函数的单调性教学设计.docx

函数的单调性

一、学习任务分析
本节课内容是人教版A版《数学（必修1）》第一章第3节第一小节的《单调性与最大（小）值》，这是第一课时，主要对函数的单调性进行研究。这节课是在学习函数概念的基础上进行学习的，同时其又为后面的基本初等函数的学习奠定了基础，所以它在教材中起着承前启后的重要作用。
函数的单调性部分蕴含了数形结合、从特殊到一般的思想方法，能培养学生的推理论证能力和抽象概括能力。函数的单调性是函数的最重要的基本性质之一，它不仅可用于研究函数的定义域、值域、最大值与最小值，同时在研究实际生活中的函数问题中也有着广泛的应用。
二、学情分析
从已有知识来看，学生已经在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数等初等基本函数，也学习了函数的基本定义和函数的三种表示方法。但本节课的难点在于学生对函数的单调性概念的理解，即如何把具体的、直观的、图像上的函数单调性特征抽象出来，用数学符号语言进行精确的描述。本节课将应用大量的例子对函数的图象及性质进行分析，让学生理解并掌握这一概念。
三、教学目标分析
1.知识与技能目标
(1) 能利用函数图象判断函数的单调区间及单调性；
(2) 能利用函数的关系式判断并证明函数在给定区间上的单调性；
(3) 能根据关于函数的单调性的语言描述画出函数的大致图像。
2.过程与方法目标
(1)通过对具体实例的探索，归纳得出函数的单调性的定义；
(2)在探索函数的单调性定义的过程中，体会数形结合、从特殊到一般的思想方法。
3.情感、态度与价值观目标
在探索函数的单调性定义的过程中感受数学的实用价值，体会数学的简洁美。
四、教学重点难点分析
1.教学重点
(1)掌握函数单调性的定义；
(2)掌握判断和证明简单函数单调性的方法。
2.教学难点
(1)对函数单调性定义的理解；
(2)根据定义证明函数单调性。
五、教学过程
(一)创设情境，导入新课
2.创设情境
情境1：如图1为某市某一天24小时的气温变化图，气温y是关于时间x的函数，记为y = f(x)，x∈[0,24]，观察这个气温变化图，说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的?怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增加气温逐渐升高”这一特征？

图1. 某市某一天24小时的气温变化图
情境2：画出下列3个函数的图象，你能用数学中的语言刻画这 3 个函数的函数值随自变量的变化特征吗?(1)f(x)=2x；(2)f(x)=1/x；(3)f(x)=x^2+2x+1。

图2
问题：观察图1与图2，随着自变量x的变化，函数值y会有怎样的变化？
师生活动：教师引导学生感受到函数图象的变化趋势：随着x值的增大，有的呈上升的趋势；有的呈下降的趋势；有的在一个区间内呈上升的趋势，在另一区间内呈逐渐下降的趋势。渗透分类讨论和数形结合思想。
教师归纳：先用描述性的文字语言分别对“上升”与“下降”表述为“y随x的增大而增大；y随x的增大而减小”；再用数学符号语言分别对应表述为“当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)；当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”，这个过程引导学生的思维从“直观感觉”走向“数理逻辑”。
2.揭示课题：函数的单调性(板书)
(二)师生合作，明确概念
1.归纳定义
问题：根据情境导入时的图像，你可以归纳出函数变化趋势与区间的联系吗？
师生活动：教师引导学生概括单调函数的概念，然后放手让学生独自概括单调区间的概念，让学生在类比模仿之中加强对数学概念的认知、内化，既培养学生的创造能力，又培养学生用数学中的“符号语言”刻画数学概念的能力。同时，让学生体会数学概念是如何扩充完善的。当学生表述不到位、语言不准确、理解存在偏差时，教师要耐心地引导学生补充、修正，最后达成严谨、准确、简洁的表述。如学生表述时，可能会漏掉“在某区间上”，借此教师要向学生强调函数的单调性是相对某区间而言的，是函数的“局部性质”。让学生阅读教材，规范表述，找出概念中的关键词“在某区间上”、“任意”、“都有”。
归纳：设函数y = f(x)的定义域为A，区间I包含于A。如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，若当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说y = f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y = f(x)的单调增区间。如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，若当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说y = f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y = f(x)的单调减区间。若函数y = f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y = f(x)在区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间。
板书：单调函数与单调区间的概念，用数学语言描述。
2.理解定义
问题1：根据图2，写出3个函数的单调区间。
问题2：如图3是定义在闭区间[-5,5]上的函数y = f(x)的图像，根据图像说出y = f(x)的单调区间，以及它在每个区间上的单调性。

图3
问题3：证明函数f(x)=x+1/x在(1, +∞)上是增函数。
问题4：若某函数y = f(x)在区间[-9,0]上递减，最低至-10，在[0,3]上递增，最高至6，在[3,9]上递减，最低至3，你可以大致描绘出其函数图象吗？
(三)多种训练，巩固新知
关于函数的单调性有以下一些说法:
(1)区间( a，b)上，取两数x1，x2，且x1＜x2，并有f(x1)＜f(x2)，则函数y = f(x)在( a，b)上是单调增函数。
(2)若函数y = f(x)在区间I上是单调增函数，x1，x2∈I，f(x1)＜f(x2)，则x1＜x2。
(3)若定义在Ｒ上的函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则函数f(x)是Ｒ上的单调增函数。
(4)函数y = f(x)的定义域为［0，+∞)，若对于任意的x2＞0，都有f(x2)＜f(0)，则函数y = f(x)在区间(0，+∞)上是单调减函数。
(5)若函数f(x)是Ｒ上的单调增函数，则必有f(2)＞f(1)。
(6)若定义在Ｒ上的函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则函数f(x)在Ｒ上不是单调减函数。
(7)若要说明函数f(x)在某个区间上不是单调增(减) 函数，只需在该区间上，找到两个值x1，x2，且x1＜x2，有f(x1)≥f(x2) (或f(x1)≤f(x2))成立。
(8)若定义在Ｒ上的函数f(x)在区间(－∞，0］上是单调增函数，在区间(0，+∞)上也是单调增函数，则函数f(x)在Ｒ上是单调增函数。
(9)若定义在Ｒ上的函数f(x)在区间(－∞，0］上是单调增函数，在区间［0，+∞)上也是单调增函数，则函数f(x)在Ｒ上是单调增函数。(10)所有的函数都具有单调区间。
其中正确的有(5)、(6)、(7)、(9)。
(四)课堂小结，深化概念
1.判断函数单调性的方法有哪些？怎样用定义证明函数的单调性？
2.通过增(减)函数概念的形成过程，你学习到了什么？
3.你还有什么收获与感想？
(五)布置作业
课后习题：第38页，第1题，第2题，第3题，第4题