2023届吉林省延吉市高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（）
A.20 B.18
C.16 D.14
2．如图，在矩形中，是两条对角线的交点，则

A. B.
C. D.
3．要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（）
A.证明所有实数的平方都不是正数
B.证明平方是正数的实数有无限多个
C.至少找到一个实数，其平方是正数
D.至少找到一个实数，其平方不是正数
4．2022年北京冬奥会将于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬奥会新增7个小项目，女子单人雪车为其中之一．下表是某国女子单人雪车集训队甲、乙两位队员十轮的比赛成绩，则下列说法正确的是()
队员
比赛成绩
第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
第六轮
第七轮
第八轮
第九轮
第十轮
甲
1分51秒74
1分51秒72
1分51秒75
1分51秒80
1分51秒90
1分51秒81
1分51秒72
1分51秒94
1分51秒74
1分51秒71
乙
1分51秒70
1分51秒80
1分51秒83
1分51秒83
1分51秒80
1分51秒84
1分51秒90
1分51秒72
1分51秒90
1分51秒91
A.估计甲队员的比赛成绩的方差小于乙队员的比赛成绩的方差
B.估计甲队员的比赛成绩的中位数小于乙队员的比赛成绩的平均数
C.估计甲队员的比赛成绩的平均数大于乙队员的比赛成绩的平均数
D.估计甲队员的比赛成绩的中位数大于乙队员的比赛成绩的中位数
5．定义运算：，则函数的图像是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知，则函数与函数的图象可能是（）
A. B.
C. D.
7．（）
A. B.3
C.2 D.
8．如下图所示，在正方体中，下列结论正确的是

A.直线与直线所成的角是 B.直线与平面所成的角是
C.二面角的大小是 D.直线与平面所成的角是
9．已知函数的定义域是，那么函数在区间上（）
A.有最小值无最大值 B.有最大值无最小值
C.既有最小值也有最大值 D.没有最小值也没有最大值
10．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条(　　)
A.相交 B.异面
C.相交或异面 D.平行
11．若不等式( >0,且≠1)在[1,2] 上恒成立，则的取值范围是
A.(1,2) B.(2,)
C.(0,1)(2,) D.(0,)
12．已知函数，，则的值域为（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．直线与直线平行，则实数的值为_______.
14．已知函数
①当a=1时，函数的值域是___________；
②若函数的图像与直线y=1只有一个公共点，则实数a的取值范围是___________
15．已知上的奇函数是增函数，若，则的取值范围是________
16．已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，对于函数有下列几种描述：
①是周期函数； ②是它的一条对称轴；
③是它图象的一个对称中心； ④当时，它一定取最大值；
其中描述正确的是__________
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知是定义在上的奇函数.
（1）求实数和的值；
（2）根据单调性的定义证明：在定义域上为增函数.
18．已知集合A={x|x2-px+q=0}，B={x|x2-x-6=0}
（Ⅰ）若A∪B={-2，1，3}，A∩B={3}，用列举法表示集合A；
（Ⅱ）若∅AB，且p+q＞0，求p，q的值
19．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据：
年份
2015
2016
2017
2018

投资成本
3
5
9
17
…
年利润
1
2
3
4
…
给出以下3个函数模型：①；②（，且）；③（，且）.
（1）选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；
（2）试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.
20．已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求实数m，n的值；
（2）用定义证明在上是增函数；
（3）解关于t的不等式.
21．已知是定义在上的偶函数，当时，.
（1）求在时的解析式；
（2）若，在上恒成立，求实数的取值范围.
22．假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价，是2002年以来经过的年数.

0
5
10
15
20
万元
20

40

万元
20

40

（1）求函数的解析式;
（2）求函数的解析式；
（3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图像，然后比较两种价格增长方式的差异.

