精彩论文模版.doc

浅谈不等式选讲的教学设计 Teaching design on The Lecture of inequality 专 业: 数学与应用数学作 者:xx指导老师: xx湖南理工学院数学学院二一一年五月 岳阳湖南理工学院 本科毕业论文摘 要 依据新课程标准的教学理念, 探讨了不等式选讲的教学问题, 详细分析了教材和学情, 介绍了相关内容的教学方法以及课时安排. 并在最后给出了具体的教案.关键词: 新课程标准; 不等式; 教学设计AbstractAccording to the teaching principle of the new curriculum standard, we discuss the teaching of The Lecture of inequality , analysis the textbook and learning situation, and introduce the teaching methods and the arrangement of the class hours. Finally, the lesson design is given in detail.Keywords: the new curriculum standard; inequality; lesson design I 目 录摘 要IABSTRACTII0 引言11 教材分析与学情分析12 教学目标与教学重点、难点23 教学思路与教学方法44 教学安排65 教案举例8参考文献130 引言继义务教育阶段课程改革的全面推进, 2003年4月教育部制定了普通高中数学课程标准(以下简称标准), 其中在选修系列4新增加了数学专题-不等式选讲. 到2008年全国各省区全面使用标准教材进行教学. 不等式选讲在整个高中数学知识中占有非常重要的地位. 学生在学习不等式知识的同时也提高了其数学思维能力、逻辑分析能力等. 同时,标准强调在过去常用学习方法的基础上, 更加注重培养学生独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等重要的学习方式. 本文将依据新课程标准的教学理念, 结合自身参加教学实习和教学兼职期间积累的经验, 探讨不等式选讲的教学问题, 具体分析教材和学情, 介绍相关内容的教学方法以及课时安排. 最后还列举了部分教案. 1 教材分析与学情分析1.1 教材分析 不等式选讲是一个选修专题, 整个专题内容分为四讲, 分析如下: 第一讲 不等式和绝对值不等式 第一讲是本专题的最基本内容, 是其余三讲的基础. 本讲的第一部分类比不等式的基本性质, 先讨论不等式的基本性质, 这是关于不等式在运算方面的一些最基本法则. 接着讨论基本不等式, 并将其推广到一般形式的均值不等式. 在介绍基本性质和基本不等式的过程中. 强调了用它们解决一些简单问题. 第二部分中, 类比得出不等式基本性质的过程, 采用数形结合思想方法, 讨论有关绝对值不等式的性质及绝对值不等式的解法.第二讲 证明不等式的基本方法 本讲介绍证明不等式的几种常用方法: 比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法. 其中比较法是证明不等式的基本方法. 教科书结合证明方法的介绍, 对相应的数学思想进行及时概括. 本讲内容对进一步讨论不等式提供了思想方法的基础.第三讲 柯西不等式和排序不等式 本讲介绍两个经典不等式: 柯西不等式和排序不等式, 以及它们的简单应用. 柯西不等式是基本而重要的不等式, 是推证其他许多不等式的基础, 有着广泛的应用. 教科书首先介绍二维形式的柯西不等式, 再从向量的角度来认识柯西不等式, 引入向量形式的柯西不等式, 再介绍一般形式的柯西不等式. 排序不等式也是基本而重要的不等式, 一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形.第四讲 数学归纳法证明不等式 本讲介绍数学归纳法及其在证明不等式中的应用. 教科书首先结合具体例子, 提出寻找一种用有限步骤处理无限多个对象的方法的问题. 然后, 类比多米诺骨牌游戏, 引入用数学归纳法证明命题的方法, 并分析数学归纳法的基本结构和用它证明命题时应注意的问题. 第二部分举例说明用数学归纳法证明不等式. 1.2 学情分析学生在学习不等式选讲之前已经学习过数学必修5. 而数学必修5的第三章内容是不等式. 学生在学习这部分内容的时候已经掌握了不等关系, 一元二次不等式, 二元一次不等式组与简单线性规划问题, 基本不等式等有关不等式的基本知识, 且已经感受到在现实世界中存在大量的不等关系. 