基于非线性规划的钢管订购与运输优化模型.docx

钢管订购运输和铺设摘要：利用 excel求出钢厂Si到火车站的最短路程，并算出走这一段铁路运输一单位钢管所需要的费用，然后根据所需的费用将其转换成对应的公路路程,从而去掉了铁路和公路在性质上的差别,使运输网络变成一张供需运输价格表。再用01规划来确定是否要从第Si钢厂订购钢管，最后建立模型求解问题，并做相应的灵敏度分析。问题一，利用问题的约束条件建立一个以求最小总费用为目标函数的非线性规划模型,利用 Lingo 软件编程对模型求解得到最小总费用以及最优订购方案。问题二，利用问题一的模型，利用Lingo软件，分别得到钢厂Si钢管售价以及定期产量上限的影子价格，并算出单位钢管售价和定期产量上限在10%内变化对应的最小总费用。从而分析七个钢厂的钢管售价及定期产量上限对订购方案以及总费用的影响并得出结论。问题三，利用excel分别算出公路和铁路运费变化1%对1单位钢管的运费的影响。再利用问题一的模型，分别求出公路和铁路的运输费用在5%之内波动的总费用及订购方案。然后讨论公路和铁路运费变化对订购方案以及总费用的影响并得出结论。问题四，由于需要铺设钢管的路径构成了一棵树。因此，模型一不再适用于此问题。对需要铺设钢管的路径进行分析，可以得出A9,A16,A11,A17,A19不符合模型一的约束条件。因此，拿出来单独讨论，从而建立一个新的以求最小总费用为目标函数的非线性规划模型，并用Lingo软件编程求解得到最小总费用及最优订购方案。关键词：01规划、灵敏度分析、非线性规划、影子价格一、 问题重述要铺设一条的输送天然气的主管道, 如图一所示(见下页)。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有。图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。为方便计，1km主管道钢管称为1单位钢管。一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产600个单位。钢厂在指定期限内能生产该钢管的最大数量为个单位，钢管出厂销价1单位钢管为万元，如下表：1234567800800100020002000200030001501601551501551551651单位钢管的铁路运价如下表：里程(km)300301350351400401450451500运价(万元)2024273032里程(km)5016006017007018008019009011000运价(万元)36455358601000km以上每增加1至100km运价增加5万元。公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点，而是管道全线）。（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。（3）当公路和铁路运费浮动不超过5%时，讨论运购计划和总费用变化情况。（4）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。二、 符号说明 ：是否要从 Si钢厂预订钢管； ：从Si钢厂运到处的钢管量； ：从Si钢厂由铁路运到火车站口（即公路口A,B.Q）转换为公路的路程(km)； ：从Si钢厂由铁路运到火车站口（即公路口A,B.Q）的钢管数量； ：从火车站口（即公路口A,B.Q）由公路运到处的公路路程（km）； ：从火车站口（即公路口A,B.Q）由公路运到的钢管数量； ：从Si钢厂运到处所走的路程（包括公路和铁路转换为公路的路程km）； ：从到需要铺设的里程数（km）； ：、从向方向铺设的里程数（km）; ：从第Si钢厂预订的钢管数量； ：从Si钢厂预订的钢管运到处的1单位钢管的出售价格（万元）； ：从Si运到公路口A,B.Q所走铁路路程s产生的运输费用函数（万元）； ：表示Si钢厂在指定期限内的最大生产钢管数量； ：运输1km所需的运费； ：铁路运费变化后相对于原价的比例； ：公路运费变化后相对于原价的比例； ：从到需要铺设管道的里程数且； ：从向铺设的钢管里程数且；三、 基本假设 1、在铺设管道时，只能在到或者在到之间铺设，如果跨越一个节点铺设将会产生额外的费用，不能使总费用最小。2、针对问题二，假设单位钢管的价格波动不是很大，小于10%。钢厂的最大产量上限的波动也不超过10%；3、假设在与之间铺设管道时，每铺设1km,就运一次钢管，且每次运输钢管所走的路程是整数，运输到的地点是要铺设的下一个1km的起点。 4、假设铁路运输费用和公路运输费用在变化时分别按照各自的统一标准上下波动，不会出现有的路段变化，有的路段不变，也不会出现变化标准不一致。PQ四、 数据分析NJGAOMLKIHFEDCBA13258010103150124275108810706270502040304501203117506061942052106804803202202304205006203060195202720690520180680462160330160110280115011501250A2A3A4A5A6A11A711A11A8A11A911A11A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7图一 因为要运费最少，因此，通过火车运输的时候应该直接运输到有公路通向要铺设管道的火车站。如果运到没有公路的火车站将会产生额外的运输费用。因此，我们只需要七个钢厂分别到火车站A,B.Q这17火车站的最短距离。根据所给的图一，我们可以运用excel对图上得到七个钢铁厂分别通过铁路把钢管运输到火车站（即公路路口A,B.Q）的路程进行处理，并算出最短路程。