函数的单调性说课稿.doc

课题：函数的单调性
授课教师：王建华
教材：《普通高中课程标准实验教科书（必修）数学1》第二章第一节第三课
一：教材分析
本节课内容共分两课时进行，这是第一课时，主要学习增减函数的定义，以及利用这些概念证明或判断函数的单调性。函数的单调性是函数的一个重要性质，它在比较几个数的大小、对函数的定性分析以及其他知识的综合应用上都有广泛的运用。它既是在学生学过函数概念等知识后的延续和拓展，又是后面研究指数函数、对数函数、三角函数各类函数的单调性的基础，在整个高中数学教材中起着承上启下的作用。研究函数的单调性体现了数形结合和归纳转化的数学思想方法，反映从特殊到一般的数学归纳思维形式，这对培养学生创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。
二：学情分析
学生在知识上已掌握了一次函数、二次函数和反比例函数等内容，但对这些函数知识的理解和综合上还存在欠缺；能力上具备了一定的观察、分析、类比能力，但知识的整合和主动迁移的能力较弱，数形结合的意识和思维的深刻性还需进一步培养和加强；情感上多数学生喜欢动手操作，主动研究，但少数学生还需营照一定的气氛来调动。所以根据上述教学内容，结合课程标准和学生的实际，确定以下教学目标、教学重点和难点。
三：教学目标
（1） 知识与技能：
理解函数单调性的概念，掌握函数单调性的判断与应用
（2） 过程与方法
① 通过引例让学生自己解决生活中的问题，培养学生数学建模能力。
② 通过对单调性概念的学习，培养学生的观察能力，分析归纳能力，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理的思维方式。
③ 通过阶梯性训练题的练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。
④ 通过对例题的引申，培养学生的发散思维和知识的迁移能力。
（3） 情感态度与价值观
通过对单调性的研究，培养学生主动探索、勇于发现的精神，培养学生创新意识；通过研究图象培养学生对数学美的艺术体验；通过学生之间的讨论培养学生合作交流能力。
四：教学的重点、难点
教学重点：函数单调性的概念，函数单调性的判断与应用
说明①让学生观察函数y=x,y=-x+1,y=,y=的图象，指出图象变化的趋势。
从“形”入手，观察函数图象的变化趋势，从左往右看，图象有四种情况：在整个定义域内程上升趋势；在整个定义域内程下降趋势 ；在整个定义域内被分成两个区间，在第1个区间呈上升趋势；在第2个区间呈下降趋势；在整个定义域内被分成两个区间，在第1个区间呈下降趋势；在第2个区间呈下降趋势
② 让学生说出“图象呈上升趋势”的意思？
提醒学生抓住函数本质定义 （从函数输入值的观点）来理解“图象呈下降趋势”；借助几何画板显示图象上点的坐标大小关系，从“数”的角度来体现“y随x的增大而增大”
③如何用数学语言描述函数的单调性？
提醒学生能不能说由于x=0时，y=0;x=2时y=2就说y随x的增大而增大（举有限个特殊点）
能不能说由于x=0,1,2,3,4…时，y=0，1，2，3，4…就说y随x的增大而增大（举无限个特殊点）
答案是否定的。如y=的图象，因为对称轴为，所以当x=0,1,2,3…时,y=,它在以上的点中y随x的增大而减小，但在上不递减，由此可见单调性必须强调区间，必须强调区间上的任意点。如y=在区间上y随x的增大而减小，在y随x的增大而增大。
让学生自己给出单调性定义。
④教师总结定义中要注意的问题
⑤通过例题和习题来加深对概念的理解与应用。
教学难点：利用函数单调性概念证明或判断函数的单调性
说明：①判断引例中y=x+的单调性（注意：它在整个定义域上不单调，该如何划分区间）
②启发学生从函数的三种表示方法入手
③（列表法）分析函数值大小的变化（粗略估算，猜测结果）
④（图象法）分析函数的图象，借助几何画板演示
⑤(解析式法)利用函数解析式比较大小过程中的数值分析
设x1<x2,x1,x2∈
f(x1)-f(x2)=(x1+)-(x2+)=(x1-x2)+=
∵0< x1<x2≤2,∴x1-x2<0,0<x1x2<4所以确定f(x1)-f(x2)正负号的关键取决于x1x2与1的大小,由于x1,x2在同一个区间里:欲使x1x2<1,则需x1,x2∈;欲使x1x2>1,则需x1,x2∈
⑥给出完整代数证明。
⑦小结单调性判断的三种方法（第一种列表法只是粗略估算，第二种、第三种比较精确，第三种为严格的证明过程），注意总结作差的步骤以及注意事项。
⑧小结定义域单调区间划分的依据
⑨通过阶梯式的练习题，巩固函数单调性的证明和判断。通过例1、例2加深知识的理解；通过例3让学生小结一次函数、二次函数、反比例函数的单调性与系数的关系；通过例4引导学生思考增减函数相加后的增减性，抽象出函数的一般性质，培养学生的创新能力。
五：教学方法与教学手段：
普通高中《数学课程标准》中指出：学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习。高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。对照皮连生教授《智育心理学》中提出的“六步三段”课堂教学模式，采取以下教学方法：
由生活实例引入研究函数单调性的必要性；采用数形结合的方法、启发研究的思想、小组讨论的手段、让学生得到函数单调性的定义；让学生利用已有的知识（函数的定义和表示方法），多角度的思考例题，得到函数单调性判断的几种常规思路。通过阶梯性习题训练加深对知识的理解；同时充分利用现代化教学手段，增大教学内容和直观性，提高教学效率。
六：教学过程
教学流程：告知与预期 激活原知 呈现新知 形成概念 知识的理解和应用 知识迁移、能力创新
教学过程：
第一段：复习旧知识，激活原有相关知识，呈现新知识，自主探索，归纳总结，形成概念
第一步：告知与预期
（1） 函数的定义
一般地，设A,B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数(function),通常记为y=f(x),x∈A，其中所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域(domain)
（2） 函数的三种表示方法
列表法、解析法、图象法
（3） 引例：小明生日那天，妈妈送给小明两只小白兔作为生日礼物。但小白兔养在哪？小明决定给小白兔做一个长方行笼子。由于家里住房面积有限，只能提供一平方米的面积给小白兔（高度任意），而且有一边长度不能超过2米，请大家帮助小明设计一种方案使得笼子长和宽之和最小？
解答：设长方形受限制的一边长为x米，（0＜x≤2），则另一边长为米，∴两边之和y=x+（0＜x≤2）
归结为求数学问题：y=x+（0＜x≤2)的最小值
如何求最小值？必须研究y随x的变化而变化的规律
（4）列举几个生活实例感受函数单调性的意义。
①课本2.1.1某城市一天24小时的气温变化图
②上海市高等学校在校学生数统计表
③心电图、股市图