在此基础上学生进一步学习不等式选讲, 相对来说不等式选讲的难度和要求都高一些, 而且内容也比较多. 学生学习时普遍反映上课听得懂, 部分领会, 课后做作业难, 尤其是在学习解含有绝对值的不等式, 柯西不等式, 排序不等式, 数学归纳法时遇到的困难很多. 经过分析总结发现学生在学习本专题时存在许多不足. 比如: 课前不做预习; 上课时不积极思考, 一味的听课, 有疑问不及时提出; 课后做的练习不够等等. 2 教学目标与教学重点、难点2.1 教学目标 通过本专题的教学, 使学生了解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系,这两种关系都是基本的数学关系, 它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用; 使学生了解不等式及其证明的几何意义与背景, 以加深对这些不等式的数学本质的理解, 提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力. 依据新课程标准的理念, 和上述教材分析我们认为本专题的具体教学目标应该是: 1、回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式2、理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:(1) ;(2) ;(3) 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: ; ; .3、认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义. (1) 证明: 柯西不等式向量形式: . (2) 证明: .(3) 证明:.4、用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况:.5、用向量递归方法讨论排序不等式. 6、了解数学归纳法的原理及其使用范围, 会用数学归纳法证明一些简单问题. 7、会用数学归纳法证明贝努利不等式: (, 为正整数).了解当为实数时贝努利不等式也成立. 8、会用上述不等式证明一些简单问题. 能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.9、通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法: 比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 10、完成一个学习总结报告. 报告应包括三方面的内容: (1) 知识的总结, 对本专题介绍的不等式中蕴涵的数学思想方法和数学背景进行总结; (2) 拓展, 通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考, 进一步探讨不等式的应用; (3) 对不等式学习的感受、体会. 2.2 教学重点、难点基于上述有关教材和学情分析及教学目标, 现拟定本专题的教学重点与难点如: 本专题的教学重点: 不等式基本性质、均值不等式及其应用、绝对值不等式的解法及其应用; 用比较法、分析法、综合法证明不等式; 柯西不等式及其应用、排序不等式. 本专题的教学难点: 三个正数的算术-几何平均不等式及其应用、绝对值不等式解法; 用反证法, 放缩法证明不等式; 运用柯西不等式和排序不等式证明不等式以及求最值. 3 教学思路与教学方法 在新课程标准理念下, 教学过程本质有了重大改变, 教学过程可以说是一种“ 沟通、理解、创新 ”的过程, 教学不仅仅是把知识装入学生的头脑中, 更重要的是对问题进行分析和思考, 从而把知识变成自己的“ 学识 ”, 变成自己的“ 主见 ”, 自己的“ 思想 ”. 教学的结果应使学生将他们掌握的方法和获得的知识贯穿起来, 使他们既能高瞻远瞩, 又能析物入微. 本专题的教学思路是结合新课程标准理念制定的, 以学生自主探究学习为主, 教师讲授为辅; 把学生作为学习的主体, 教师作为组织者、引导者. 依据不等式选讲的内容特点, 教师在教学中应做到以下五个重视: 3.1 重视把握教学要求, 抓住教学重点 课程标准对于本专题的几个教学内容都有明确的教学要求, 如: 对于解含有绝对值的不等式, 只要求能解几种特殊类型的不等式, 不要求学生会解各种类型的含有绝对值的不等式. 对于数学归纳法在证明不等式的要求是会证明一些简单问题等等. 