表一 钢厂Si通过铁路到公路路口A.B.Q的最短铁路路程（单位：km）ABCDEFGHIJKLMNOPQS751304760353031332827263225822380166011401048870470380310300S6489045203290289325872392234221401420900808630230070350380S547204350312027232417222221721970125073046278010401270120014801510S448504480325028532547235223022100138086076891011701400133016101640S34160379025602163185716621612141069012101478162018802110204023202350S240003630240020031697150214521250197024902758290031603390332036003630S129522582135255124550020292214421710185221122342227225522582由铁路运输产生费用的规则，可以得到铁路运输费用函数：= 通过上面的函数可以算得分别从七个钢厂到公路路口A,B.Q的运输费用，如下表：表二 钢厂Si通过铁路运到公路路口A,B.Q的1单位钢管路费（单位：万元）ABCDEFGHIJKLMNOPQS727025019017015514514013095706558362724200S625524017517014013013012085585845200202424S5250230170150135125120110755332536575708590S4255235175155140130130115805853607080809595S322020014012010595958545758595105120115130130S221019513011595908575110135150155170180180190195S1160140803620200206085100105120130125140140 将A,B.Q用1,2.17表示，为了后面方便计算，我将对应的铁路换算成相应的公路长度：已知公路运输每1km运费0.1万元。表三钢厂Si通过铁路运到公路路口A,B.Q的最短铁路转路程换成相应的公路长度（单位：km）ABCDEFGHIJKLMNOPQS7270025001900170015501450140013009507006505803602702402000S6255024001750170014001300130012008505805804502000200240240S525002300170015001350125012001100750530320530650750700850900S425502350175015501400130013001150800580530600700800800950950S3220020001400120010509509508504507508509501050120115013001300S2210019501301150950900850750110013501500155017001800180019001950S11600140080036020020002006008501000105012001300125014001400从上图可以很轻松地算出从火车站走公路运输到A1，A2.A15的最短公路路程，数据如下表所示：表四 从公路路口A,B.Q走公路运到A1，A2.A15的最短公路路程（单位：km）A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15A1233314106416701864206922792959343937593979420946295129B433313275213581552175719672647312734473667389743174817C18011681137062012261420162518352515199533153535376541854685D179716771366616102044096191299177920992319254929693469E19861866155580519952104201100158019002120235027703270F219620761765101540921510220900138017001920215025703070G221720971786103643023631241921140117211941217125913091H240822881977122762142722212692117214921712194223622862I311829982687193713311137932722425228421062129217122212J363135113200245018441650144512355557539561584512651765K38863766345527052099190517001490810330102304608801380L410639863675292523192125192017101030550230102406601160M43884268395732072601240722021992131283251229262482982N4856473644253675306928752670246017801300980760530110610O479646764365361530092815261024001720124092070047050550P52665146483540853479328530802870219017101390117094052020Q52865166485541053499330531002890221017301410119096054040由上面两个表可以得到下表：表五 单位钢管从Si钢厂运到Aj所需的最少运费（万元）S1S2S3S4S5S6S7A1172.3193.1232.3267.3262.3267.3282.3A2160.3181.1220.3255.3250.3255.3270.3A3140.2150200.2235.2230.2240.2250.2A497.675181.6216.6211.6220.5231.6A537114.9121156151159.9171A620.595.5105.5140.5135.5140.5155.5A73.188.196131123.1131143.1A821.276.286.2116.2111.2121.1131.2A964.2114.249.284.279.289.299.2A1092.5142.582.565.560.565.577.5A111011518654335966A121061568861544659A13126.2176.26576.271.226.238.2A141301852385751129A15142192739787264表六钢厂在指定期限内能生产该钢管的最大数量为个单位，钢管出厂销价1单位钢管为万元123456780080010002000200020003000150160155150155155165表七 之间的路程（km）W1W2W3W4W5W6W7W8W9W10W11W12W13W14120311750606194205210680480320220230420500五、 模型建立和求解1) 问题一：由图得，所要铺设的管道长度为5246km.