC•BC；（3分）

（2）解：当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．
∵AB为直径，AB=5，BC：CA=4：3，
∴BC=4．
∵P是的中点，
∴∠PCB=45°，
∴CE=BE=BC=2．
又∠CAB=∠CPB，
∴tan∠CPB=tan∠CAB=．
∴PE===．
从而PC=PE+EC=，
由（1）得CD=PC=（7分）

（3）解：当点P在AB上运动时，S△PCD=PC•CD．由（1）可知，CD=PC．
∴S△PCD=CD×PC=×PC×PC=PC2．故PC最大时，S△PCD取得最大值；
而PC为直径时最大，
∴S△PCD的最大值S=×52=．（10分）

点评：
本题考查了相似三角形的判定和性质，圆内的圆周角，直径与圆周角的关系，以及正切的概念．

六、解答题：（本大题共2个小题，其中第25小题12分，第26小题13分，本大题共25分）
25．（12分）（2011•嘉兴）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；
（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），
①试用含α的代数式表示∠HAE；
②求证：HE=HG；
③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．

考点：
正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；菱形的判定与性质．
专题：
压轴题．
分析：
（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠E=∠F=∠G=∠H=90°，求出四边形是矩形，根据勾股定理求出AH=HD=AD，DG=GC=CD，CF=BF=BC，AE=BE=AB，推出EF=FG=GH=EH，根据正方形的判定推出四边形EFGH是正方形即可；
（2）①根据平行四边形的性质得出，∠BAD=180°﹣a，根据△HAD和△EAB是等腰直角三角形，得到∠HAD=∠EAB=45°，求出∠HAE即可；
②根据△AEB和△DGC是等腰直角三角形，得出AE=AB，DG=CD，平行四边形的性质得出AB=CD，求出∠HDG=90°+a=∠HAE，根据SAS证△HAE≌△HDG，根据全等三角形的性质即可得出HE=HG；
③与②证明过程类似求出GH=GF，FG=FE，推出GH=GF=EF=HE，得出菱形EFGH，证△HAE≌△HDG，求出∠AHD=90°，∠EHG=90°，即可推出结论．
解答：
（1）解：四边形EFGH的形状是正方形．

（2）解：①∠HAE=90°+a，
在平行四边形ABCD中AB∥CD，
∴∠BAD=180°﹣∠ADC=180°﹣a，
∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形，
∴∠HAD=∠EAB=45°，
∴∠HAE=360°﹣∠HAD﹣∠EAB﹣∠BAD=360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣a）=90°+a，
答：用含α的代数式表示∠HAE是90°+a．

②证明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，
∴AE=AB，DG=CD，
在平行四边形ABCD中，AB=CD，
∴AE=DG，
∵△AHD和△DGC是等腰直角三角形，
∴∠HDA=∠CDG=45°，
∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+a=∠HAE，
∵△AHD是等腰直角三角形，
∴HA=HD，
∴△HAE≌△HDG，
∴HE=HG．

③答：四边形EFGH是正方形，
理由是：由②同理可得：GH=GF，FG=FE，
∵HE=HG，
∴GH=GF=EF=HE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵△HAE≌△HDG，
∴∠DHG=∠AHE，
∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，
∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°，
∴四边形EFGH是正方形．

点评：
本题主要考查对正方形的判定，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．

26．（13分）（2012•天门）如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线解析式及点D坐标；
（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；
（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．

考点：
二次函数综合题．
专题：
综合题；压轴题．
分析：
（1）用待定系数法可得出抛物线的解析式，令y=2可得出点D的坐标；
（2）分两种情况进行讨论，①当AE为一边时，AE∥PD，②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，求解点P坐标．
（3）结合图形可判断出点P在直线CD下方，设点P的坐标为（a，﹣a2+a+2），分情况讨论，①当P点在y轴右侧时，②当P点在y轴左侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．
解答：
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，
∴，
解得：
∴y=﹣x2+x+2；
当y=2时，﹣x2+x+2=2，解得：x1=3，x2=0（舍），
即：点D坐标为（3，2）．

（2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：
①当AE为一边时，AE∥PD，
∴P1（0，2），
②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，
可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，
∴P点的纵坐标为﹣2，
代入抛物线的解析式：﹣x2+x+2=﹣2
解得：x1=，x2=，
∴P点的坐标为（，﹣2），（，﹣2）
综上所述：P1（0，2）；P2（，﹣2）；P3（，﹣2）．

（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（a，﹣a2+a+2），

①当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a，
PQ=2﹣（﹣a2+a+2）=a2﹣a，
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，
∴△COQ′∽△Q′FP，，，
∴Q′F=a﹣3，
∴OQ′=OF﹣Q′F=a﹣（a﹣3）=3，CQ=CQ′==，
此时a=，点P的坐标为（，），
②当P点在y轴左侧时（如图2）此时a＜0，﹣a2+a+2＜0，CQ=﹣a，
PQ=2﹣（﹣a2+a+2）=a2﹣a，
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴△COQ′∽△Q′FP，，，Q′F=3﹣a，
∴OQ′=3，
CQ=CQ′==，
此时a=﹣，点P的坐标为（﹣，）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（，），（﹣，）．
点评：
此题考查了二次函数的综合应用，综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质，解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通，属于中考常涉及的题目，同学们一定要留意．

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