资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（）
A.20 B.18
C.16 D.14
2．如图，在矩形中，是两条对角线的交点，则
A. B.
C. D.
3．要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（）
A.证明所有实数的平方都不是正数
B.证明平方是正数的实数有无限多个
C.至少找到一个实数，其平方是正数
D.至少找到一个实数，其平方不是正数
4．2022年北京冬奥会将于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬奥会新增7个小项目，女子单人雪车为其中之一．下表是某国女子单人雪车集训队甲、乙两位队员十轮的比赛成绩，则下列说法正确的是()
队员
比赛成绩
第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
第六轮
第七轮
第八轮
第九轮
第十轮
甲
1分51秒74
1分51秒72
1分51秒75
1分51秒80
1分51秒90
1分51秒81
1分51秒72
1分51秒94
1分51秒74
1分51秒71
乙
1分51秒70
1分51秒80
1分51秒83
1分51秒83
1分51秒80
1分51秒84
1分51秒90
1分51秒72
1分51秒90
1分51秒91
A.估计甲队员的比赛成绩的方差小于乙队员的比赛成绩的方差
B.估计甲队员的比赛成绩的中位数小于乙队员的比赛成绩的平均数
C.估计甲队员的比赛成绩的平均数大于乙队员的比赛成绩的平均数
D.估计甲队员的比赛成绩的中位数大于乙队员的比赛成绩的中位数
5．定义运算：，则函数的图像是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知，则函数与函数的图象可能是（）
A. B.
C. D.
7．（）
A. B.3
C.2 D.
8．如下图所示，在正方体中，下列结论正确的是
A.直线与直线所成的角是 B.直线与平面所成的角是
C.二面角的大小是 D.直线与平面所成的角是
9．已知函数的定义域是，那么函数在区间上（）
A.有最小值无最大值 B.有最大值无最小值
C.既有最小值也有最大值 D.没有最小值也没有最大值
10．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条( )
A.相交 B.异面
C.相交或异面 D.平行
11．若不等式( >0,且≠1)在[1,2] 上恒成立，则的取值范围是
A.(1,2) B.(2,)
C.(0,1)(2,) D.(0,)
12．已知函数，，则的值域为（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．直线与直线平行，则实数的值为_______.
14．已知函数
①当a=1时，函数的值域是___________；
②若函数的图像与直线y=1只有一个公共点，则实数a的取值范围是___________
15．已知上的奇函数是增函数，若，则的取值范围是________
16．已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，对于函数有下列几种描述：
①是周期函数； ②是它的一条对称轴；
③是它图象的一个对称中心； ④当时，它一定取最大值；
其中描述正确的是__________
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知是定义在上的奇函数.
（1）求实数和的值；
（2）根据单调性的定义证明：在定义域上为增函数.
18．已知集合A={x|x2-px+q=0}，B={x|x2-x-6=0}
（Ⅰ）若A∪B={-2，1，3}，A∩B={3}，用列举法表示集合A；
（Ⅱ）若∅AB，且p+q＞0，求p，q的值
19．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据：
年份
2015
2016
2017
2018
投资成本
3
5
9
17
…
年利润
1
2
3
4
…
给出以下3个函数模型：①；②（，且）；③（，且）.
（1）选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；
（2）试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.
20．已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求实数m，n的值；
（2）用定义证明在上是增函数；
（3）解关于t的不等式.
21．已知是定义在上的偶函数，当时，.
（1）求在时的解析式；
（2）若，在上恒成立，求实数的取值范围.
22．假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价，是2002年以来经过的年数.
0
5
10
15
20
万元
20
40
万元
20
40
（1）求函数的解析式;
（2）求函数的解析式；
（3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图像，然后比较两种价格增长方式的差异.
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、C
【解析】解方程，得或，作出的图象，由对称性只要作的部分，观察的图象与直线和直线的交点的个数即得
【详解】,或
根据函数解析式以及偶函数性质作图象，
当时，.，是抛物线的一段，
当，由
的图象向右平移2个单位，并且将每个点的纵坐标缩短为原来的一半得到，依次得出y轴右侧的图象，根据对称轴可得左侧的结论，
时，，的图象与直线和的交点个数，分别有3个和5个，
∴函数g(x)的零点个数为，
故选：C
【点睛】本题考查函数零点个数，解题方法是数形结合思想方法，把函数零点个数转化为函数图象与直线交点个数，由图象易得结论
2、B
【解析】利用向量加减法的三角形法则即可求解.
