《余弦定理》教学案例.doc

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《余弦定理》教学设计
扬中市第二高级中学 张丽
【学情分析】
学生已经会用正弦定理解决三角形相关问题，了解三角形边角之间存在着一定的数量关系，这为本节课的学习奠定了基础。对于正弦定理解决已知两边及夹角问题学生有一定的求知欲，这就促使学生去探索如何求解该类问题.
【教学目标】
知识与技能
（1）掌握余弦定理的证明方法，牢记公式.
（2）掌握余弦定理公式的变式，会灵活应用余弦定理.
过程与方法
（1）使学生经历公式的推导过程，培养严谨的逻辑思维.
（2）培养学生数形结合的能力.
（3）培养学生的问题解决能力.
情感态度价值观
经历余弦定理的推导过程，感受数学思维的严谨美，通过比较余弦定理公式感受数学公式的对称美，通过比较勾股定理以及余弦定理体会一般与特殊的关系.
【教学重点】 余弦定理推导
【教学难点】 余弦定理推导及应用
【教法学法】
教法：
一、情景教学法：创设问题情境，以学生感兴趣的，并容易理解的情景为开端，让学生在各自熟悉的场景中轻松、愉快地学习.
二、启发性教学法：启发性原则是永恒的。让学生成为课堂上行为的主体.
三、师生互动的探究教学法：充分给学生提供交流与归纳的空间，使整个数学活动生动活泼和富有个性的学习.
学法：
根据新课程理念，结合学生自身年龄特点和思维特点，让学生通过分组讨论，汇报交流，归纳总结等方式进行学习．
【教学过程】
图1
A
B
1. 创设情景，提出问题．
问题1：修建一条高速公路，要开凿隧道将一段山体打通．现要测量该山体底侧两点间的距离，即要测量该山体两底侧A，B两点间的距离（如图1）．请想办法解决这个问题．
设计意图：这是一个学生身边的实际应用问题，在其解决的过程中得到余弦定理，自然引出本课的学习内容．
2. 构建模型，解决问题．
学生活动：提出的方法有，先航拍，然后根据比例尺算出距离；利用等高线量出距离等；也有学生提出在远处选一点C，然后量出AC，BC的长度，再测出∠ACB．△ABC是确定的，就可以计算出AB的长．接下来，请三位板演其解法．
法1：（构造直角三角形）
图2
如图2，过点A作垂线交BC于点D，则
｜AD｜＝｜AC｜sinC，｜CD｜＝｜AC｜cosC，
｜BD｜＝｜BC｜－｜CD｜＝｜BC｜－｜AC｜cosC，
所以，
．
图3
法2：（向量方法）
如图3，因为，
图4
所以，

即 ．
法3：（建立直角坐标系）
建立如图4所示的直角坐标系，则A （｜AC｜cosC, ｜AC｜sinC），
B （｜BC｜, 0），
根据两点间的距离公式，可得
，
所以，．
活动评价：师生共同评价板演．
3. 追踪成果，提出猜想．
师：回顾刚刚解决的问题，我们很容易得到结论：在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边长，则有成立．类似的还有其他等式，
，．
正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系，因为与正弦有关，就称为正弦定理；而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理．
问题2：刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程？
设计意图：作为定理要经过严格的证明，在解决问题中培养学生严谨的思维习惯．
学生活动：经过思考得出，若把解法一作为定理的证明过程，需要对角C进行分类讨论，即分角C为锐角、直角、钝角三种情况进行证明；第二种和第三种解法可以作为余弦定理的证明过程．
教师总结：证明余弦定理，就是证明一个等式．而在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向量等式，然后利用向量的数量积将其数量化；还可以建立直角坐标系，借助两点间的距离公式来解决，等等．
4. 探幽入微，深化理解．
问题3：刚刚认识了余弦定理这个“新朋友”，看一看它有什么特征？
学生活动：勾股定理是余弦定理的特例． 反过来也可以说，余弦定理是勾股定理的推广；当角C为锐角或钝角时，边长之间有不等关系 ，；是边长a、b、c的轮换式，同时等式右边的角与等式左边的边相对应；等式右边有点象完全平方，等等．
教师总结：我们在观察一个等式时，就如同观察一个人一样，先从远处看，然后再近处看，先从外表再到内心深处．观察等式时，先从整体（比如轮换）再到局部（比如等式左右边角的对称），从一般到特殊，或者从特殊到一般（比如勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广）．
问题4：我们为什么要学余弦定理，学它有什么用？
设计意图：让学生真正体会到学习余弦定理的必要性．同时又可以得到余弦定理能解决的三角形所满足的条件，以及余弦定理的各种变形．让学生体会在使用公式或定理时，不但要会“正向使用”还要学会“逆向使用”．
学生活动：解已知三角形的两边和它们夹角的三角形；如果已知三边，可以求角，进而解出三角形，即
．
5. 学以致用，拓展延伸．
练习：
1．在△ABC中，若a＝3，b＝5，c＝7，求角C．
2．（1）在△ABC中，若，解这个三角形．
（2）在△ABC中，，求a．
学生活动：练习后相互交流得出，解答题1时，利用的是余弦定理的变形形式；而题2既可以利用正弦定理，也可以利用余弦定理解决．
思考：正弦定理与余弦定理间是否存在着联系呢？你能用正弦定理证明余弦定理，用余弦定理证明正弦定理吗？请同学们课后思考．