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一元二次方程根的判别式教学案例作者： 高坤成日期：2008-03-27 19:43:56一、教材分析1、4、教学目标：（1）知识能力目标：通过本课的学习，让学生在知识上了解掌握根的判别式。在能力上在求不解方程能判定一元二次方程根的情况；根据根的情况，探求所需的条件。（2）情感目标：学生通过观察、分析、讨论、相互交流、培养与他人交流的能力，通过观察、分析、感受数学的变化美，激发学生的探求欲望。5、数学思想：由感性认识到理性认识。6、教学重点：（1）发现根的判别式。（2）用根的判别式解决实际问题。7、教学难点：根的判别式的发现8、教法：启导、探究9、学法：合作学习与探究学习10、教学模式：引导发现式二、教学过程（一）自习回顾，引入新课1、师生共同回顾：一元二次方程的解法2、解下列一元二次方程。（1）x2 -1=0 （2）x2 -2x =-1（3）(x+1)2- 4=0 （4）x2 +2x+2=03、为什么会出现无解？（二）探索1、回顾：用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的过程。ax2+bx+c=0x2+ b/ax =cx2+ x+()2=( )2c2(x+ ) 2= 22 2、观察(x+ ) 2= 2 在什么情况下成立？3、学生分组讨论。4、猜测？5、发现了什么？6、总结：2（先由学生完成，后由教师补充完整），通过观察分析发现，只有当 b24ac 0时， 才能直接开平方，也就是说，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)只有当系数a,b,c都是b24ac 0时，才有实数根。（注意有根和有实数根的区别）7、进一步观察发现一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)（1）当b24ac 0时，_（2）当b24ac 0时,_（3）当b24ac 0时,_8、总结：（1）比较分析学生的讨论分析结果。（2）由学生总结。（3）教师根据学生总结情况补充完整。把b24ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式。（1）当b24ac 0时，_（2）当b24ac 0时,_（3）当b24ac 0时,_（三）应用新知：1、不解方程判定下列一元二次方程根的情况。（1）x2-x-6=0 b24ac=_ x1=_ x2=_（2）x2-2x=1 b24ac=_ x1=_ x2=_（3）x2-2x+2=0 b24ac=_ x1=_ x2=_2、根据根的情况，求字母系数的取值范围。例1：当m取什么值时，关于x的一元二次方程，2x2-(m+2)+2m=0有两个相等的实数根？并求出方程的根。（1）读题分析：A、二次项系数是什么？ a=_B、一次项系数是什么？ b=_C、常数项是什么？ c=_(2)建立等式，根据有个常数根 b24ac=0（3）由学生完成解题过程后教师评价3、证明例2：说明不论m取什么值时，关于x的一元二次方程（x-1）(x-2)=m2,不论m取代的值都有几个不相等的实根。（四）已知关于x的一元二次方程2x2-(2m+1)x+m=0的根的判别式是9，求m的值及方程练习的根。（五）小结：把_叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式，并会用它们解决一些实际问题。三、作业1、把第1、2整理在作业本上。2、有余力的同学把练习题整理在作业本。（一）教学过程1复习提问（1）平方根的性质是什么？（2）解下列方程：；。问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用。问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用。2任何一个一元二次方程用配方法将其变形为，因此对于被开方数来说，只需研究为如下几种情况的方程的根。（1）当时，方程有两个不相等的实数根。即（2）当时，方程有两个相等的实数根，即。（3）当时，方程没有实数根。教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？答：。3定义：把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示。一元二次方程。当时，有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根。反之亦然。注意以下几个问题：（1）复习提问这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况。正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫。在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法。（2）当，说“方程没有实数根”比较好。有时，也说“方程无解”。这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根的意思。（一）教学过程1复习提问（1）平方根的性质是什么？（2）解下列方程：；。问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用。问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用。2任何一个一元二次方程用配方法将其变形为，因此对于被开方数来说，只需研究为如下几种情况的方程的根。（1）当时，方程有两个不相等的实数根。即（2）当时，方程有两个相等的实数根，即。（3）当时，方程没有实数根。教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？答：。3定义：把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示。一元二次方程。当时，有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根。反之亦然。注意以下几个问题：（1）这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况。正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫。在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法。（2）当，说“方程没有实数根”比较好。有时，也说“方程无解”。这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根的意思。4例题讲解例1 不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）；（2）；（3）。解：（1）原方程有两个不相等的实数根。（2）原方程可变形为。，原方程有两个相等的实数根。（3）原方程可变形为。原方程没有实数根。学生口答，教师板书，引导学生总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的（2）计算的值；（3）判别根的情况。强调两点：（1）只要能判别值的符号就行，具体数值不必计算出。（2）判别根据的情况，不必求出方程的根。练习：不解方程，判别下列方程的情况：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）学生板演、笔答、评价。（4）题可去括号，化一般式进行判别，也可设，判别方程根的情况，由此判别原方程根的情况。例2 不解方程，判别方程的根的情况。解：。又 不论k取何实数， 原方程有两个实数根。教师板书，引导学生回答。此题是含有字母系数的一元二次方程。注意字母的取值范围，从而确定的取值。练习：不解方程，判别下列方程根的情况。（1）；（2）；（3）。学生板演、笔答、评价。教师渗透、点拨。（3）解： 不论m取何值，即。 方程无实数解。由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值。（二）总结、扩展1判别式的意义及一元二次方程根的情况。（1）定义：把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示。（2）一元二次方程。当时，有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根。反之亦然。2通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法。四、布置作业教材P27A14。5不解方程，判断下x的方程的根的情况（1）（2）本节内容是在学生掌握一元二次方程的解法基础上学习的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，并进一步深化前面学习内容，并为了后面学生利用它进一步学习函数的有关内容。