直线和平面垂直的性质定理教案.doc

直线和平面垂直的性质  

教学目的：
1、掌握直线与平面垂直的性质定理，并会应用直线与平面垂直的性质定理解决相关问题，掌握性质定理的推理论证。
2、让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；能解决“当a∥α时，直线a与平面α的距离问题”；
3、通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力
教学重点：直线与平面垂直的性质定理
教学难点：性质定理的证明和运用
教学过程：
（一）创设情景，揭示课题
问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？
让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。（自然进入课题内容）
（二）研探新知
1、操作确认
观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。如图2.3—4，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？（显然互相平行）然后进一步迁移活动：已知直线a⊥α 、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的正确性呢？
C1
D1
a
b

A1
B1

α
D

C

A
B

图2.3-4 图2.3-5
2、推理证明
引导学生分析性质定理成立的条件，介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法，
总结新知识：
1、直线和平面垂直的性质定理:
如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行
已知：如图， 求证：
证明：（反证法）假定不平行于，则与相交或异面；
（1）若与相交，设，
∵
∴过点有两条直线与平面垂直，
此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾，
∴与不相交；
（2）若与异面，设，过作，
∵ ∴ 又∵且，
∴过点有直线和垂直于与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾，
∴与不异面，综上假设不成立，
∴．
2．点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．
3．直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．
（三）例题讲解：
例1 已知一条直线和一个平面平行，求证直线上各点到平面的距离相等
证明：过直线上任意两点A、B分别引平面的垂线,垂足分别为
∵ ∴
设经过直线的平面为，
∵// ∴ ∴四边形为平行四边形
∴
由A、B是直线上任意的两点，可知直线上各点到这个平面距离相等
（四）、课堂练习：
1．对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：
①与a是异面直线；②与a所成的角为定值θ；③与a距离为定值d
那么这样的直线b有（ ）
2．求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直
分析：用反证法，假设这两条异面直线同时和一个平面垂直，由直线和平面垂直的性质定理,那麽这两条直线平行，此与条件矛盾因此两条异面直线不能同时和一个平面垂直
3．地面上有两根相距c米的直立旗杆，它们的长分别是a米，b米（b>a），求它们上端间的距离
分析：如图所示，ABC为直角三角形

4．如图，已知E，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面．
（1）求证：EF⊥平面GMC．
（2）若AB＝4，GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
分析：第1小题，证明直线与平面垂直，常用的方法是判定定理；
第2小题，如果用定义来求点到平面的距离，因为体现距离的垂线段无法直观地画出，因此，常常将这样的问题转化为直线到平面的距离问题．
解：（1）连结BD交AC于O，
∵E，F是正方形ABCD边AD，AB的中点，AC⊥BD，
∴EF⊥AC．

∵AC∩GC＝C，
∴EF⊥平面GMC．
（2）可证BD∥平面EFG，由例题2，正方形中心O到平面EFG

（五）、小结 ：我们学习了直线和平面垂直的性质定理，以及两个距离的定义．定理的证明用到反证法，证明几何问题常规的方法有两种：直接证法和间接证法，直接证法常依据定义、定理、公理，并适当引用平面几何的知识；用直接法证明比较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法就是一种间接证法．直线与平面垂直的性质定理，应用直线与平面垂直的性质定理解决相关问题
（六）、课后作业：
1．已知矩形ABCD的边长AB＝6cm，BC＝4cm，在CD上截取CE＝4cm，以BE为棱将矩形折起，使△BC′E的高C′F⊥平面ABED，求：
（1）点C′到平面ABED的距离；
（2）C′到边AB的距离；
（3）C′到AD的距离．
参考答案：
（1）作FH⊥AB于H，作FG⊥AD于G，
则C′H⊥AB，,可算得BE=4cm，HB=2cm，
∴到平面ABED的距离为cm
⑵到平面AB的距离为cm
⑶到平面AD的距离为cm
六、板书设计（略）
七、课后记：