因此，需要的钢管数量 ；用表示是否要从 Si钢厂预订钢管，=0，则不预订，=1，则要预订。 ;由于总费用主要有两部分主成：购买钢管费用和运输费用，而运输费用又可以分为由Si到的费用和在到或者在到之间铺设钢管时的运输费用。 ；（由表六提供） 又因为，（的值可以由表五提供）所以， ； 又因为每铺设1km，就运输一次钢管，且每次向前运1km,所以，第一次为0，第二次为1.直到，是一个递增数列。同理，反向运输也是这个道理。；因此，第一个问题的数学模型为： 通过运用Lingo编写程序解决上述模型，求得最小总费用为1625207万元。分别从S1到S7钢厂订购800、800、1000,、600、795、1251、0千米钢管。结果分析与讨论：当公路费用和铁路费用在5%之内变化时，下图是运输费用从原来的1.05倍按0.01递减到0.95倍的图。由上图，可以看出铁路运费的变化对总费用的影响比公路运费对总费用的影响更大。因此，在计划订购方案时要更多地考虑铁路的运输费用。因为问题二将要讨论钢管售价以及钢厂生产上限变化对订购方案以及总费用的影响。因此，在这暂不着讨论。2) 问题二： 通过分析问题一运用lingo求解的结果，我们可以得到七个钢厂的钢管价格的影子价格。我们知道，“效益”的增量可以看作“资源”的潜在价值，在经济学上称为影子价格。 表八 单位钢管售价的影子价格S1S2S3S4S5S6S7影子价格-800-800-1000-600-795-12510当S1S7钢厂钢管售价从原来的0.9倍按每步0.02变化到1.1倍时，总费用及订购方案的变化，如表九售价0.90.920.940.960.9811.021.041.061.081.1S116132071615607161800716204071622807162520716276071630007163240716348071637207S216124071614967161752716200871622647162520716277671630327163288716354471638007S316097071612807161590716190071622107162520716283071631407163450716376071640707S416079401612738161732416204231622818162520716252071625207162520716252071625207S516020261606989161194616165431620878162520716270671628927162980716298071629807S615983291604529161068216166511621327162520716290811632948163582916376891639549S716199661621946162392616252071625207162520716252071625207162520716252071625207有上面的数据，我画出了相应对图形来作比较，这样可以更方便的找出对总费用影响最大的钢厂。由于S5和S6的变化差不多且影响较大。因此，我将这两者画在一个图中，使对比更明显。影子价格表示每降低一个单位的价格，总费用将减少的钱数。由表中数据可以得到S6钢厂的价格变化对总费用的影响最大。同样，可以从lingo的运行结果得到产量上限的影子价格，如下表： 表十 产量上限的影子价格S1S2S3S4S5S6S7影子价格11975.2300000表十一 当S1钢厂生产上限从原来的0.9倍按每步0.02变化到1.1倍时，总费用及订购方案的变化0.90.920.940.960.9811.021.041.061.081.1s1720736752768784800816832848864880s2800800800800800800800800800800800s310001000100010001000100010001000100010001000s4875000060000000s5600145914431427141179513791363134713311315s612511251125112511251125112511251125112511251s700000000000总费用16347271632823163091916290151627111162520716233401621640162009716185771617057同样地用lingo软件可以得到其他六个钢厂生产变化时总费用及订购方案的变化，由于方法一样，我就只给出了S1的完整数据，其他的我就只给出总费用的变化。如下表：表十二 当S2S7钢厂生产上限从原来的0.9倍按每步0.02变化到1.1倍时，总费用及订购方案的变化0.90.920.940.960.9811.021.041.061.081.1S216312491630020162881716276141626410162520716240041622801162159816203941619191S316282071627607162700716264071625807162520716246071624007162340716228071622207S416252071625207162520716252071625207162520716252071625207162520716252071625207S516252071625207162520716252071625207162520716252071625207162520716252071625207S616252071625207162520716252071625207162520716252071625207162520716252071625207S716252071625207162520716252071625207162520716252071625207162520716252071625207因为S4S7的生产上限在此范围内对总费用没影响，所以只画出前三个钢厂的图。