基于Kriging模型与MOGA算法的有限元模型修正.pdf

第 14 卷 第 4 期2023 年 8 月Vol.14 No.4Aug.2023航空工程进展ADVANCES IN AERONAUTICAL SCIENCE AND ENGINEERING基于 Kriging模型与 MOGA算法的有限元模型修正李家辉，许锋（南京航空航天大学 机械结构力学及控制国家重点实验室，南京 210016）摘要：精确的有限元模型可以准确预测真实结构的动力学响应，采用一种融合 Kriging模型与多目标遗传算法（MOGA）的模型修正方法，针对 GARTEUR 飞机进行模型修正。首先采用 Spearman相关性分析方法，引入显著性水平系数对飞机模型的初始参数进行筛选；然后将筛选后的参数作为设计变量，利用最佳填充空间（OSF）设计方法获得初始样本点，构建 Kriging响应面模型，将响应面计算结果与实验结果的差作为目标函数；最后利用 MOGA 对目标函数进行优化，搜索 Pareto 最优解，并且对候选点添加验证点来检验其精度。结果表明：修正后的 GARTEUR飞机模型具有良好的频率复现和预测能力，满足工程精度要求，采用融合 Kriging模型与 MOGA的模型修正方法具备有效性和可靠性。关键词：有限元模型；相关性分析；最佳填充空间；Kriging模型；MOGA中图分类号：V214 文献标识码：ADOI:10.16615/ki.1674-8190.2023.04.07Finite element model updating based on Kriging model and MOGALI Jiahui，XU Feng（State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China）Abstract：The accurate finite element model can precisely predict the structural dynamics response.A model upda-ting method integrating the Kriging model and multi objective genetic algorithm（MOGA）is adopted for the model correction of GARTEUR aircraft.Firstly，the initial parameters of the aircraft model are screened using Spearman correlation analysis and the introduction of a significance level coefficient.And then，the screened parameters are used as design variables to obtain the initial sample points using the optimal space-filling（OSF）design method，construct the Kriging response surface model，and use the difference between the response surface calculation results and experimental results as the objective function.Finally，the MOGA is used to optimize the objective function，search for the Pareto optimal solution，and add validation points to the candidate points to check its accuracy.The results show that the updated GARTEUR aircraft model has good frequency reproduction and prediction capability，can meet the engineering accuracy requirements.The model updating method using Kriging model and MOGA is effective and reliable.Key words：finite element model；correlation analysis；optimal space-filling；Kriging model；MOGA文章编号：1674-8190（2023）04-068-08收稿日期：2022-07-26；修回日期：2022-09-18通信作者：许锋,feng_引用格式：李家辉,许锋.