【详解】原式=，答案为B.
【点睛】主要考查向量的加减法运算，属于基础题.
3、D
【解析】全称命题是假命题，则其否定一定是真命题，判断选项.
【详解】命题“所有实数的平方都是正数”是全称命题，若其为假命题，那么命题的否定是真命题，所以只需“至少找到一个实数，其平方不是正数.
故选：D
4、B
【解析】根据表格中甲乙成绩特征，可去掉成绩里面的分和秒后进行比较．根据中位数、平均数、方差的计算方法求出中位数、平均数、方差比较即可得到答案
【详解】根据表格中甲乙成绩特征，可去掉成绩里面的分和秒后进行比较，作茎叶图如图：
由图可知，甲的成绩主要集中在70－75之间，乙的成绩主要集中在80－90之间，
∴甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数，故C错误；
由图可知甲的成绩中位数为74.5，乙成绩的中位数为83，故甲队员的比赛成绩的中位数小于乙队员的比赛成绩的中位数，故D错误；
甲队员比赛成绩平均数为：
，
乙队员比赛成绩平均数为：
，
∴甲队员的比赛成绩的中位数小于乙队员的比赛成绩的平均数，故B正确；
甲队员的比赛成绩的方差为：
＝57.41，
乙队员的比赛成绩的方差为：
＝46.61，
∴甲队员的比赛成绩的方差大于乙队员的比赛成绩的方差，故A错误
故选：B
5、A
【解析】先求解析式，再判断即可
详解】由题意
故选：A
【点睛】本题考查函数图像的识别，考查指数函数性质，是基础题
6、D
【解析】根据对数关系得，所以函数与函数的单调性相同即可得到选项.
【详解】，所以，，不为1的情况下：
，
函数与函数的单调性相同，ABC均不满足，D满足题意.
故选：D
【点睛】此题考查函数图象的辨析，根据已知条件找出等量关系或不等关系，分析出函数的单调性得解.
7、D
【解析】利用换底公式计算可得答案
【详解】
故选：D
8、D
【解析】选项，连接，，因为，所以直线与直线所成的角为，故错；选项，因为平面,故为直线与平面所成的角，根据题意；选项，因为平面,所以，故二面角的平面角为，故错；用排除法，选
故选：D
9、A
【解析】依题意不等式的解集为，即可得到且，再根据二次函数的性质计算在区间上的单调性，即可得到函数的最值；
【详解】解：因为函数的定义域是，即不等式的解集为，所以且，即，所以，函数开口向上，对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，所以，没有最大值；
故选：A
10、C
【解析】如下图所示,三条直线平行,与异面,而与异面,与相交,故选C.
11、B
【解析】分类讨论：
①若a>1,由题意可得：在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，则，
结合反比例函数的单调性可知当时，，
此时；
②若0<a<1, 由题意可得：在区间上恒成立，
即，
，函数，
结合二次函数的性质可知，当时，取得最大值1，
此时要求，与矛盾.
综上可得：的取值范围是(2,).
本题选择B选项.
点睛：在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件
12、A
【解析】根据两角和的正弦公式、二倍角公式和辅助角公式化简可得，结合和正弦函数的单调性即可求出函数的最大值和最小值.
【详解】由题意知，
，
由，得，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
有，
所以，
故的值域为.
故选：A
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】根据直线一般式，两直线平行则有，代入即可求解.
【详解】由题意，直线与直线平行，
则有
故答案为：
【点睛】本题考查直线一般式方程下的平行公式，属于基础题.
14、 ①.（－∞，1] ②.（－1，1]
【解析】①分段求值域，再求并集可得的值域；
②转化为＝在上与直线只有一个公共点，分离a求值域可得实数a的取值范围
【详解】①当a＝1时，即当x≤1时，，
当x＞1时，，
综上所述当a＝1时，函数的值域是，
②由无解，
故＝在上与直线只有一个公共点，
则有一个零点，即实数的取值范围是.
故答案为：；.
15、
【解析】先通过函数为奇函数将原式变形，进而根据函数为增函数求得答案.
【详解】因为函数为奇函数，所以，而函数在R上为增函数，则.
故答案为：.
