平面向量复习教师用.doc

第四章　平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节平面向量的概念及其线性运算

1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则
(1)交换律：
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝
a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；
2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个；
3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．
[试一试]
1.(2013·苏锡常镇二调)如图，在△OAC中，B为AC的中点，若＝x＋y(x，y∈R)，则x－y＝________.
解析：法一：(直接法)根据图形有

所以＝＋2(－)，
所以＝－＋2，而＝x＋y，
所以故x－y＝－3.
法二：(间接法)由B为AC的中点得＋＝2，
所以＝－＋2，而＝x＋y，
所以故x－y＝－3.
答案：－3
2．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.
解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2.
答案：2

1．向量的中线公式
若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝(＋)．
2．三点共线等价关系
A，P，B三点共线⇔＝λ (λ≠0)⇔ ＝(1－t)·＋t (O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y (O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．
[练一练]
1．D是△ABC的边AB上的中点，若＝x＋y，则x＋y＝________.
解析：∵＝－＝－，则x＝，y＝－1
∴x＋y＝－.
答案：－
2．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.
解析：由题意知a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以解得
答案：－

考点一
向量的有关概念
1.给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中正确命题的序号是________．
解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
②正确．∵＝，∴||＝||且∥，
又A，B，C，D是不共线的四点，
∴四边形ABCD为平行四边形；
反之，若四边形ABCD为平行四边形，
则∥且||＝||，因此，＝.
③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，
又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，
∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
⑤不正确．考虑b＝0这种特殊情况．
综上所述，正确命题的序号是②③.
答案：②③.
2．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是________．
解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
答案：3
[备课札记]　　

[类题通法]
平面向量中常用的几个结论
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．
(3)是与a同向的单位向量，－是与a反向的单位向量．
考点二
向量的线性运算
[典例]　(2013·江苏高考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
[解析]　由题意＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，
所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.
[答案]　
[备课札记]　　

若条件变为：若＝2，＝＋λ，则λ＝________.
解析：∵＝＋，＝＋，
∴2＝＋＋＋.
又∵＝2，
∴2＝＋＋
＝＋＋(－)
＝＋.
∴＝＋，即λ＝.
答案：
[类题通法]
在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
[针对训练]
若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：
①＋＝＋；②＋＝＋；
③－＝＋.其中正确的有________个．
解析：①式的等价式是－＝－，左边＝＋，右边＝＋，不一定相等；②式的等价式是－＝－，＋＝＋＝成立；③式的等价式是－＝＋，＝成立．
答案：2
考点三
共线向量定理的应用
[典例]　设两个非零向量a与b不共线，
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
求证：A，B，D三点共线．
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
[解]　(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.
∴，共线，
又∵它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb.
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，
∴k2－1＝0.∴k＝±1.
[备课札记]　　

[类题通法]
1．共线向量定理及其应用
(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．
(2)若a，b不共线，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．
2．证明三点共线的方法
若＝λ，则A、B、C三点共线．
[针对训练]
已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．
解：由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b不共线，所以有，解之得t＝.
故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．