基于 Kriging模型与 MOGA算法的有限元模型修正J.航空工程进展,2023,14(4):68-75.LI Jiahui,XU Feng.Finite element model updating based on Kriging model and MOGAJ.Advances in Aeronautical Science and Engineering,2023,14(4):68-75.(in Chinese)第 4 期李家辉等：基于 Kriging模型与 MOGA算法的有限元模型修正0引 言精确的有限元模型可以准确地预测结构在各种载荷激励下的响应，为了建立精确的有限元模型，通常需要对建立的初始有限元模型进行修正，“建模不难修正难”已经成为当前研究的共识1。D.Bernal2提出了一种基于特征结构赋值的刚度和阻尼矩阵模型直接修正方法；S.V.Modak3提出了关于有限元模型修正的非相关模态驱动逆特征灵敏度法；徐张明等4利用实验测试和预测的有限元模型得到的频响函数法，结合动力缩聚技术，推导了一种基于改进的基于频响函数和灵敏度分析的修正方程；丁继锋等5采用序列二次规划法进行了模型修正，并且提出了模型修正的三步修正策略；王立等6采用基于灵敏度分析的有限元模型修正方法对航空发动机试验器连接机匣动力学模型进行了修正；陈英华等7提出了一种适合全机模型的相关性分析算法，并且以某型直升机的静力实验数据为基础进行了模型修正，得到了满意的修正效果。上述模型修正方法都需要进行动力学方程的灵敏度分析和导数推导，但是对于复杂的结构而言，推导过程较为繁琐，灵敏度推导难度较大，为了解决以上问题，研究者开始寻找其他能够避免繁琐推导过程的模型修正方法，其中，响应面法受到人们的重视，仲昭杰等8采用构建二次响应面模型的方法对爬壁机器人进行了多目标优化；王涵等9、鲍诺等10采用 4阶多项式函数构造响应面模型进行模型修正，得到了较好的效果。但是，对于采用多项式函数拟合的响应面模型，若阶次较低，无法对非线性数据进行较好拟合；若阶次较高，则会增加待定系数的数量导致计算效率下降。而Kriging模型是一个基于随机过程的统计学代理模型，包括非参数和多项式回归两部分，并且需要的样本点较少，在解决非线性程度较高的问题时也能取得比较理想的拟合效果11。本文采用一种融合 Kriging模型与多目标遗传算法（Multi Objective Genetic Algorithm，简称 MOGA）的模型修正方法。在模型修正中利用 Kriging响应面模型将目标函数与设计变量的关系显示化，将模型修正问题转化为优化问题；利用具有全局搜索能力的 MOGA 对 Kriging模型进行优化；以GARTEUR 飞机模型为实例进行模型修正，验证在模型修正中采用融合 Kriging 模型与 MOGA 的可靠性。1模型修正方法1.1数学模型响应面法的基本思想是通过一系列确定性实验，结合合理的采样法和迭代策略利用多项式函数来近似隐式极限状态函数12，可以避免复杂的推导过程，并且近似函数的构造也不涉及刚度矩阵，通用性和独立性较强13。响应面法流程图如图 1所示。常用的响应面模型为多项式回归，但是对于非线性数据和具有相关性多项式的回归难以建模，无法准确表达高度复杂的数据14。相比于传统的回归模型，Kriging 模型考虑了参数的随机性和相关性，使结果更加科学和接近实际情况15。Kriging响应面模型主要包括随机分布和多项式分布16-17，其样本点X=x1，x2，x3，xnT，响应值Y=y1，y2，y3，ynT，Kriging 模型的形式可以表示为y(x)=ifi(x)+z(x)（1）式中：y(x)为响应面函数；i为回归待定系数；fi(x)为待定多项式函数；z(x)为待定随机函数。z(x)的协方差矩阵为Cov z(xi)，z(xj)=2R r(xi，xj)（2）式中：2为z(x)的方差；R为N N沿对角线正定的协方差矩阵；r(xi，xj)为任意N个样本点中xi和xj的空间相关函数。采用高斯相关函数：r(xi，xj)=exp(-k=1Mk|xki-xkj|2)（3）图 1 响应面法流程图Fig.1Flow chart of response surface method69第 14 卷航空工程进展式中：k为用于拟合模型的不确定参数；M为设计变量的数量。