第二步：激活原知识
问题1：动手作出初中学过的函数y=x,y=-x+1,y=,y=的图象. 并观察图象，指出图象变化的趋势。

（1） （2） （3） （4）

说明：从“形”入手，观察函数图象的变化趋势，从左往右看，图象有四种情况：在整个定义域内程上升趋势；在整个定义域内程下降趋势 ；在整个定义域内被分成两个区间，在第1个区间呈上升趋势；在第2个区间呈下降趋势；在整个定义域内被分成两个区间，在第1个区间呈下降趋势；在第2个区间呈下降趋势

第三步：呈现新知识
问题2：你能明确说出“图象呈上升趋势”的意思？
从“数”入手（函数输入值的观点），来看y和x的关系，即本节课开始提出的研究y随x的变化而变化的规律
借助几何画板输入不同的x，得到不同的y看出：
图（1）在整个定义域上y随x的增大而增大
图（2）在整个定义域上y随x的增大而减小
图（3）在整个定义域内被分成两个区间，在第1个区间y随x的增大而增大；在第2个区间y随x的增大而减小
图（4）在整个定义域内被分成两个区间，在第1个区间y随x的增大而减小；在第2个区间y随x的增大而减小。
对于图象的这种性质我们给它一个定义：函数的单调性。

第四步：归纳总结，形成概念
问题3：如何用数学语言描述函数的单调性？小组讨论。（让学生根据几何画板展示的y随x的变化规律从函数的定义下手进行总结）
教师提示：能不能说由于x=0时，y=0;x=2时y=2就说y随x的增大而增大（举有限个特殊点）
能不能说由于x=0,1,2,3,4…时，y=0，1，2，3，4…就说y随x的增大而增大（举无限个特殊点）
答案是否定的。如y=的图象因为对称轴为，所以当x=0,1,2,3…时,y=,它在以上的点中y随x的增大而减小，但在上不递减，由此可见单调性必须强调区间，必须强调区间上的任意点。如y=在区间上y随x的增大而减小，在y随x的增大而增大。
学生总结：函数单调性的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间IA。
如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数(increasing function)，I称为y=f(x)的单调增区间(increasing interval)
如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数(decreasing function)，I称为y=f(x)的单调减区间(decreasing interval)
如果函数y=f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间。
注意点：①在单调区间上增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。
②单调性是对定义域内某个区间而言的，反映的是局部性质，有些函数在整个定义域内单调。有些函数在定义域内的部分区间单调递增，而在另一部分单调递减。而有些函数根本不单调，如函数y=c(c为常数)。单调性反映的是某个区间的性质，对在某一点处的单调性没有意义,如函数y=x2，x∈{0,1,2}定义域根本不是区间
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为y在A∪B上是增（或减）函数，如反比例函数在（ －∞，0）上单调递减，在（0，∞）上单调递减，但不能说在（－∞，0）∪ （0，∞）上单调递减。
④x1,x2的三个特性：(1) 任意性 即x1, x1 是区间内的任意两个数
(2) 大小性 即x1 ＜x2。
(3) x1，x2应属于同一个单调区间。
⑤注意定义中的任意性，若要说明函数f(x)在某个区间上不是增（减）函数，只需在该区间上找到两个x1,x2,当x1<x2时有f(x1)≥f(x2) （或f(x1)≤f(x2)）成立。