[课堂练通考点]
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的有________个．
解析：①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．
②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．
③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.
④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．
答案：3
2.如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝________.
解析：∵＝－＝a－b，
又＝3，
∴＝＝(a－b)，
∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.
答案：a＋b
3．(2013·苏锡常镇二调)已知点P在△ABC 所在的平面内，若2＋3＋4＝3，则△PAB与△PBC的面积的比值为________．
解析：因为2＋3＋4＝3，
所以2＋3＋4＝3－3，
即5＋4＝0，
所以△PAB与△PBC的面积的比为PA∶PC＝4∶5.
答案：
4.(2014·“江南十校”联考)如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于D，若AB＝4，且＝＋λ (λ∈R)，则AD的长为________．
解析：因为B，D，C三点共线，所以有＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则＝，＝，
经计算得AN＝AM＝3，AD＝3.
答案：3
5．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
解析：由＝3得4＝3＝3(a＋b)，
＝a＋b，
所以＝(a＋b)－＝－a＋b.
答案：－a＋b
6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝________.
解析：由|＋|＝|－|可知，⊥，
则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，
因此，||＝||＝2.
答案：2
[课下提升考能]
第Ⅰ组：全员必做题
1．设a、b是两个非零向量，下列结论正确的有________．(填写序号)
①若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
②若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
③若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
④若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
解析：对于①，可得cosa，b＝－1，因此a⊥b不成立；对于②，满足a⊥b时|a＋b|＝|a|－|b|不成立；对于③，可得
cosa，b＝－1，因此成立，而④显然不一定成立．
答案：③
2．(2013·徐州期中)设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．
解析：设M为边AC的中点．因为＋＝－2，所以点O是△ABC的中线BM的中点，从而所求面积之比为1∶2.
答案：1∶2
3．在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
解析：如图，因为＝，
所以＝，＝m＋＝m＋，因为B、P、N三点共线，
所以m＋＝1，所以m＝.
答案：
4．(2013·南通期中)设D，P为△ABC内的两点，且满足＝(＋)，＝＋，则＝________.
解析：设E为边BC的中点．由＝(＋)可知，
点D在△ABC的中线AE上，且AD＝AE，
由＝＋，得＝，
利用平面几何知识知＝×＝.
答案：
5．(2014·南通期末)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且3a＋4b＋5c＝0，则a∶b∶c＝________.
解析：在△ABC中有＋＋＝0，
又3a＋4b＋5c＝0，消去得
(3a－5c) ＋(4b－5c) ＝0，
从而3a－5c＝0,4b－5c＝0，
故a∶b∶c＝20∶15∶12.
答案：20∶15∶12
6．(2014·淮阴模拟)已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
解析：由题目条件可知，M为△ABC的重心，
连接AM并延长交BC于D，则＝，
因为AD为中线，则＋＝2＝3，
所以m＝3.
答案：3
7．(2014·苏北四市质检)已知a，b是非零向量，且a，b的夹角为，若向量p＝＋，则|p|＝________.
解析：和分别表示与a，b同向的单位向量，
所以长度均为1.又二者的夹角为，
故|p|＝ ＝.
答案：
8．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.
其中正确命题的个数为________．
解析：＝a，＝b，＝＋
＝－a－b，故①错；
＝＋＝a＋b，故②错；
＝(＋)＝(－a＋b)
＝－a＋b，故③正确；
∴＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.
∴正确命题为②③④.
答案：3
9.(2013·苏北四市三调)如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若＝m，＝n，其中m，n∈(0,1)．设EF的中点为M，BC的中点为N.
(1)若A，M，N三点共线，求证：m＝n；
(2)若m＋n＝1，求||的最小值．
解：(1)证明：由A，M，N三点共线，得∥.
设＝λ (λ∈R)，即(＋)＝λ(＋)，
所以m＋n＝λ(＋)．
因为与不共线，所以m＝n.
(2)因为＝－＝(＋)－(＋)＝(1－m)＋(1－n) ，
又m＋n＝1，所以＝(1－m) ＋m，
所以||2＝(1－m)2＋m2＋(1－m)m··＝(1－m)2＋m2＋(1－m)m
＝2＋，
故当m＝时，||min＝.
10.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
解：(1)延长AD到G，
使＝，
连接BG，CG，得到▱ABGC，
所以＝a＋b，
＝＝(a＋b)，
＝＝(a＋b)，＝＝b，
＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，
＝－＝b－a＝(b－2a)．
(2)证明：由(1)可知＝，又因为
，有公共点B，
所以B，E，F三点共线．
第Ⅱ组：重点选做题
1．A，B，O是平面内不共线的三个定点，且＝a，＝b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，用a、b表示，则＝________.
解析：＝－＝(＋)－(＋)
＝2－2＝2(b－a)．
答案：2(b－a)
2．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD的形状为________．
解析：由＋＝＋得
－＝－，
∴＝.所以四边形ABCD为平行四边形．
答案：平行四边形
第二节平面向量的基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

