函数的单调性教学设计.docx

函数的单调性一、学习任务分析本节课内容是人教版A版数学（必修1）第一章第3节第一小节的单调性与最大（小）值，这是第一课时，主要对函数的单调性进行研究。这节课是在学习函数概念的基础上进行学习的，同时其又为后面的基本初等函数的学习奠定了基础，所以它在教材中起着承前启后的重要作用。函数的单调性部分蕴含了数形结合、从特殊到一般的思想方法，能培养学生的推理论证能力和抽象概括能力。函数的单调性是函数的最重要的基本性质之一，它不仅可用于研究函数的定义域、值域、最大值与最小值，同时在研究实际生活中的函数问题中也有着广泛的应用。二、学情分析从已有知识来看，学生已经在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数等初等基本函数，也学习了函数的基本定义和函数的三种表示方法。但本节课的难点在于学生对函数的单调性概念的理解，即如何把具体的、直观的、图像上的函数单调性特征抽象出来，用数学符号语言进行精确的描述。本节课将应用大量的例子对函数的图象及性质进行分析，让学生理解并掌握这一概念。三、教学目标分析1.知识与技能目标(1) 能利用函数图象判断函数的单调区间及单调性；(2) 能利用函数的关系式判断并证明函数在给定区间上的单调性；(3) 能根据关于函数的单调性的语言描述画出函数的大致图像。2.过程与方法目标(1)通过对具体实例的探索，归纳得出函数的单调性的定义；(2)在探索函数的单调性定义的过程中，体会数形结合、从特殊到一般的思想方法。3.情感、态度与价值观目标在探索函数的单调性定义的过程中感受数学的实用价值，体会数学的简洁美。四、教学重点难点分析1.教学重点(1)掌握函数单调性的定义；(2)掌握判断和证明简单函数单调性的方法。2.教学难点(1)对函数单调性定义的理解；(2)根据定义证明函数单调性。五、教学过程(一)创设情境，导入新课2.创设情境情境1：如图1为某市某一天24小时的气温变化图，气温y是关于时间x的函数，记为y = f(x)，x0,24，观察这个气温变化图，说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的?怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增加气温逐渐升高”这一特征？图1. 某市某一天24小时的气温变化图情境2：画出下列3个函数的图象，你能用数学中的语言刻画这 3 个函数的函数值随自变量的变化特征吗?(1)f(x)=2x；(2)f(x)=1/x；(3)f(x)=x2+2x+1。图2问题：观察图1与图2，随着自变量x的变化，函数值y会有怎样的变化？师生活动：教师引导学生感受到函数图象的变化趋势：随着x值的增大，有的呈上升的趋势；有的呈下降的趋势；有的在一个区间内呈上升的趋势，在另一区间内呈逐渐下降的趋势。渗透分类讨论和数形结合思想。教师归纳：先用描述性的文字语言分别对“上升”与“下降”表述为“y随x的增大而增大；y随x的增大而减小”；再用数学符号语言分别对应表述为“当x1x2时，都有f(x1)f(x2)；当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”，这个过程引导学生的思维从“直观感觉”走向“数理逻辑”。2.揭示课题：函数的单调性(板书)(二)师生合作，明确概念1.归纳定义问题：根据情境导入时的图像，你可以归纳出函数变化趋势与区间的联系吗？师生活动：教师引导学生概括单调函数的概念，然后放手让学生独自概括单调区间的概念，让学生在类比模仿之中加强对数学概念的认知、内化，既培养学生的创造能力，又培养学生用数学中的“符号语言”刻画数学概念的能力。同时，让学生体会数学概念是如何扩充完善的。当学生表述不到位、语言不准确、理解存在偏差时，教师要耐心地引导学生补充、修正，最后达成严谨、准确、简洁的表述。如学生表述时，可能会漏掉“在某区间上”，借此教师要向学生强调函数的单调性是相对某区间而言的，是函数的“局部性质”。让学生阅读教材，规范表述，找出概念中的关键词“在某区间上”、“任意”、“都有”。归纳：设函数y = f(x)的定义域为A，区间I包含于A。如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，若当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说y = f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y = f(x)的单调增区间。如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，若当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说y = f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y = f(x)的单调减区间。若函数y = f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y = f(x)在区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间。板书：单调函数与单调区间的概念，用数学语言描述。2.理解定义问题1：根据图2，写出3个函数的单调区间。问题2：如图3是定义在闭区间-5,5上的函数y = f(x)的图像，根据图像说出y = f(x)的单调区间，以及它在每个区间上的单调性。图3问题3：证明函数f(x)=x+1/x在(1, +)上是增函数。问题4：若某函数y = f(x)在区间-9,0上递减，最低至-10，在0,3上递增，最高至6，在3,9上递减，最低至3，你可以大致描绘出其函数图象吗？(三)多种训练，巩固新知关于函数的单调性有以下一些说法:(1)区间( a，b)上，取两数x1，x2，且x1x2，并有f(x1)f(x2)，则函数y = f(x)在( a，b)上是单调增函数。(2)若函数y = f(x)在区间I上是单调增函数，x1，x2I，f(x1)f(x2)，则x1x2。(3)若定义在上的函数f(x)满足f(2)f(1)，则函数f(x)是上的单调增函数。(4)函数y = f(x)的定义域为0，+)，若对于任意的x20，都有f(x2)f(0)，则函数y = f(x)在区间(0，+)上是单调减函数。(5)若函数f(x)是上的单调增函数，则必有f(2)f(1)。(6)若定义在上的函数f(x)满足f(2)f(1)，则函数f(x)在上不是单调减函数。(7)若要说明函数f(x)在某个区间上不是单调增(减) 函数，只需在该区间上，找到两个值x1，x2，且x1x2，有f(x1)f(x2) (或f(x1)f(x2)成立。(8)若定义在上的函数f(x)在区间(，0上是单调增函数，在区间(0，+)上也是单调增函数，则函数f(x)在上是单调增函数。(9)若定义在上的函数f(x)在区间(，0上是单调增函数，在区间0，+)上也是单调增函数，则函数f(x)在上是单调增函数。(10)所有的函数都具有单调区间。其中正确的有(5)、(6)、(7)、(9)。(四)课堂小结，深化概念1.判断函数单调性的方法有哪些？怎样用定义证明函数的单调性？2.通过增(减)函数概念的形成过程，你学习到了什么？3.你还有什么收获与感想？ (五)布置作业课后习题：第38页，第1题，第2题，第3题，第4题