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　　　数学　　新课标（HK）　　九年级上册

期末综合评价
[满分150分，考试时间120分钟]

一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分)
1．已知反比例函数y＝，则这个函数的图象一定经过(　　)
A．(2，1) B．(2，－1)
C．(2，4) D．(－1，2)
2．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，则sinA的值是(　　)
A. B.
C. D.
3．已知二次函数y＝3(x－m)2＋m＋1的顶点在第二象限，则m的取值范围是(　　)
A．m＞0 B．m＜－1
C．－1＜m＜0 D．m＞－1
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列关系式中不一定成立的是(　　)
A．sinA＝cosB
B．cosA＝sinB
C．sinA＝sinB
D．tanA·tanB＝1
5．如图QM－1，已知直线a∥b∥c，直线m，n与这三条平行线a，b，c分别交于点A，C，E和点B，D，F，若AC＝4，CE＝6，BD＝3，则DF＝(　　)

图QM－1
A．4 B．4.5
C．5 D．5.5
6．如图QM－2是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，给出以下结论，其中错误的是(　　)

图QM－2
A．abc＜0
B．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别是－3和1
C．当x＜－1时，函数y的值随x的增大而增大
D．函数有最小值
7.如图QM－3所示，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是(　　)

图QM－3
A．(2，4) B．(－1，－2)
C．(－2，－4) D．(－2，－1)
8．在△ABC中，若＋＝0，且∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是(　　)
A．75° B．90°
C．105° D．120°
9．如图QM－4，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4 m，测得仰角为60°，已知小敏同学眼睛的高度(AB)为1.6 m，则这棵树的高度约为(结果精确到0.1 m，≈1.73)(　　)

图QM－4
A．3.5 m B．3.6 m
C．4.3 m D．5.1 m
10．如图QM－5，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，垂足为E，EF交DC于点F，设BE＝x，FC＝y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是(　　)

图QM－5

图QM－6
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
11．已知△ABC在正方形网格纸中的位置如图QM－7所示，则tanα的值是________．
图QM－7
　　　图QM－8

12．如图QM－8，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件____________(只需写一个)．
13．如图QM－9所示，济南建邦大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线所对应的函数表达式为y＝ax2＋bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需________秒．

图QM－9
14．如图QM－10，已知点A，B分别在反比例函数y＝和y＝－(x＞0)的图象上，且OA⊥OB，则 tan∠ABO的值为________．

图QM－10

三、解答题(共90分)
15．(8分)计算：cos230°＋sin230°－tan45°.

16.(8分)已知函数y＝x2＋bx－1的图象经过点(3，2)．
(1)求这个函数的表达式；
(2)通过配方求图象的顶点坐标．

17．(8分)如图QM－11，已知点A(a，3)是一次函数y1＝x＋b的图象与反比例函数y2＝图象的一个交点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)当y1>y2时，直接写出x的取值范围

图QM－11

18．(10分)如图QM－12，△ABC的顶点坐标分别为A(1，3)，B(4，2)，C(2，1)．
(1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
(2)以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使＝.

图QM－12
19．(10分)如图QM－13，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′＝EB.类似地，在AB上折出点B″使AB″＝AB′.这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．

图QM－13

20．(10分)如图QM－14，正方形AEFG的顶点E在正方形ABCD的边CD上，AD的延长线交EF于点H.
(1)试说明：△AED∽△EHD；
(2)若E为CD的中点，正方形ABCD的边长为4，求DH的长．

图QM－14
21．(12分)如图QM－15，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A的北偏西45°的方向，灯塔C在灯塔B的正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察站A相距10 海里，请你计算灯塔C在观察站A的什么方向．

图QM－15

22．(12分)如图QM－16是一种新型的滑梯的示意图，其中线段PA是高度为6米的平台，滑道AB是函数y＝的图象的一部分，滑道BCD是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B为抛物线的顶点，且B点到地面的距离为2米，当甲同学滑到C点时，距地面的距离为1米，距点B的水平距离CE也为1米．
(1)试求滑道BCD所在抛物线的表达式；
(2)试求甲同学从点A滑到地面上D点时，所经过的水平距离．

图QM－16

23．(12分)如图QM－17，▱ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠BAD＝120°，E为BC上一动点(不与点B重合)，作EF⊥AB于点F，FE，DC的延长线交于点G，设BE＝x，△DEF的面积为S.
(1)求证：△BEF∽△CEG；
(2)求S关于x的函数表达式，并写出x的取值范围；
(3)当点E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？

图QM－17

教师详答
1．A
2．B　[解析] 由正弦的定义，可得sinA＝＝＝.故选B.
3．C　[解析] 由于二次函数的顶点为(m，m＋1)，∴解得－1＜m＜0.