1．若a、b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；
2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．
3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
[试一试]
1．(2014·南京、盐城一模)若向量a＝(2,3)，b＝(x，－6)，且a∥b，则实数x＝________.
解析：由a∥b得2×(－6)＝3x，解得x＝－4.
答案：－4
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值是________．
解析：∵u＝(1＋2x,4)，v＝(2－x,3)，u∥v，
∴8－4x＝3＋6x，∴x＝.
答案：

用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用．
[练一练]
设e1、e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.
解析：由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.
因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，
所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)
＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.
由平面向量基本定理，得
所以
答案：　－

考点一
平面向量的坐标运算
1.(2014·苏中三市、宿迁调研(一))在平面直角坐标系中，已知向量＝(2,1)，＝(3,5)，则向量的坐标为________．
解析：＝－＝(1,4)．
答案：(1,4)
2．(2013·北京高考)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.

解析：设i，j分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－3j，所以－i－3j＝λ(－i＋j)＋μ(6i＋2j)，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－，所以＝4.
答案：4
3．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)
＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
[备课札记]　　

[类题通法]
1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．
2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．
考点二
平面向量基本定理及其应用
[典例]　如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，试用a，b为基底表示向量，，.
[解析]　 ＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a，
＝＋＝－b＋＝b－a，
＝＋＝－b－＝a－b.
[备课札记]　　

[类题通法]
用平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
[针对训练]
(2014·济南调研)如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
解析：因为＝＋＝＋k＝＋k(－)＝＋k
＝(1－k)＋，
且＝m＋，
所以1－k＝m，＝，
解得k＝，m＝.
答案：
考点三
平面向量共线的坐标表示
[典例]　平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
[解]　(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，
所以得
(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.
∴k＝－.
[备课札记]　　

在本例条件下，若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d.
解：设d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，
由题意得
得或
∴d＝(3，－1)或(5,3)．
[类题通法]
1．向量共线的两种表示形式
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.
2．两向量共线的充要条件的作用
判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．
[针对训练]
已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若＝2，求点C的坐标．
解：(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，
∵A，B，C三点共线，∴∥.
∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.
(2)∵＝2，
∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．
∴解得
∴点C的坐标为(5，－3)．

