异面直线教案.doc

异面直线
一、教学目标：
1、知识与技能：理解异面直线的概念，掌握异面直线的判定方法，会判断两直线是否为异面直线，掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较简单的异面直线所成的角
2、过程与方法：在问题解决过程中，培养学生的实验观察能力、空间想象能力、逻辑思维能力、分析问题、解决问题的能力。
3、情感与价值观：通过体验，感受数学的魅力，体现数学语言的严谨性。
二、教学重点：异面直线的概念
三、教学难点：异面直线所成角
四、教学过程：
（一）创设情境
1．引导学生观察立交桥上的车辆为什么能畅通无阻？
两条道路所在的直线不在同一平面内。它们既不平行也不相交，这样的两条直线有什么特点呢？
2．请学生做一个小实验，拿两支笔在空间中你能摆出几种位置关系？

有3种：平行、相交、不平行也不相交的两条直线（对于这样的两条直线，它们之间有什么特点和关系呢？）
前面我们学习过平行线，相交线，它们是同一平面内两条直线的位置关系，通过前面的实验和动画的观察，在空间还存在另一种两条直线的位置关系（不平行也不相交）。我们称为“异面直线”。（板书课题）
（二）知识建构
1、异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。
（重点理解定义中的“任”，指出“任何”一个平面，是指找不到一个平面，使这两条
直线在这个平面上,这样的两条直线才是异面直线）
举反例说明分别在两个平面上的两条直线不一定是异面直线（长方体中）
2、两条异面直线的性质：既不平行，也不相交。

3、空间中两直线的位置关系：
相交 有且只有一个公共点

共面直线

平行 无公共点

异面直线 无公共点

例1： “a，b是异面直线”是指
① a∩b=Φ且a不平行于b；② a Ì 平面a，b Ì 平面 b且a∩b=Φ
③ a Ì 平面a，b Ë 平面a ④ 不存在平面a，能使a Ì a且b Ì a成立
上述结论中，正确的是
4、异面直线判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。
（这一过程主要老师进行分析，让学生完成证明过程，并及时进行改正，完善证明过程）
证明 ：（反证法）假设 直线与共面，
∵，∴点和确定的平面为，
∴直线与共面于，∴，与矛盾，
所以，与是异面直线．
归纳异面直线的三种判定方法：
定义、 定理、 性质：(既不平行，也不相交)
5、异面直线所成的角：
(引导启发学生如何寻找异面直线所成的角的大小）
师：同学们都知道两条相交直线所成的角大小可以度量，那么两条异面直线的夹角我们如何求呢？
（让同学们思考）用化归的思想，将两条异面直线平移成相交，找到所成的角。

定义：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．
强调分析：
（1）为了简便，点通常取在异面直线的一条线上。（强调：这不是唯一的方法） (这是根据平行线的性质定理；如果一个角的两条边和另一个角的两条边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。)
（2）异面直线所成的角的范围：
（3）如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线 垂直，记作．
例2：在正方体中，E是AB的中点，
（1）求BA/与CC/夹角的度数.
（2）求BA/与CB/夹角的度数．
(3)求A/E与CB/夹角的余弦
解：（1）由，可知等于异面直线
与的夹角，所以异面直线与的夹角为
（2）连结CD/，B/D/，则// CD/，B/CD/等于异面直线与CB/的夹角，由CB/D/ 为等边三角形，B/CD/=60O
所以与CB/的夹角为60O
（3）连结A/D，DE，则A/D// CB/，DA/E等于异面直线A/E与CB/的夹角。
设AA/=2，AE=1，A/E=DE=，A/D=2，
在三角形DA/E中， CosDA/E==
注：应注意到异面直线所成角的范围。

（三）练习巩固
1．在长方体ABCD--EFGH中判断以下各对线段的位置关系?
① EC 和BH是 直线
② BD 和FH是 直线
③ EB和HG是 直线
2．正方体中．
（1）正方体棱所在的直线中与直线是
异面直线有几条？ 6条
（2）正方体棱所在的直线中与直线CC/垂直的
直线有几条？ 8条
3．如图，正方体中．
E为AB的中点，F为BC的中点，
O为正方形A/B/C/D/的中心。
求直线A/E与B/F夹角的余弦．（）
（四）课堂小结
1．异面直线的概念，明确空间两条直线的位置关系有三种，“平行、相交、
异面”。
2．异面直线的判定定理
3．异面直线夹角的概念，夹角的范围，求异面直线的夹角的一般步骤
是：“作—证—算—答”。
（五）课后作业：
P课本27：习题7、8