虽然教师对于不等式和数学归纳法有很丰富的教学经验, 但应注意不要把这些内容作一些深度的拓展和补充, 提高教学要求, 增加学生学习负担. 另外, 对于基本不等式、柯西不等式、排序不等式, 解含有绝对值的不等式, 不等式证明的方法, 以及数学归纳法的教学, 都要抓住教学重点, 抓住基本思想方法的教学, 力求以简驭繁. 对于几个重要不等式, 最基本的是二元(二维)的情况, 核心的思想也是在二元(二维)的不等式中得到直接的体现: 对于不等式证明的最基本方法是比较法; 解含有绝对值的不等式的最基本和有效的方法是分区间来加以讨论, 把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式; 让学生能对数学归纳法思想真正理解和掌握, 就能使学生灵活地加以应用. 这样, 学生就能掌握本专题最基本也是最重要的知识 3.2 重视教学方式的改进在目前的中学数学教学实践中仍存在一些问题, 就学生的学习而言, 比较突出的就是被动的接受式的学习, 教师偏重于灌输式的教学, 启发式的教学原则做得不够. 学生的问题意识不强, 不能发现新情况新情景中的新问题, 从而不能很好地解决问题. 针对这种情况, 教科书重视引导学生提出问题, 教科书设置了许多探究栏目, 鼓励学生主动探究, 引导学生对于问题作类比, 对于数学结论进行特殊化、作推广. 例如, 在讲述了基本不等式以后, 学生已经了解了两个正数的不等式知识, 教科书紧接着提出了一个思考问题: “ 对于三个正数会有怎样的不等式成立呢? ”在证明了关于三个正数的均值不等式以后, 又直接给出了一般的均值不等式; 再如, 在证明了二维和三维的柯西不等式以后, 就设置了一个探究性问题“ 对比二维形式和三维形式的柯西不等式, 你能猜想一般形式的柯西不等式吗? ” 等等, 这样的探究性问题在教科书中处处可见. 教师应充分利用这些探究性问题, 引导学生在探究过程中感受知识的产生、发展和应用的全过程. 3.3 重视展现不等式的数学意义和几何背景数量关系和空间形式是数学研究的两个重要方面, 不等式则是从数量关系的角度来刻画现实世界的. 我们一般借助于代数方法证明不等式. 代数证明要经过一系列的变形, 人们常常不能直接地看出其中的数量关系. 而借助于几何的方法, 把不等式中的有关量适当地用图形中的几何量表示出来, 则往往能很好地指明不等关系, 使学生从几何背景的角度, 直观地理解本专题中的重要不等式都有明显的几何背景. 教科书在安排教学内容时注意呈现不等式的几何背景, 帮助学生理解不等式的几何本质. 如对于是借助于面积关系, 绝对值三角不等式是借助于向量和三角形中的边长关系, 柯西不等式是借助于向量运算. 这样, 逐渐引导学生在面对一个数学问题时能从几何角度去思考问题, 找到解决问题的途径. 3.4 重视数学思想和方法的教学数学思想是对于数学知识的理性的、本质的、高度抽象和概括的认识, 带有普遍的指导意义, 蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中. 数学方法是研究或解决数学问题并使之达到目的的手段、方式、途径或程序. 数学思想和数学方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分, 有利于学生加深对于具体数学知识的理解和掌握. 本专题的内容包含了丰富的数学思想方法, 如: 应用重要不等式解决实际问题中体现出来的优化思想; 在重要不等式的呈现过程中的数形结合思想; 在解不等式中体现的转化的思想、函数思想以及证明不等式的比较法、综合与分析法、放缩法、反证法、数学归纳法; 在证明柯西不等式中的配方法等, 对于这些数学思想和方法, 教科书都及时地作归纳和总结, 使学生能够结合具体的问题加以理解和体会. 教师在教学过程中应注重对思想方法的讲解. 3.5 重视发展学生的数学应用意识 重要不等式在许多实际问题中可以得到应用, 在实际工作中常常能起到节约能源,降低成本, 提高效率, 加快速度等作用. 在本专题中, 教科书注意体现数学在实际生活的联系和应用, 编写了一些体现数学应用的例题和习题. 如经典的等周问题、盒子体积问题、施工队临时生活区选点问题、关于面积和体积的最值问题. 通过这些简单的应用问题, 使学生体会数学在实践中的作用. 培养学生的数学应用意识.4 教学安排按照新课程标准的要求, 本专题共授课18个课时. 以下是我们拟定的不等式选讲各部分内容的教学安排: 4.1 第一讲 不等式和绝对值不等式第一、二课时 不等式的基本性质、基本不等式 教学方式: 讲授法、练习法、读书指导法. 