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、C
【解析】解方程，得或，作出的图象，由对称性只要作的部分，观察的图象与直线和直线的交点的个数即得
【详解】,或
根据函数解析式以及偶函数性质作图象，
当时，.，是抛物线的一段，
当，由
的图象向右平移2个单位，并且将每个点的纵坐标缩短为原来的一半得到，依次得出y轴右侧的图象，根据对称轴可得左侧的结论，
时的图象与直线和的交点个数，分别有3个和5个，
∴函数g(x)的零点个数为，
故选：C

【点睛】本题考查函数零点个数，解题方法是数形结合思想方法，把函数零点个数转化为函数图象与直线交点个数，由图象易得结论
2、B
【解析】利用向量加减法的三角形法则即可求解.
【详解】原式=，答案为B.
【点睛】主要考查向量的加减法运算，属于基础题.
3、D
【解析】全称命题是假命题，则其否定一定是真命题，判断选项.
【详解】命题“所有实数的平方都是正数”是全称命题，若其为假命题，那么命题的否定是真命题，所以只需“至少找到一个实数，其平方不是正数.
故选：D
4、B
【解析】根据表格中甲乙成绩特征，可去掉成绩里面的分和秒后进行比较．根据中位数、平均数、方差的计算方法求出中位数、平均数、方差比较即可得到答案
【详解】根据表格中甲乙成绩特征，可去掉成绩里面的分和秒后进行比较，作茎叶图如图：

由图可知，甲的成绩主要集中在70－75之间，乙的成绩主要集中在80－90之间，
∴甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数，故C错误；
由图可知甲的成绩中位数为74.5，乙成绩的中位数为83，故甲队员的比赛成绩的中位数小于乙队员的比赛成绩的中位数，故D错误；
甲队员比赛成绩平均数为：
，
乙队员比赛成绩平均数为：
，
∴甲队员的比赛成绩的中位数小于乙队员的比赛成绩的平均数，故B正确；
甲队员的比赛成绩的方差为：

＝57.41，
乙队员的比赛成绩的方差为：

＝46.61，
∴甲队员的比赛成绩的方差大于乙队员的比赛成绩的方差，故A错误
故选：B
5、A
【解析】先求解析式，再判断即可
详解】由题意
故选：A
【点睛】本题考查函数图像的识别，考查指数函数性质，是基础题
6、D
【解析】根据对数关系得，所以函数与函数的单调性相同即可得到选项.
【详解】，所以，，不为1的情况下：
，
函数与函数的单调性相同，ABC均不满足，D满足题意.
故选：D
【点睛】此题考查函数图象的辨析，根据已知条件找出等量关系或不等关系，分析出函数的单调性得解.
7、D
【解析】利用换底公式计算可得答案
【详解】
故选：D
8、D
【解析】选项，连接，，因为，所以直线与直线所成的角为，故错；选项，因为平面,故为直线与平面所成的角，根据题意；选项，因为平面,所以，故二面角的平面角为，故错；用排除法，选

故选：D
9、A
【解析】依题意不等式的解集为，即可得到且，再根据二次函数的性质计算在区间上的单调性，即可得到函数的最值；
【详解】解：因为函数的定义域是，即不等式的解集为，所以且，即，所以，函数开口向上，对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，所以，没有最大值；
故选：A
10、C
【解析】如下图所示,三条直线平行,与异面,而与异面,与相交,故选C.

11、B
【解析】分类讨论：
①若a>1,由题意可得：在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，则，
结合反比例函数的单调性可知当时，，
此时；
②若0据两角和的正弦公式、二倍角公式和辅助角公式化简可得，结合和正弦函数的单调性即可求出函数的最大值和最小值.
【详解】由题意知，
，
由，得，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
有，
所以，
故的值域为.
故选：A

二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】根据直线一般式，两直线平行则有，代入即可求解.
【详解】由题意，直线与直线平行，
则有

故答案为：
【点睛】本题考查直线一般式方程下的平行公式，属于基础题.
14、 ①.（－∞，1] ②.（－1，1]
【解析】①分段求值域，再求并集可得的值域；
②转化为＝在上与直线只有一个公共点，分离a求值域可得实数a的取值范围
【详解】①当a＝1时，即当x≤1时，，
当x＞1时，，
综上所述当a＝1时，函数的值域是，
②由无解，
故＝在上与直线只有一个公共点，
则有一个零点，即实数的取值范围是.
故答案为：；.
15、
【解析】先通过函数为奇函数将原式变形，进而根据函数为增函数求得答案.
【详解】因为函数为奇函数，所以，而函数在R上为增函数，则.
故答案为：.
16、①③
【解析】先对已知是定义在的奇函数，且为偶函数用定义转化为恒等式，再由两个恒等式进行合理变形得出与四个命题有关的结论，通过推理证得①③正确
【详解】因为为偶函数，所以，
即是它的一条对称轴；
又因为是定义在上的奇函数，
所以，即，
则，，
即是周期函数，即①正确；
因为是它的一条对称轴且，
所以（）是它的对称轴，即②错误；
因为函数是奇函数且是以为周期周期函数，
所以，所以是它图象的一个对称中心，
即③正确；
因为是它的一条对称轴，所以当时，函数取得最大值或最小值，
即④不正确.
故答案为：①③.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）；
（2）见详解2.
【解析】（1）由可得，再求值.
（2）设，作差与零比较.
【小问1详解】
因为是定义在上的奇函数，所以，
，