[课堂练通考点]
1．(2013·南京二模)若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于y轴，a＝(2，－1)，则b＝________.
解析：设b＝(x，y)，则a＋b＝(2＋x，y－1)，由条件知2＋x＝0，|y－1|＝1，解得x＝－2，y＝0或x＝－2，y＝2，故b＝(－2,0)或(－2,2)．
答案：(－2,2)或(－2,0)
2．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，则等于________．
解析：由题意得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)
a－2b＝(4，－1)，
由于(ma＋nb)∥(a－2b)，
可得－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0，可得＝－.
答案：－
3．(2014·苏北四市质检)已知向量a＝(sin θ，cos θ)，b＝(3，－4)，若a∥b，则tan 2θ＝________.
解析：由题意，得－4sin θ－3cos θ＝0，所以tan θ＝－，所以tan 2θ＝＝－.
答案：－
4．已知点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下面的结论：
①直线OC与直线BA平行；②＋＝；
③＋＝；④＝－2.
其中正确结论的个数是________．
解析：∵由题意得kOC＝＝－，kBA＝＝－，
∴OC∥BA，①正确；∵＋＝，∴②错误；
∵＋＝(0,2)＝，∴③正确；
∵－2＝(－4,0)，＝(－4,0)，∴④正确．
答案：3
5．已知两点A(1,0)，B(1,1)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝135°，设＝－＋λ(λ∈R)，则λ的值为________．
解析：由∠AOC＝135°知，点C在射线y＝－x(x<0)上，设点C的坐标为(a，－a)，a<0，则有(a，－a)＝(－1＋λ，λ)，得a＝－1＋λ，－a＝λ，消掉a得λ＝.
答案：
6．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为________．
解析：∵M为边BC上任意一点，
∴可设＝x＋y(x＋y＝1)．
∵N为AM中点，
∴＝＝x＋y＝λ＋μ.
∴λ＋μ＝(x＋y)＝.
答案：
[课下提升考能]
第Ⅰ组：全员必做题
1．(2013·辽宁高考改编)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为________．
解析：＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e＝＝(3，－4)＝.
答案：
2．已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是________．
解析：∵＝2，
∴＝＝(－)，
∴＝－AC，
又＝r＋s，∴r＝，s＝－，
∴r＋s＝0.
答案：0
3．已知向量a＝，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x的值为________．
解析：a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，
由已知(a－2b)∥(2a＋b)，显然2a＋b≠0，
故有＝λ(16＋x，x＋1)，λ∈R，
∴⇒x＝4(x>0)．
答案：4
4.若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为________．
解析：∵a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，
即a＝－2p＋2q＝(2,4)，
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
∴即
∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．
答案：(0,2)
5.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是________．(填写序号)
①＝＋
②＝－
③＝＋
④＝＋
解析：由向量减法的三角形法则知，＝－，排除②；由向量加法的平行四边形法则知，＝＋，＝＝＋，排除①、③.
答案：④
6．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________.
解析：＝－＝(－3,2)，
∴＝2＝(－6,4)．
＝＋＝(－2,7)，
∴＝3＝(－6,21)．
答案：(－6,21)
7．P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于________．
解析：P中，a＝(－1＋m,1＋2m)，
Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．
则
得
此时a＝b＝(－13，－23)．
答案：
8．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．
解析：若点A，B，C能构成三角形，
则向量，不共线．
∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，
＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，
∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.
答案：k≠1
9．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：
(1)|a＋3b|；
(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？
解：(1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)，
故|a＋3b|＝＝.
(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)，
因为ka－b与a＋3b平行，
所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－.
此时ka－b＝(k－2，－1)＝，
a＋3b＝(7,3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，
即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．
10．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点都共线．
解：(1) ＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．
当点M在第二或第三象限时，
有
故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0.
(2)证明：当t1＝1时，
由(1)知＝(4t2,4t2＋2)．
∵＝－＝(4,4)，
＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2，
∴A，B，M三点共线．
第Ⅱ组：重点选做题
1.(2013·南通二模)如图，正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点．设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．
解析：法一：分别延长DC，AB交于点G，则 CG∥AF，且CG＝AF，
从而＝＋＝2＋，
同理可得＝＋2，
＝2＋2，因为点P在△CDE内部(包括边界)，
所以α＋β∈[3,4]．
法二：建立如图所示的直角坐标系，
不妨设正六边形ABCDEF的边长为2，
则点A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，D(2,2)，
E(0,2)，F(－1，)，从而点P位于区域中．
又＝α＋β＝(2α－β，β)，
代入可行域得于是α＋β∈[3,4]．
答案：[3,4]
2.(2014·苏锡常镇一模)如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量＝λ＋
μ，则λ＋μ的最小值为________．
解析：以A为原点，如图建立直角坐标系，不妨设正方形ABCD的边长为1，则＝(1,1)，＝.设＝(cos α，
sin α)，α∈.由＝λ＋μ得所以μ＝，
故λ＋μ＝μsin α－1＋μ＝3·－1.
设f(α)＝，α∈，
则f′(α)＝.
因为f′(α)＞0恒成立，故f(α)在上单调增．
所以当α＝0时，f(α)min＝f(0)＝，
所以(λ＋μ)min＝.
答案：

第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例

1．平面向量的数量积
平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos θ，规定0·a＝0.
2．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤

1．若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c，若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．
2．数量积运算不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等．
[试一试]
1．(2014·苏锡常镇一调)已知两个单位向量e1，e2的夹角为120°，若向量a＝e1＋2e2，b＝4e1，则a·b＝________.
解析：a·b＝(e1＋2e2)·4e1＝4e＋8e1·e2
＝4＋8×1×1×＝0.
答案：0
2．(2013·镇江期末)在菱形ABCD中，AB＝2，B＝，＝3，＝3，则·＝________.
解析：如图，依题意向量，所成角为，||＝||＝2，＝－，EF―→＝＋，·＝·(－)＝||2＋·－||2＝－12.
答案：－12

1．明确两个结论：
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；
(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．
2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．
[练一练]
1．已