教学时主要是做简单的回顾和复习, 精讲多练, 以练为主.说明: 此部分内容在必修5中已经涉及, 所以课时安排较少, 采用以练为主的教学方法. 第三课时 三个正数的算术-几何平均不等式教学方式: 启发法、谈话法、演示法、讲授法. 引导学生自主探究得出结论. 说明: 通过前面的学习, 学生已经掌握了两个正数的基本不等式的知识.采取自主探究教学, 容易理解掌握. 让学生体会学习的乐趣. 第四、五课时 绝对值不等式 教学方式: 演示法、讨论法、启发法、讲授法. 让学生通过讨论探究得出绝对值三角不等式的几种形式和它们的几何意义, 学习几种特殊绝对值不等式的解法, 不要求会解各种类型的含有绝对值的不等式. 说明: 让学生在知识的探索过程中，体会不同解法中的各种数学思想方法，不必做过多的解题训练. 4.2 第二讲 证明不等式的基本方法第六至第九课时 证明不等式的基本方法教学方式: 演示法、讲授法、练习法. 通过对一些简单问题的演示让学生了解证明不等式的基本方法, 重点学习比较法、分析法与综合发、反证法. 对放缩法可适当降低要求. 说明: 不等式的证明过程能很好地训练学生的数学思维. 同时, 掌握几种基本的证明方法是解决数量大小的重要工具. 但是放缩法对表达式的变形和放缩水平要求比较高, 可放低要求. 4.3 第三讲 柯西不等式与排序不等式第十至十三课时 柯西不等式 教学方式: 启发法、演示法、讨论法、讲授法. 通过演示启发学生探究二维形式的柯西不等式及其几种不同形式, 并能用它证明一些简单的不等式, 学习二维到三维至维的推广问题. 说明: 柯西不等式是经典不等式之一, 其形式优美且具有重要应用价值;柯西不等式的推广学习让学生再一次体会知识类比和推广的过程. 第十四至十五课时 排序不等式教学方式: 读书指导法、讲授法. 采用“探究-猜想-证明-应用”的研究式教学, 学生自学后教师答疑. 说明: 排序不等式同样是经典不等式之一, 通过对柯西不等式的学习后,学生可以通过自学完成这一部分的一些学习,然后教师答疑, 培养学生的自学能力. 4.4 第四讲 数学归纳法证明不等式第十六至十七课时 数学归纳法证明不等式 教学方式: 演示法、讨论法、练习法. 通过演示、练习让学生理解数学归纳法各步骤的原理和思想, 会用数学归纳法证明一些简单的关于的不等式, 但是对于变形要求较高的例题与习题可不讲. 说明: 通过实际情境交流探索, 使学生充分理解数学归纳法必须具备的两个条件. 通过一些容易理解的数学问题加深学生对于方法的理解和掌握, 但在用数学归纳法证明时常常需要做一些技巧性较高的变形, 而这是新课标所不提倡的, 要注意控制这方面的教学要求, 不要使教学陷入过于形式化和复杂的恒等变形的技巧之中. 第十八课时 学习总结报告 教学方法: 读书指导法、讨论法. 让学生通过自主阅读与自我反思, 对本专题的学习情况做一个学习总结报告.说明: 通过本专题的学习, 学生已完成高中阶段有关不等式的学习. 让学生自己总结分析, 有利于学生发现自身问题, 进一步完善知识体系.5 教案举例反证法的教案一、教学目标:通过一些简单的不等式证明问题, 使学生了解用反证法证明不等式的基本过程及其思想方法, 引导学生体会适宜于用反证法证明的不等式的特点, 了解用反证法证明不等式时需要注意的问题, 并使他们进一步认识反证法的思想. 二、 教学重点:分析要用反证法证明的不等式问题的特点, 理解用反证法证明不等式的思想.三、教学难点:从不等式结论的否定推出矛盾, 得到不等式的证明. 四、 教学方式:演示法、讲授法、讨论法.五、教学过程:1、新课引入: 、 三个人, 说撒谎, 说撒谎, 说、都撒谎. 则必定是在撒谎, 为什么? (让学生们分组讨论, 最后进行分析解答)2、前面我们曾经研究过不等式的基本性质. 可以发现, 条性质中, 有的可以由实数大小关系的基本事实直接推出. 例如, 对于性质(3)“如果,那么 ”, 我们可以这样来证明: 由得, 于是,所以 .但对于性质(6)“ 如果, 那么()”, 我们很难从条件和已有事实直接推出结论. 这时可以采用如下方法: 假设 不成立, 那么必有, 或 .如果, 那么; 如果, 那么由性质(5)有. 这些都与 矛盾. 于是, 成立.3、 通过上面的总结引导学生得出反证法的含义: 先假设要证的命题不成立, 以此为出发点, 结合已知条件, 应用公理、定义、定理、性质等, 进行正确的推理, 得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 矛盾的结论, 以说明假设不正确, 从而证明原命题成立, 我们把它称为反证法. 例1 已知, 且. 