通过确定相关函数，样本点x处的预测值为y(x)=f(x)+rT(x)R-1(Y-F)（4）式中：Y为样本点数据的响应值所组成的列向量；F为单位列矢量；rT(x)为样本点和预测点之间的相关矢量。rT(x)=R(x，x1)，R(x，x2)，R(x，xn)T （5）其中式（4）中的和式（8）中的2表达式为=(FTR-1F)-1FTR-1Y（6）2=(Y-F)TR-1(Y-F)m（7）通 过 最 大 似 然 估 计 进 行 求 解 相 关 参 数k得到：max f(k)=m ln(2)+ln|R|2（8）式（6）求解出k后，可得到 Kriging法的响应面拟合模型。1.2优化方法构建设计变量与输出之间的响应面模型后，模型修正问题转化为对响应面函数的优化问题，将实验值与仿真值差值的绝对值作为优化的目标函数：=min (|(p)|)=min (|fei-fsi|)(Pi p Pj)（9）式中：p为设计变量；fei为第i次实验值，fsi为第i次仿真值；Pi为设计变量的上限；Pj为设计变量的下限。MOGA 是基于控制精英策略的 NSGA-的混合变种算法，支持各种类型的输入参数，是一种快速的非支配排序法，具备全局最优的特点18，采用 Kriging法建立代理模型后，利用 MOGA 对响应面模型进行优化，可以提高模型修正的优化效率。基于Kriging模型与MOGA的模型修正流程图如图2所示，主要分为三部分：首先是建立参数化的有限元模型，根据相关性分析筛选合适的设计变量，建立优化的数学模型；然后基于筛选的设计变量选取合适的实验设计（DOE）法生成样本空间，建立Kriging 模型并对其拟合精度进行检验；最后利用MOGA，通过交叉、变异对代理模型进行优化，搜索Pareto最优解，利用验证点对候选点进行验证。2GARTEUR飞机有限元模型GARTEUR 飞机模型被欧洲航空科技组织用作评估实验分析技术与模型修正技术的基准模型19，本文中模型的机身、机翼、尾翼结构均采用实体单元建模，将各个结构的几何尺寸及其材料属性设为参数化变量，在连接处增加质点质量来增加模型连接处的螺栓质量。有限元模型如图3所示。图 2 模型修正流程图Fig.2Model updating flow chart图 3 GARTEUR飞机动力学模型Fig.3GARTEUR aircraft dynamics model70第 4 期李家辉等：基于 Kriging模型与 MOGA算法的有限元模型修正初始的动力学模型材料选择为铝合金：密度为 2 770 kg/m3，杨 氏 模 量 为 71 GPa，泊 松 比 为0.33。在各个连接处增加 0.2 kg 的质量点，采用频率相关性对初始的动力学模型精度进行评估，通常采用频率相对误差的百分比来表示20，相关性系数为i=fi-fexpifexpi 100%(i=1，2，n)（10）式中：fi为模型的第i阶计算模态频率；fexpi为实验的第i阶模态频率。对初始模型进行仿真计算，实验值源于文献21，最终的结果对比如表 1所示。从表 1 可以看出：前 10 阶模态频率差值最大误差为 29.67%，平均误差为 6.96%，动力学仿真数据和实验数据存在较大误差，因此，需要对动力学模型进行修正。3GARTEUR飞机模型修正根据图 2 中的模型修正流程图对 GARTEUR飞机模型进行修正，使得修正后有限元模型的频率值接近于实验值。首先对 GARTEUR 飞机有限元模型的初始参数进行筛选；然后利用筛选后的参数作为设计变量，构建 Kriging响应面模型；最后采用MOGA 搜索最优解，将修正后的模态频率与修正前的频率进行对比，验证本文采用方法的有效性。3.1相关性分析对于初始的 GARTEUR 飞机动力学模型，选择机身、机翼、垂尾和平尾的厚度以及材料的属性和质量点的位置共 33 个参数作为初始设计变量，如果将其全部用于响应面模型的构建，将会导致生成的采样数据庞大而增加优化的难度。因此，先利用 Spearman相关性分析方法剔除掉敏感度较小的参数来减少不必要的采样点22，相关系数的表达式为=1-6i=1nd2in(n2-1)（11）式中：n为样本点个数；di为两个变量之间的差值。Spearman相关性分析中采用拉丁超立方抽样（LHS）生成相关性分析的样本点，设计变量的参数变化范围为初始值的10%，并且引入显著性水平系数 P对分析参数进行筛选。