第二段（第五步）：知识的理解和运用
学生通过第一段的学习，对本节课的知识已经有了初步的理解，所以在理解概念的基础上解决一些简单题目，可以加强对知识的理解和应用，同时这两个例题也可作为课内的初级操作评价，让学生充分暴露思维障碍，帮助教师了解学生获得知识上的现状，突破本节课的难点。
例1：说出上面四幅图函数y=x,y=-x+1,y=,y=的单调性

例2：判断引例中y=x+的单调性
注意：它在整个定义域上不单调，该如何划分区间？
对照函数的三种表示方法从三个方面入手分析
法一：（列表法）分析函数值大小的变化y=x+
x
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
y
4.25
2.5
2.08
2
2.05
2.17
2.32
2.5
猜测：单调递增区间[1，2] 单调递减区间
法二：（图象法）分析函数的图象(借助几何画板画图)

1

猜测：单调递增区间[1，2] 单调递减区间
法三：(解析式法)利用函数解析式比较大小过程中的数值分析
设x1<x2,x1,x2∈
f(x1)-f(x2)=(x1+)-(x2+)=(x1-x2)+=
∵0< x1<x2≤2,∴x1-x2<0,0<x1x2<4,所以确定f(x1)-f(x2)正负号的关键取决于x1x2与1的大小,由于x1,x2在同一个区间里:欲使x1x2<1,则需x1,x2∈;欲使x1x2>1,则需x1,x2∈
证明：设x1<x2,x1,x2∈
f(x1)-f(x2)=(x1+)-(x2+)=(x1-x2)+=
∵0< x1<x2≤1,∴x1-x2<0,∴0<x1x2<1, x1x2-1<0，∴f(x1)-f(x2)>0 ，∴f(x1)>f(x2) ∴f(x)在区间内递减，同理f(x)在区间[1，2]内递增
∴f(x) 在区间内递减，在区间[1，2]内递增。
让学生小结判断或证明单调性的方法：
（1） 利用图象找规律
（2） 利用定义给出证明
①取值：在给定区间上任取两个值，，且；
②作差变形：作差，通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形，要化简到易于判断的形式（如几个因式相乘，平方和等等）
③定号：判断上述差式的符号，若不能确定，则可分区间讨论；
④结论：根据差的符号，得出单调性的结论。
有时也可以作商
①取值：在给定区间上任取两个值，，且；
②作商变形：作商，通过因式分解、分母有理化等方法变形，要化简到易于判断的形式（如几个因式相乘，平方和等等）；
③定号：判断上述商与1的大小，若不能确定，则可分区间讨论；
④结论：根据商的符号，得出单调性的结论。（注意分母与0的大小）
列表取特殊值只是一种粗略的思考方法，要给出严格的证明只能从图象和定义入手。
说明：通过这两个例题：一是让学生充分体会数形结合思想解决函数问题的重要性；二是启发学生归纳总结出判断函数单调性的几种方法和证明函数单调性的步骤，教师要帮助学生突破难点；三注意函数单调区间划分的方法。

第三段（第六步）：知识迁移、能力创新
为了帮助学生充分理解概念，促成知识向能力的转化，本段着重启发学生对函数单调性定义中的条件进行重组，从而加深对函数单调性定义的理解；为学生提供知识应用的新情景，促进知识迁移，同时加强学生的发散思维和创新能力的训练。
例3：判断函数y= -2x+1的单调性并给出证明
判断函数y=2x+1的单调性并给出证明（小结一次函数y=kx+b k≠0的一般规律）
(2)判断函数y=x2-2x的单调性并给出证明。
思考：函数y=x2+2(a-1)x在递减，求a的范围
（3） 判断函数y=|x|的单调性并给出证明。
思考图象特征为下节课讲奇偶性做铺垫
（4） 判断函数y=的单调性并给出证明
课后思考：这个函数形式你熟悉吗？（第2-1（1）节习题中提到的复合函数：它为反比例函数对二次函数y=(x-1)2的复合）。