4．C　[解析] 在Rt△ABC中，∠C＝90°，如图，由三角函数的定义，可得
sinA＝，cosA＝，tanA＝，sinB＝，cosB＝，tanB＝，则有下列关系式：sinA＝cosB，cosA＝sinB，tanA·tanB＝×＝1，故选项A，B，D成立，选项C不一定成立．
5．B　[解析] 由a∥b∥c，得＝，即＝，解得DF＝4.5.
6．C　[解析] ∵由图易得a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，根据二次函数图象的对称性，可知图象与x轴另一个交点为(－3，0)，函数图象开口向上，故函数有最小值；当x＜－1时，函数图象自左向右是下降的，所以函数y的值随x的增大而减小．故选C.
7．C　[解析] 对应点的坐标应乘以－2，则点A′的坐标是(－2，－4)．
8．C　[解析] 根据已知得sinA－＝0，－cosB＝0，从而得∠A＝45°，∠B＝30°，所以∠C＝105°.
9．D
10．A　[解析] ∵AE⊥EF，四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠AEF＝∠C＝90°，
∴∠BAE＋∠AEB＝90°，∠AEB＋∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF，
∴＝.∵BE＝x，∴EC＝4－x，
∴＝.化简，得y＝－x2＋x，
配方，得y＝－(x－2)2＋1(0<x<4)，很明显，函数图象对应A选项．
11.　[解析] 由图可知α的对边长为3，邻边长为4，则tanα＝.
12．答案不唯一，如∠ADE＝∠C
[解析] 由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可以添加∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可以添加AD∶AC＝AE∶AB或AD·AB＝AE·AC.
13．36　[解析] 如图，设在10秒时到达A点，在26秒时到达B点，

∵10秒和26秒时拱梁的高度相同，∴A，B两点关于对称轴对称．∵从点A到点B需要16秒，∴从点A到点D需要8秒，∴从点O到点D需要10＋8＝18(秒)，∴从点O到点C需要2×18＝36(秒)．
14.　[解析] 作AC⊥y轴，BD⊥y轴，由∠AOC＝∠OBD，可证△ACO∽△ODB.点A，B分别在反比例函数y＝和y＝－(x＞0)的图象上，△ACO和△ODB的面积分别是1和4，所以＝，所以tan∠ABO＝＝.

15．解：原式＝＋()2－1＝1－1＝0.
16．解：(1)∵函数y＝x2＋bx－1的图象经过点(3，2)，
∴9＋3b－1＝2，解得b＝－2，
∴函数表达式为y＝x2－2x－1.
(2)配方，得y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，图象的顶点坐标为(1，－2)．
17．解：(1)由题意将A代入y2＝得A(2，3)，再代入y1＝x＋b得b＝1，则一次函数的表达式为y＝x＋1.
(2)x＞2或－3＜x＜0[提示：求出一次函数与反比例函数图象的另一个交点坐标(－3，－2)]
18．解：(1)如图所示．A1(1，－3)，B1(4，－2)，C1(2，－1)．

(2)以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使＝，则A2(－2，－6)，B2(－8，－4)，C2(－4，－2)．在直角坐标系中找出各点，并画出图形，如图所示．
19．证明：设正方形ABCD的边长为2，∵E为BC的中点，∴BE＝1，
∴AE＝＝.
又∵B′E＝BE＝1，
∴AB′＝AE－B′E＝－1，
∴AB″＝－1，
∴AB″∶AB＝(－1)∶2，这表明点B″是线段AB的黄金分割点．
20．解：(1)∵在正方形AEFG和正方形ABCD中，∠AEH＝∠ADC＝∠EDH＝90°，
∴∠AED＋∠DEH＝90°，∠AED＋∠DAE＝90°，
∴∠DEH＝∠DAE，∴△AED∽△EHD.
(2)∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD＝CD＝4.
∵E为CD的中点，∴DE＝2.
∵△AED∽△EHD，∴＝，
解得DH＝1.

21．解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.
∵灯塔B在观察站A的北偏西45°方向，
∴∠B＝45°.又∵BC＝10海里，
∴在Rt△BCD中，sinB＝，
∴sin45°＝，
∴CD＝BC·sin45°＝10×＝5 (海里)．
在Rt△ACD中，∵AC＝10 ，
∴sin∠CAD＝＝＝，
∴∠CAD＝30°，
∴∠CAF＝∠BAF－∠CAD＝45°－30°＝15°.
答：灯塔C在观察站A的北偏西15°的方向．
22．解：(1)依题意知点B到地面的距离为2米，
设点B的坐标为(x，2)，代入y＝得x＝5.所以点B的坐标为(5，2)．
因为点C距地面的距离为1米，距点B的水平距离CE也为1米，所以点C的坐标为(6，1)．
设滑道BCD所在抛物线的表达为y＝a(x－5)2＋2，
将点C的坐标(6，1)代入，得a＋2＝1，解得a＝－1，
则y＝－(x－5)2＋2.
(2)令y＝0，解得x＝＋5，所以OD＝＋5.
又将y＝6代入y＝，得x＝，
所以甲同学从点A滑到地面上点D时，所经过的水平距离为＋5－＝＋.
23．解：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，∴∠B＝∠ECG.
又∵∠BEF＝∠CEG，∴△BEF∽△CEG.
(2)由(1)知DG为△DEF中EF边上的高．
在Rt△BFE中，∠B＝60°，EF＝BEsinB＝x.
在Rt△CEG中，CE＝3－x，∠ECG＝∠B＝60°，CG＝(3－x)×cos60°＝，
∴DG＝DC＋CG＝，
∴S＝EF·DG＝－x2＋x，其中0<x≤3.
(3)∵a＝－<0，对称轴为直线x＝，
∴当0<x≤3时，S随x的增大而增大，
∴当x＝3，即点E与点C重合时，S有最大值，且S最大值＝3 .
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