根据 P=0.05 进行筛选后的相关性图表如图4 所示，其中：P1为机身厚度，P2为机翼厚度，P3为翼尖小翼厚度，P4为垂尾厚度，P5为平尾厚度，P6为机翼偏置距离，P7为机身密度，P8为机身弹性模量，P9为机翼密度，P10为机翼弹性模量，P11为翼尖小翼密度，P12为垂尾弹性模量，P13为平尾密度。总共有 13 个参数对前 10 阶模态频率影响较大，因此，选择这些参数作为模型修正的设计变量。3.2Kriging模型最佳填充空间（OSF）设计方法适用于复杂的响应面法，属于 LHS方法基础上的改进，可以获得在设计空间中更为均匀分布的设计点23。基于选择的 13 个设计变量进行样本点数据的生成，选用Kriging 模型进行响应面的拟合，并且在每一阶的拟合曲线上增加 3个验证点。Kriging模型预测值与观测值的拟合曲线如图5所示。拟合的评判标准是：越靠近 y=x直线表明拟合精度越好。从图 5可以看出：Kriging模型的预图 4 相关性图表Fig.4Correlation chart表 1仿真值与实验值前 10阶模态频率对比Table 1The simulation values compared with the first 10 order modal frequencies of the experimental values阶数12345678910实验值/Hz5.9916.0235.5538.2738.9547.0950.8255.6963.3568.98仿真值/Hz5.679 817.103 037.924 039.460 039.514 044.793 047.189 054.615 065.129 089.444 0误差/%-5.18 6.76 6.68 3.11 1.45-4.88-7.14-1.93 2.81 29.6771第 14 卷航空工程进展测值与实际值拟合度较高，但是在第 3、7、10 阶频率验证点拟合精度较差。点拟合精度较差的第 3、7、10阶的响应面模型如图 6 所示，可以看出：在第 3、7、10 阶时的响应面模型频率与设计变量为非线性关系，因此导致验证点在第 3、7、10阶时的拟合精度较差。（a）第 3阶（b）第 7阶（c）第 10阶图 6 响应面模型Fig.6Response surface model3.3模型修正建立 Kriging 模型后，将其作为优化的代理模型，采用 MOGA 搜索 Pareto 最优解，其中：交叉率设为 0.98，变异率设为 0.01，初始样本点数设为100，收敛稳定百分比设为 100%，最大允许 Pareto百分比设为 70%，稳定收敛百分比设为 2%。优化目标设为前 6 阶模态频率，将其邻近 4 阶频率作为模型修正后的预测数据。根据工程精度要求，修正后模态频率的平均误差需小于 2%，单阶模态频率误差要小于 5%5。优化时的搜索曲线如图 7所示。（a）第 1阶（b）第 2阶图 5 Kriging法拟合曲线Fig.5Curve fitting by Kriging method72第 4 期李家辉等：基于 Kriging模型与 MOGA算法的有限元模型修正（c）第 3阶（d）第 4阶（e）第 5阶（f）第 6阶图 7 优化过程Fig.7Optimization process优化过程中样本点总共为 1 400 个，前 286 个点为响应面模型的拟合点，后 1 114个点是 MOGA通过交叉、变异得到的 Pareto 最优解，整个优化过程刚开始震荡较大，随着优化过程的进行，幅值变化逐渐平稳，这是由于刚开始的样本点是整个样本空间的点，数据差值较大，后面趋于平稳的过程表明在寻找局部最优解。在整个优化过程中的搜索值一直处于目标值的下方（如图 7（a）和图 7（f）所示），这表明最终优化得出的第 1 和第 6 阶频率将会略小于目标值，第 2阶的最终优化频率将会略大于目标值（如图 7（b）所示），搜索值在目标值上下震荡（如图 7（c）、图 7（d）、图 7（e）所示），表明第35阶频率将会接近目标值。这是因为 MOGA具有全局最优的特点，优化目标较多时即约束条件也就越多，不能保证每一阶频率都达到目标值，只能保证整体最优。优化后的结果与实验值的误差如表 2所示，其中，CP1、CP2、CP3是优化分析中 Pareto最优解推荐的3个候选点。