《余弦定理》教学案例.doc

凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学设计余弦定理教学设计 扬中市第二高级中学 张丽【学情分析】学生已经会用正弦定理解决三角形相关问题，了解三角形边角之间存在着一定的数量关系，这为本节课的学习奠定了基础。对于正弦定理解决已知两边及夹角问题学生有一定的求知欲，这就促使学生去探索如何求解该类问题.【教学目标】知识与技能（1）掌握余弦定理的证明方法，牢记公式.（2）掌握余弦定理公式的变式，会灵活应用余弦定理.过程与方法（1）使学生经历公式的推导过程，培养严谨的逻辑思维.（2）培养学生数形结合的能力.（3）培养学生的问题解决能力.情感态度价值观经历余弦定理的推导过程，感受数学思维的严谨美，通过比较余弦定理公式感受数学公式的对称美，通过比较勾股定理以及余弦定理体会一般与特殊的关系.【教学重点】 余弦定理推导 【教学难点】 余弦定理推导及应用【教法学法】教法：一、情景教学法：创设问题情境，以学生感兴趣的，并容易理解的情景为开端，让学生在各自熟悉的场景中轻松、愉快地学习.二、启发性教学法：启发性原则是永恒的。让学生成为课堂上行为的主体.三、师生互动的探究教学法：充分给学生提供交流与归纳的空间，使整个数学活动生动活泼和富有个性的学习.学法：根据新课程理念，结合学生自身年龄特点和思维特点，让学生通过分组讨论，汇报交流，归纳总结等方式进行学习【教学过程】图1AB1. 创设情景，提出问题 问题1：修建一条高速公路，要开凿隧道将一段山体打通现要测量该山体底侧两点间的距离，即要测量该山体两底侧A，B两点间的距离（如图1）请想办法解决这个问题设计意图：这是一个学生身边的实际应用问题，在其解决的过程中得到余弦定理，自然引出本课的学习内容2. 构建模型，解决问题学生活动：提出的方法有，先航拍，然后根据比例尺算出距离；利用等高线量出距离等；也有学生提出在远处选一点C，然后量出AC，BC的长度，再测出ACBABC是确定的，就可以计算出AB的长接下来，请三位板演其解法法1：（构造直角三角形）图2如图2，过点A作垂线交BC于点D，则ADACsinC，CDACcosC，BDBCCDBCACcosC，所以， 图3法2：（向量方法）如图3，因为，图4 所以， 即 法3：（建立直角坐标系）建立如图4所示的直角坐标系，则A （ACcosC, ACsinC），B （BC, 0），根据两点间的距离公式，可得，所以，活动评价：师生共同评价板演3. 追踪成果，提出猜想师：回顾刚刚解决的问题，我们很容易得到结论：在ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边长，则有成立类似的还有其他等式，正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系，因为与正弦有关，就称为正弦定理；而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理问题2：刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程？设计意图：作为定理要经过严格的证明，在解决问题中培养学生严谨的思维习惯学生活动：经过思考得出，若把解法一作为定理的证明过程，需要对角C进行分类讨论，即分角C为锐角、直角、钝角三种情况进行证明；第二种和第三种解法可以作为余弦定理的证明过程教师总结：证明余弦定理，就是证明一个等式而在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向量等式，然后利用向量的数量积将其数量化；还可以建立直角坐标系，借助两点间的距离公式来解决，等等 4. 探幽入微，深化理解问题3：刚刚认识了余弦定理这个“新朋友”，看一看它有什么特征？学生活动：勾股定理是余弦定理的特例 反过来也可以说，余弦定理是勾股定理的推广；当角C为锐角或钝角时，边长之间有不等关系 ，；是边长a、b、c的轮换式，同时等式右边的角与等式左边的边相对应；等式右边有点象完全平方，等等教师总结：我们在观察一个等式时，就如同观察一个人一样，先从远处看，然后再近处看，先从外表再到内心深处观察等式时，先从整体（比如轮换）再到局部（比如等式左右边角的对称），从一般到特殊，或者从特殊到一般（比如勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广）问题4：我们为什么要学余弦定理，学它有什么用？设计意图：让学生真正体会到学习余弦定理的必要性同时又可以得到余弦定理能解决的三角形所满足的条件，以及余弦定理的各种变形让学生体会在使用公式或定理时，不但要会“正向使用”还要学会“逆向使用”学生活动：解已知三角形的两边和它们夹角的三角形；如果已知三边，可以求角，进而解出三角形，即5. 学以致用，拓展延伸练习：1在ABC中，若a3，b5，c7，求角C2（1）在ABC中，若，解这个三角形（2）在ABC中，求a学生活动：练习后相互交流得出，解答题1时，利用的是余弦定理的变形形式；而题2既可以利用正弦定理，也可以利用余弦定理解决思考：正弦定理与余弦定理间是否存在着联系呢？你能用正弦定理证明余弦定理，用余弦定理证明正弦定理吗？请同学们课后思考