例4：回顾函数y=x+,可以看成两个函数y=x与y=函数和的形式,y=x在R上为增函数，在y=在为减函数，在为减函数
思考①两个增函数的和是否一定为增函数？
②两个减函数的和是否一定为减函数？
③一个增函数和一个减函数的和有什么性质？
④函数y=x+变成函数y=x+单调性怎样？变成函数y=x-单调性又怎样？你能得到一般的结论吗？
注意：回答上述问题时必须注意共同的定义域，问题④借助几何画板给出一般规律：抽象成函数y=x+（a>0）在为增函数，在为减函数, 在为减函数，在为增函数
y=x+（a<0）在为减函数，在为减函数
练习：判断函数y=3x+的单调性
说明：此函数为高中阶段的一个重要函数，要让学生记住它的形式和性质，同时由函数y=x+拓展到函数y=x+，培养学生的创新能力
课堂小结：
1：函数单调性的概念
2：判断函数单调性的方法（法一：（列表法）分析函数值大小的变化，只是粗略估算；法二：（图象法）分析函数的图象；法三：(解析式法)利用函数解析式比较大小过程中的数值分析（即作差和作商）。
3：解决实际问题的数学思想方法

课外作业：
以落实教材习题为主，强化基础，巩固目标，同时又布置选做题，选做题的目的即是进一步延伸课堂，培养学生分析问题和解决问题的能力，同时也达到分层次教学的目的。
（1） 课本习题37页，练习1，2，5，6，7
（2） 预习最大、最小值概念，解决引例中y=x+（0＜x≤2）的最小值
（3） 小结函数y=kx+b,y=ax2+bx+c,y=(k,a,b,c为参数)的单调性与k,a,b,c的关系
选做题：
（4） 本结课研究了一次函数和反比例函数相加后单调性，你能不能自己研究学过的函数相加、相减后的性质
（5） 你能不能观察y=|x|图象还有那些性质？
（6） 由函数y=的单调性，思考一般复合函数的单调性？

七：教案设计说明
本节课采用皮连生教授《智育心理学》中提出的“六步三段”课堂教学模式
第一段：复习旧知识，激活原有相关知识，呈现新知识，自主探索，归纳总结，形成概念
第一步：告知与预期。研究函数的单调性必须回归函数的本质，所以本节课开始复习函数的定义和函数的三种表示方法，接着设计了一个引例和几个生活中的实例，让学生用已学知识解决函数问题，培养数学建模能力，同时引出研究函数单调性的必要。
第二步：激活原知识，第三步：呈现新知识，第四步：归纳总结，形成概念
分三个层次得到函数单调性的概念：让学生动手作出初中学过的函数y=x,y=-x+1,y=,y=的图象. 并观察图象，从“形”入手，观察函数图象的变化趋势；让学生说出“图象呈上升趋势”的意思？然后从“数”入手（借助几何画板演示图象上点的坐标大小关系），来看y随x的变化而变化的规律；最后用数学语言描述函数的单调性？可以让学生分小组讨论，为了突出定义中的“任意”、“定义域的某区间”这两个重要性质，可让学生仔细观察所做的三副图，提示学生不能用区间内有限或无限个自变量来定义，最后教师对于概念中的注意点进行小结。这样设计可以培养学生的观察能力，分析归纳能力，掌握数形结合的思想，体检从特殊到一般的数学归纳推理方式
第二段（第五步）：知识的理解和运用，在理解概念的基础上解决一些简单题目，可以加强对知识的理解和应用，例1为简单知识回顾，例2让学生抓住函数的三种表示方法，从多角度来判断函数的单调性，借此小结判断函数单调性的一般步骤和方法。例2的解题中会遇到一些问题，借此告诉学生遇到定义域要分割成几个区间时该如何处理。 最后师生共同总结判断的一般步骤。
第三段（第六步）：知识迁移、能力创新。为了帮助学生充分理解概念，促成知识向能力的转化，促进知识迁移，同时加强学生发散思维的训练和创新能力的提高。设计了例3和例4，通过例3进一步复习函数单调性判断的一般步骤，从学生熟悉的一次、二次函数、反比例函数入手，总结出一次、二次函数、反比例函数单调性的一般规律，此外设计了绝对值函数、复合函数的两个简单例子让学生判断，是为了以后学习奇偶性和复合函数单调性做铺垫。
例4是为了拓展学生思路，培养学生创新意识，让学生考虑两个增减函数相加减后的性质，同时也是为了引出一个重要的函数y=x+的单调性。
课堂小结：从整体上对本节课小结，让学生形成体系，同时点出数学建模的一般思路。
课外作业：分3个层次：简单运用（课本习题）；巩固加深（自已推导一次、二次函数、反比例函数单调性与系数的关系）；拓展延伸（选做题）， 进一步延伸课堂，培养学生分析问题和解决问题的能力，同时也达到分层次教学的目的。
9