广西梧州市贺州市2023届高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．已知，函数在上递减，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
2．下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
3．如图是某班名学生身高的频率分布直方图，那么该班身高在区间内的学生人数为

A. B.
C. D.
4．已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
5．定义在上的偶函数的图象关于直线对称，当时，．若方程且根的个数大于3，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
6．已知定义在上的偶函数，在上为减函数，且，则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
7．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，其和等于20的概率是（ ）
【注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其它正因数，则称这个整数为素数．】
A. B.
C. D.
8．如图所示，在中，．若，，则（）

A. B.
C. D.
9．已知函数，则是
A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数
C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数
10．设，且，下列选项中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11．根据表中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（）
x
-1
0
1
2
3

0.37
1
2.72
7.39
20.09
A. B.
C. D.
12．对于空间中的直线，以及平面，，下列说法正确的是
A.若，，，则
B.若，，，则
C.若 ，，，则
D.若，，，则
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．已知函数的图象与函数及函数的图象分别交于两点，则的值为__________
14．若，则的终边所在的象限为______
15．已知幂函数的定义域为，且单调递减，则________.
16．若直线：与直线：互相垂直，则实数的值为__________
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知函数；
（1）若，使得成立，求的集合
（2）已知函数的图象关于点对称，当时，．若对使得成立，求实数的取值范围
18．已知定义在R上的函数满足：①对任意实数x，y，都有；②对任意
（1）求；
（2）判断并证明函数的奇偶性；
（3）若，直接写出的所有零点（不需要证明）
19．已知函数是指数函数
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范围
20．定义在（-1，1）上的奇函数为减函数，且，求实数a的取值范围.
21．改革开放四十周年纪念币从2018年12月5日起可以开始预约通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价单位：元与上市时间单位：天的数据如下：
上市时间x天
8
10
32
市场价y元
82
60
82
根据上表数据，从下列函数：；；中选取一个恰当的函数刻画改革开放四十周年纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由
利用你选取的函数，求改革开放四十周年纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格
22．已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）若对任意恒有，求实数的取值范围.

参考答案

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、B
【解析】求出f（x）的单调减区间A，令（，π）⊆A，解出ω的范围
【详解】解：f（x）sin（ωx），
令，解得x，k∈Z
∵函数f（x）sin（ωx）（ω＞0）在（，π）上单调递减，
∴，解得ω2k，k∈Z
∴当k＝0时，ω
故选：B
【点睛】本题考查了三角函数的单调性与单调区间，考查转化能力与计算能力，属于基础题
2、D
【解析】利用奇函数的定义逐个分析判断
【详解】对于A，定义域为，因为，所以是偶函数，所以A错误，
对于B，定义域为，因为，且，所以是非奇非偶函数，所以B错误，
对于C，定义域为，因为定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，所以C错误，
对于D，定义域为，因为，所以是奇函数，所以D正确，
故选：D
3、C
【解析】身高在区间内的频率为 人数为 ，选C.
点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.
4、C
【解析】因为所以选C
考点：比较大小
5、D
【解析】由题设，可得解析式且为周期为4的函数，再将问题转化为与交点个数大于3个，讨论参数a判断交点个数，进而画出和的图象，应用数形结合法有符合题设，即可求范围.
【详解】由题设，，即，
所以是周期为4的函数，
若，则，故，
所以，
要使且根的个数大于3，即与交点个数大于3个，又恒过，
当时，在上，在上且在上递减，此时与只有一个交点，
所以.
综上，、的图象如下所示，

要使交点个数大于3个，则，可得.
故选：D
【点睛】关键点点睛：根据已知条件分析出的周期性，并求出上的解析式，将问题转化为两个函数的交点个数问题，结合对数函数的性质分析a的范围，最后根据交点个数情况，应用数形结合进一步缩小参数的范围.
6、D
【解析】根据函数的性质，画出函数的图象，数形结合求出解集
【详解】由题意，画出的图象如图，等价于，或，由图可知，不等式的解集为

故选：D
7、A
【解析】随机选取两个不同的数共有种，而其和等于20有2种，由此能求出随机选取两个不同的数，其和等于20的概率
【详解】在不超过20的素数中有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，
随机选取两个不同的数共有种，
随机选取两个不同的数，其和等于20有2种，分别为（3,17）和（7,13），
故可得随机选取两个不同的数，其和等于20的概率，
故选：
8、C
【解析】根据．且，，利用平面向量的加法,减法和数乘运算求解.
【详解】因为．且，，
所以，