试证:, 中至少有一个小于2. 例2 已知, , 为实数, , , , 求证: ， , .以上两道例题选自教科书的原题, 都是用反证法证明不等式的. 因为反证法是一个教学难点, 所以在上课的时候, 应注意详细分析解题的思路. 在讲解完这两道习题之后, 引导学生归纳总结: 反证法的关键是从假设出发, 寻找矛盾; 一般步骤是反设-归谬-下结论; 反证法适用的情形是直接证明较困难、需分很多类进行讨论以及结论为“至少”、“至多”、“唯一”类命题. 六、 课后作业: 课本29页习题1、4. 二维形式的柯西不等式的教案一、教学目标:让学生认识二维形式的柯西不等式及其几何意义; 让学生了解柯西的主要贡献, 贯穿数学史教育; 让学生通过对二维柯西不等式的再认识, 理解二维柯西不等式与中学数学有关内容的联系; 感受柯西不等式优美的对称形式和它的广泛应用.二、教学重点: 二维形式的柯西不等式及其向量形式三、教学难点: 二维形式的柯西不等式的向量形式;柯西不等式的变形式四、教学方式: 启发法、讨论法为主, 讲授法为辅五、教学过程: 1、介绍二维形式的柯西不等式探究是我们非常熟悉的不等式, 它反映了两个实数的平方和与乘积的大小关系. 现在考虑乘积它涉及到4个实数, 并且形式上也与平方和有关你能类比的推导过程, 研究一下关于它的不等式吗? 通过将展开变形, 推出: (并且进一步引导学生讨论得出上式等号成立时, 当且仅当.给出二维形式的柯西不等式: 若都是实数, 则, 当且仅当时， 等号成立引导学生给出证明 注:在这一阶段可插入介绍法国科学家柯西的主要贡献, 贯穿数学史的教育2、柯西不等式的向量形式由变形可得到观察不等式的两边, 很容易联想到向量的模, 我们不妨在直角坐标系中引入向量, 与之间的夹角为如下图: 0图 1 联想向量的模的形式得出二维形式的柯西不等式的向量形式: 设, 是两个向量, 则, 当且仅当是零向量, 或存在实数, 使时, 等号成立(在引导学生得出向量形式的过程中，重点是要引导学生发现不等式等号成立的条件)例1 已知为实数, 证明例2 求函数的最大值例3 设, 求证：.上面3道例题选自教科书的原题, 是关于二维的柯西不等式的简单应用. 目的是通过对这几道题的解答, 使学生更充分地了解柯西不等式形式的简洁和优美, 在教学过程中应特别注重分析不等式两边的特征, 体会其中式子变形的作用, 提高利用柯西不等式解题的能力. 同时要突出其在解有关不等式的问题中的优势, 可采取用不同的方法解上面的例题, 通过比较让学生亲身感受用柯西不等式解题的优越性.六、课后作业: 课本36页习题1、3、4. 致谢 本文是在涂建斌老师的指导下完成的, 在此对涂老师表示衷心的感谢!参考文献1 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准S. 北京: 人民教育出版社, 2003. 2 人民教育出版社课程教材研究所. 普通高中数学课程标准实验教科书数学选修4-5不等式选讲M. 北京: 人民教育出版社，20073 人民教育出版社课程教材研究所. 普通高中数学课程标准实验教科书数学必修5 M. 北京: 人民教育出版社, 2007.4 人民教育出版社课程教材研究所. 普通高中课程标准实验教科书数学选修4-5不等式选讲教师教学用书M. 北京: 人民教育出版社，20075 郭满花. 关于新课程教材不等式选讲的教学研究D. 湖南: 湖南师范大学, 2009. 6 孙立春. 新课程改革实用导读M. 山东: 山东教育出版社, 2003. 7 朱胜强. 一个不等式问题的教学与思考J. 数学通报, 7(2010), 37-39.8 林忠仁. 新课程与创新学习M. 山东: 山东大学出版社， 2005.9 梁龙宝. 浅谈中学数学自主探究式教学模式J. 学习方法报, 25(2011), 21-23.10 江雪萍. 数学课程标准和新教学大纲中选修课比较J. 数学通报, 2004(7), 9-1111 韩瑞高中数学新课程中不等式选讲专题的有效教学策略研究D兰州: 西北师范大学， 200712 Stigler J W, Hiebert J. Theteaching gap: The best ideas from worlds teachers for improving education in cIassroom. New York: The Free Press, 1999. 13 Schoenfeld A H. Mathematics problem solving. NeW York: Academic Prees, 1985. 第12页, 共13页