由上两表数据及图我们可以看出S1钢厂的产量上限对购运计划和总费用的影响最大。3) 问题三： 我们已知铁路运费的波动后的价格是原来价格的倍，公路运费变化后是原价的倍。因此， （价格变化后铁路转换成公路的表达式）相当于在新的公路运费下，铁路转换成公路部分和公路部分多了一个权系数。因此，只需在之前的数据上乘上该系数后就可以利用模型一来解决问题三。 首先，讨论公路运费变化时对总费用以及订购钢管方案的影响。因为当公路费用增加时，铁路的价格不变，所以对运费影响主要在火车站往外运的环节上。运用excel对数据进行处理，可以算出当公路运费变化1%而铁路运费不变时，到最短路程的运费的变化情况。 表十三 当公路运费变化1%时，到最短路程的运费变化量A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S10.1230.0030.0020.6160.010.0050.0310.0120.0420.0750.010.010.0620.050.02S21.8011.6811.370.620.1990.0050.0310.0120.0420.0750.010.010.0620.050.02S30.1230.0030.0020.6160.010.0050.010.0120.0420.0750.010.760.530.110.61S40.1230.0030.0020.6160.010.0050.010.0120.0420.0750.010.010.0620.050.02S50.1230.0030.0020.6160.010.0050.0310.0120.0420.0750.010.010.0620.050.02S60.1230.0030.0020.8050.1990.0050.010.0120.0420.0750.010.010.0620.110.02S70.1230.0030.0020.6160.010.0050.0310.0120.0420.0750.010.010.0620.050.04 运用问题一的模型，将对应数据带入，用lingo求解，可以得到公路运费变化对订购方案以及总费用的影响结果。 表十四 取0.95至1.05时，总费用及订购方案的变化1.051.041.031.021.0110.990.980.970.960.95s1800800800800800800800800800800800s2800800800800800800800800800800800s310001000100010001000100010001000100010001000s479500006000000719s560013951395139513957951395139513951395676s612511251125112511251125112511251125112511251s700000000000总费用 万元16287541628046162733816266291625918162520716244951623783162306916223551621639由上表可以很清楚地看出公路运输费用变化时，对订购方案以及总费用的影响。 同样用excel对数据进行处理，可以得到当铁路运费变化而公路运费不变时，到最短路程的运费的变化情况。表十五 当铁路运费变化1%时，到最短路程的运费变化量A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S11.61.61.40.360.360.200.20.60.8511.051.21.251.4S20.130.130.130.130.950.950.850.751.11.351.51.551.71.81.9S32.22.221.21.21.050.950.850.450.750.850.120.120.120.12S42.552.552.351.551.551.41.31.150.80.580.530.60.70.80.95S52.52.52.31.51.51.351.21.10.750.530.320.530.650.70.85S62.552.552.41.41.41.41.31.20.850.580.580.450.200.24S72.72.72.51.71.71.551.41.30.950.70.650.580.320.240 运用模型一，将铁路费用在5%内的波动的数据带入，运用lingo求解，可以得到铁路费用每变化1%时，相应的订购方案以及总费用的变化。表十六 取0.95至1.05时，总费用及订购方案的变化1.051.041.031.021.0110.990.980.970.960.95s1800800800800800800800800800800800s2800800800800800800800800800800800s310001000100010001000100010001000100010001000s400000600600600600600600s513951395139513951395795795795795795795s612511251125112511251125112511251125112511251s700000000000总费用万元16403921637357163432016312841628246162520716221281619048161596716128861609803上表数据可很清楚地反映出铁路运费变化时，对钢管订购方案以及总运费的影响。由上面几个表中的数据我们可以作出公路费用变化及铁路费用变化对总费用影响的对比图。