，
，
.
故选：C
9、B
【解析】先求得，再根据余弦函数的周期性、奇偶性，判断各个选项是否正确，从而得出结论
【详解】∵，
∴=，
∵,且T=，∴是最小正周期为偶函数，
故选B.
【点睛】本题主要考查诱导公式，余弦函数的奇偶性、周期性，属于基础题
10、D
【解析】举出反例即可判断AC，根据不等式的性质即可判断B，利用作差法即可判断D.
【详解】解：对于A，当时，不成立，故A错误；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，，
因为，所以，，
所以，即，故D正确.
故选：D.
11、D
【解析】将与的值代入，找到使的,即可选出答案.
【详解】时，.
时，.
时，.
时，
时，.
因为.
所以方程的一个根在区间内.
故选：D.
【点睛】本题考查零点存定理，函数连续，若存在，使,则函数在区间上至少有一个零点.属于基础题.
12、D
【解析】根据空间直线和平面的位置关系对四个选项逐一排除，由此确定正确的选项
【详解】对于A选项，可能异面，故A错误；对于B选项，可能有，故B错误；对于C选项，的夹角不一定为90°，故C错误；因为，故，因为，故，故D正确，故选D.
【点睛】本小题主要考查空间两条直线的位置关系，考查直线和平面、平面和平面位置关系的判断，属于基础题.

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、
【解析】利用函数及函数的图象关于直线对称可得点在函数的图象上，进而可得的值
【详解】由题意得函数及函数的图象关于直线对称，
又函数的图象与函数及函数的图象分别交于两点，
所以，
从而点的坐标为
由题意得点在函数的图象上，
所以，
所以
故答案为4
【点睛】解答本题的关键有两个：一是弄清函数及函数的图象关于直线对称，从而得到点也关于直线对称，进而得到，故得到点的坐标为；二是根据点 在函数 的图象上得到所求值．考查理解和运用能力，具有灵活性和综合性
14、第一或第三象限
【解析】将表达式化简，，二者相等，只需满足与同号即可，从而判断角所在的象限.
【详解】由，，
若，只需满足，即与同号，
因此的终边在第一或第三象限.
故答案为：第一或第三象限.
15、
【解析】根据幂函数的单调性，得到的范围，再由其定义域，根据，即可确定的值.
【详解】因为幂函数的定义域为，且单调递减，
所以，则，
又，所以的所有可能取值为，，，
当时，，其定义域为，不满足题意；
当时，，其定义域为，满足题意；
当时，，其定义域为，不满足题意；
所以.
故答案为：
16、-2
【解析】由于两条直线垂直，故.

三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据的值域列不等式，由此求得的取值范围.
（2）先求得在时的值域，对进行分类讨论，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
的值域为，
所以，
，，
所以.所以的取值范围是.
【小问2详解】
由（1），当时，
所以在时的值域为
记函数的值域为.
若对任意的，存在，
使得成立，则
因为时，，
所以，即函数的图象过对称中心
(i)当，即时，函数在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，从而在上单调递增
，由对称性得，则
要使，只需，解得，所以，
(ii)当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，在上单调递减
所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
，
其中，
要使，只需，解得，
(iii) 当，即时，函数在上单调递减，由对称性知，在上单调递减，
从而在上单调递减．此时
要使，只需，解得，
综上可知，实数的取值范围是
18、（1）
（2）为偶函数，证明见解析
（3）
【解析】（1）令，化简可求出，
（2）令，则，化简后结合函数奇偶性的定义判断即可，
（3）利用赋值求解即可
【小问1详解】
令，则，
，得或，
因对任意，所以
【小问2详解】
为偶函数
证明：令，则，
得，
所以为偶函数
【小问3详解】
令，则，
因为，所以，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
……，
所以
即当时，，
所以函数的零点为
19、（1）
（2）
【解析】（1）由指数函数定义可直接构造方程组求得，进而得到所求解析式；
（2）将不等式化为，根据对数函数单调性和定义域要求可构造不等式组求得结果.
【小问1详解】
为指数函数，
，解得：，
.
【小问2详解】
由（1）知：，
，解得：，
的取值范围为.
20、
【解析】结合奇函数性质以及单调性，去掉外层函数，变成一元二次不等式进行求解.
【详解】由题即
根据奇函数定义可知原不等式为
又因为单调递减函数，故，解得或
又因为函数定义域为故，解得,
所以
综上得的范围为.
21、（1）见解析；（2）上市天数为20时，市场价最低，最低价格为10元
【解析】根据函数单调性选择模型；求出函数解析式，利用二次函数的性质得出最小值
【详解】由表格可知随着上市时间的增加，市场价y先减少，后增大，
而函数和均为单调函数，显然不符合题意；
故选择函数模型
把，，代入得：
，解得：，
∴
∴上市天数为20时，市场价最低，最低价格为10元
【点睛】本题主要考查了函数模型的选择与应用，二次函数在实际中的应用，属于中档题
22、（1）答案见解析；
（2）.
【解析】(1)根据对数的真数为正即可求解；
(2)对任意恒有对恒成立，参变分离即可求解a的范围.
【小问1详解】
由得，，等价于，
∵方程的，
当，即时，恒成立，解得，
当，即时，原不等式即为，解得且；
当，即，又，即时，
方程的两根、，
∴解得或，
综上可得当时，定义域为，
当时，定义域为且，
当时，定义域为或；
【小问2详解】
对任意恒有，即对恒成立，
∴，而，在上是减函数，
∴，
所以实数的取值范围为.