表 2优化结果Table 2Optimization results阶数12345678910实验值/Hz5.9916.0235.5538.2738.9547.0950.8255.6963.3568.98CP1修正值/Hz5.8316.6035.7438.3638.9145.9150.0356.1966.1069.62误差/%-2.603.640.520.25-0.09-2.50-1.560.894.330.92CP2修正值/Hz5.7616.3935.8638.3938.9745.4450.3355.5864.4768.21误差/%-3.772.310.880.320.06-3.50-0.96-0.201.77-1.11CP3修正值/Hz5.7316.3936.0538.1438.9345.9350.7955.9864.5469.95误差/%-4.422.321.41-0.35-0.05-2.45-0.050.531.881.4173第 14 卷航空工程进展由于 3 个候选点是遗传算法根据 Kriging 模型优化得出的结果，并不是直接对有限元模型进行求解得出的，因此，需要对每个候选点添加一个验证 点，候 选 点 和 验 证 点 的 频 率 拟 合 曲 线 如 图 8所示。从图 8 可以看出：3 个验证点与各自候选点的每阶频率误差均在 1%以内，拟合精度较好，可以认为优化目标设为前 6 阶时针对响应面优化选出的候选点具有较高的精度，能够作为优化后的设计点使用。结合表 2，在前 6阶修正频率中，候选点 1最大误差为 3.64%，最小误差为 0.09%，平均误差为1.6%；候选点 2 最大误差为 3.5%，最小误差为0.06%，平均误差为 1.81%；候选点 3 最大误差为4.42%，最小误差为 0.05%，平均误差为 1.83%；三个候选点的修正频段均满足工程精度要求。在预测频段中，候选点 1 最大误差为 4.33%，最小误差为 0.89%，平均误差为 1.93%；候选点 2 最大误差 为 1.77%，最 小 误 差 为 0.2%，平 均 误 差 为0.76%；候选点 3 最大误差为 1.88%，最小误差为0.05%，平均误差为 0.72%；三个候选点的预测频段也满足工程精度要求。其中，修正频段误差最小的为候选点 1，预测频率段误差最小的为候选点3，前 10阶频率平均误差最小的为候选点 3。综上所述，基于 Kriging模型和 MOGA 的模型修正方法，首先采用相关性分析方法选择合适的设计变量，剔除掉对目标函数影响较小的设计点，可以避免样本点过于庞大的问题；然后利用 Kriging 法建立目标函数和设计变量的显函数关系，可以避免复杂结构的动力学方程和敏度方程的推导，并且能够更加准确的反应真实结果，将模型修正问题转化为求解 Kriging 模型最优解的优化问题；最后利用具备全局最优能力的 MOGA 搜索算法求解代理模型的 Pareto最优解集，得出了满足需求的候选点。4结 论1）对于动力学修正问题，采用 Kriging 法建立的响应面模型具有较高的拟合精度，可以更加真实地反映结构的隐式极限状态函数。2）采用 MOGA 对响应面模型进行优化，搜索Pareto最优解，利用验证点对生成的候选点进行检验，生成的候选点具有较好的精度，修正后的模型满足工程精度要求，具有良好的频率复现和预测能力。3）修正频段内相对误差的绝对值的平均值从4.68%降至 1.6%，表明本文采用方法的有效性和可靠性。参 考 文 献1朱广荣.大型民机结构动力学建模与适航验证分析技术研究 D.南京：南京航空航天大学，2017.ZHU Guangrong.Dynamic modeling and airworthiness compliance analysis for large commercial aircraft structureD.Nanjing：Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，2017.（in Chinese）2BERNAL D.Direct eigenstructure assignment for model updating J.AIAA Journal，2021，59（11）：4696-4702.3MODAK S V.Uncorrelated modes driven inverse eigensensitivity method for finite element model updating J.AIAA Journal，2015，53（6）：1468-1476.4徐张明，高天明，沈荣瀛，等.一种改进的利用频响函数进行有限元模型修正的方法 J.振动与冲击，2002，21（3）：45-47，94.XU 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