【小问2详解】
设，则
，
，，，
所以，，
故在定义域上为增函数.
18、（Ⅰ）{3，1}（Ⅱ）p=6，q=9
【解析】（Ⅰ）可求出B={-2，3}，根据A∪B={-2，1，3}，A∩B={3}，即可求出集合A；
（Ⅱ）根据条件∅AB即可得出A={-2}，或{3}，再根据p+q＞0即可求出p，q的值
【详解】（Ⅰ）B={-2，3}；
∵A∪B={-2，1，3}，A∩B={3}；
∴A={3，1}；
（Ⅱ）∵∅AB；
∴A={-2}，或A={3}；
①若A={-2}，则；
∴p+q=0，不满足p+q＞0；
∴A≠{-2}；
②若A={3}，则；
满足p+q＞0；
∴p=6，q=9
【点睛】考查描述法的定义，交集、并集的概念及运算，以及真子集的定义，韦达定理
19、（1）可用③来描述x，y之间的关系，
（2）该企业要考虑转型.
【解析】（1）由年利润是随着投资成本的递增而递增，可知①不符合，把，分别代入②③，求出函数解析式，再把代入所求的解析式中，若，则选择此模型；
（2）由题知，则x>65，再由与比较，可作出判断.
【小问1详解】
由表格中的数据可知，年利润是随着投资成本的递增而递增，而①是单调递减，所以不符合题意；
将，代入（，且），
得，解得，∴.
当时，，不符合题意；
将，代入（，且），
得，解得，∴.
当时，；当时，.
故可用③来描述x，y之间的关系.
【小问2详解】
由题知，解得
∵年利润，∴该企业要考虑转型.
20、（1），；
（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）根据和列式计算即可；
（2）根据单调性的定义，设，计算，判断其符号即可；
（3）利用函数奇偶性得，再根据单调性去掉，可得不等式，解不等式即可.
【小问1详解】
为奇函数，
恒成立，
即，
，
，即

即，；
【小问2详解】
由（1）得，
设
则

即在上是增函数；
【小问3详解】
因为是定义在上的奇函数
由得
又在上是增函数，
，
解得.
即不等式解集为
21、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用函数的奇偶性结合条件即得；
（2）由题可知在上恒成立，利用函数的单调性可求，即得.
【小问1详解】
∵当时，，
∴当时，，
∴，又是定义在上的偶函数，
∴，
故当时，；
【小问2详解】
由在上恒成立，
∴在上恒成立，
∴
又∵与在上单调递增，
∴，
∴，解得或，
∴实数的取值范围为.
22、（1）（2）（3）详见解析
【解析】（1）因为是按直线上升的房价,设,由表格可知,,进而求解即可；
（2）因为是按指数增长的房价,设,由表格可知,,进而求解即可；
（3）由（1）（2）补全表格,画出图像,进而分析即可
【详解】（1）因为是按直线上升的房价,设,
由,,
可得,
即.
（2）因为是按指数增长的房价,设,
由,
可得,
即.
（3）由（1）和（2）,当时,；
当时,；当时,,
则表格如下:

0
5
10
15
20
万元
20
30
40
50
60
万元
20

40

80
则图像为:

根据表格和图像可知:
房价按函数呈直线上升,每年的增加量相同,保持相同的增长速度；按函数呈指数增长,每年的增加量越来越大,开始增长慢,然后会越来越快,但保持相同的增长比例.
【点睛】本题考查一次函数、指数型函数在实际中的应用,考查理解分析能力