16、①③
【解析】先对已知是定义在的奇函数，且为偶函数用定义转化为恒等式，再由两个恒等式进行合理变形得出与四个命题有关的结论，通过推理证得①③正确.
【详解】因为为偶函数，所以，
即是它的一条对称轴；
又因为是定义在上的奇函数，
所以，即，
则，，
即是周期函数，即①正确；
因为是它的一条对称轴且，
所以（）是它的对称轴，即②错误；
因为函数是奇函数且是以为周期周期函数，
所以，所以是它图象的一个对称中心，
即③正确；
因为是它的一条对称轴，所以当时，函数取得最大值或最小值，
即④不正确.
故答案为：①③.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）；
（2）见详解2.
【解析】（1）由可得，再求值.
（2）设，作差与零比较.
【小问1详解】
因为是定义在上的奇函数，所以，，
，
【小问2详解】
设，则
，
，，，
所以，，
故在定义域上为增函数.
18、（Ⅰ）{3，1}（Ⅱ）p=6，q=9
【解析】（Ⅰ）可求出B={-2，3}，根据A∪B={-2，1，3}，A∩B={3}，即可求出集合A；
（Ⅱ）根据条件∅AB即可得出A={-2}，或{3}，再根据p+q＞0即可求出p，q的值
【详解】（Ⅰ）B={-2，3}；
∵A∪B={-2，1，3}，A∩B={3}；
∴A={3，1}；
（Ⅱ）∵∅AB；
∴A={-2}，或A={3}；
①若A={-2}，则；
∴p+q=0，不满足p+q＞0；
∴A≠{-2}；
②若A={3}，则；
满足p+q＞0；
∴p=6，q=9
【点睛】考查描述法的定义，交集、并集的概念及运算，以及真子集的定义，韦达定理
19、（1）可用③来描述x，y之间的关系，
（2）该企业要考虑转型.
【解析】（1）由年利润是随着投资成本的递增而递增，可知①不符合，把，分别代入②③，求出函数解析式，再把代入所求的解析式中，若，则选择此模型；
（2）由题知，则x>65，再由与比较，可作出判断.
【小问1详解】
由表格中的数据可知，年利润是随着投资成本的递增而递增，而①是单调递减，所以不符合题意；
将，代入（，且），
得，解得，∴.
当时，，不符合题意；
将，代入（，且），
得，解得，∴.
当时，；当时，.
故可用③来描述x，y之间的关系.
【小问2详解】
由题知，解得
∵年利润，∴该企业要考虑转型.
20、（1），；
（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）根据和列式计算即可；
（2）根据单调性的定义，设，计算，判断其符号即可；
（3）利用函数奇偶性得，再根据单调性去掉，可得不等式，解不等式即可.
【小问1详解】
为奇函数，
恒成立，
即，
，
，即
即，；
【小问2详解】
由（1）得，
设
则
即在上是增函数；
【小问3详解】
因为是定义在上的奇函数
由得
又在上是增函数，
，
解得.
即不等式解集为
21、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用函数的奇偶性结合条件即得；
（2）由题可知在上恒成立，利用函数的单调性可求，即得.
【小问1详解】
∵当时，，
∴当时，，
∴，又是定义在上的偶函数，
∴，
故当时，；
【小问2详解】
由在上恒成立，
∴在上恒成立，
∴
又∵与在上单调递增，
∴，
∴，解得或，
∴实数的取值范围为.
22、（1）（2）（3）详见解析
【解析】（1）因为是按直线上升的房价,设,由表格可知,,进而求解即可；
（2）因为是按指数增长的房价,设,由表格可知,,进而求解即可；
（3）由（1）（2）补全表格,画出图像,进而分析即可
【详解】（1）因为是按直线上升的房价,设,
由,,
可得,
即.
（2）因为是按指数增长的房价,设,
由,
可得,
即.
（3）由（1）和（2）,当时,；
当时,；当时,,
则表格如下:
0
5
10
15
20
万元
20
30
40
50
60
万元
20
40
80
则图像为:
根据表格和图像可知:
房价按函数呈直线上升,每年的增加量相同,保持相同的增长速度；按函数呈指数增长,每年的增加量越来越大,开始增长慢,然后会越来越快,但保持相同的增长比例.
【点睛】本题考查一次函数、指数型函数在实际中的应用,考查理解分析能力
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