函数的单调性教学设计.doc

函数的单调性教学设计单位：蓝田县玉山中学 科目：高中数学 姓名：贾娟妮 日期：二0一四年十二月函数的单调性教学设计【三维目标】 1知识与技能：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图像和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。2过程与方法：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的逻辑推理能力。3情感态度与价值观：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明。【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性。.com【教学方法】 教法启发引导式，学法合作探究学习。【教学手段】 借助多媒体【教学过程】一、创设情境，引入课题下图是兰州市今年5月1日一天24小时内气温随时间变化的曲线图。引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考。问题：观察图形，能得到什么信息？来源:学+科+网预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低。在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的。问题：还能举出生活中其它的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等。归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小。二、探究发现，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义。1.借助图像，直观感知 在初中学习过一次函数、二次函数、反比例函数，我们来看几个函数的图像。问题1：分别作出函数y=x,y=x2的图像，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？ 看图跟学生一起由图形看到了什么，提问并总结。以上两个函数的定义域和值域分别是什么？x k b 1 . c o m 观察图像，分析在x变化时，y是如何变化的？预案：(1) 对f(x) = x函数 在整个定义域内，从左往右观察图形， y随x的增大而增大；(2) (2)对于函数，从左往右观察图形，在上y随x的增大而减小，在上 y随x的增大而增大。强调：明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质。 引导学生再次进行分类描述 (增函数、减函数)。 问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?预案：再次分析上面两个图像得出：如果函数在定义域内的某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数；如果函数在定义域内的某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减函数。教师指出：这种认识是从图像的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识。设计意图从图像直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识。2探究规律，理性认识问题：如何从解析式的角度说明在为增函数？预案： (1) 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为1222,所以在为增函数。(2) 仿(1)，取很多组验证均满足，所以在为增函数(3) 任取,因为,即，所以在为增函数。对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量是一个集合，或是范围，有时不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量。设计意图把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫。3抽象思维，形成概念问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生模拟得出减函数的定义。(1)单调性的定义来源:Z*xx*k.Com一般的，设函数的定义域为I：如果定义域I内的一个区间A上，对于任意两个数x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(X)在这个区间A上是增函数。如果定义域I内的一个区间A上，对于任意两个数x1、x2，当x1f(x2)，那么就说f(X)在这个区间A上是减函数。(2)巩固概念判断题：.若函数若函数在区间和(2,3)上均为增函数，则函数在区间(1,3)上为增函数。 因为函数f(x)= 在区间上都是减函数，所以f(x)= 在上是减函数。通过判断题，强调三点：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性。对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)。函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数。思考：如何说明一个函数在某个区间上是不是单调函数?设计意图让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识。三、 掌握证法，适当延展 例1.下图是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上,它是增函数还是减函数？解:函数y=f(x)的单调区间有-5, -2), -2,1), 1, 3), 3, 5.其中y=f(x)在区间-5, -2), 1, 3)上是减函数， 在区间-2, 1), 3, 5 上是增函数. 例2.证明：函数 在 上是增函数证明：在区间 上任取两个值 且 .证明：在区间上任取两个值1 ，2且12 取值 则 做差 变形 且 即 断号 所以函数f(x)=3x+2在区间上是增函数 定论2归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论。练习：证明函数在上是增函数。问题：要证明函数在区间上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的，且有可以吗? 引导学生分析这种叙述与定义的等价性让学生尝试用这种等价形式证明函数在上是增函数。设计意图初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔。四、归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结。 1小结(1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性。(2) 证明方法和步骤：取值、作差、变形、断号、定论。(3) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，模拟等。 2作业 书面作业：课本第39页习题2-3 第4，5题。 课后探究： 1.研究函数的单调性，并结合描点法画出函数的草图。 2.已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x1、x2，满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2,当x0时，有f(x)-2.求证：f(x)在（-，+）上是增函数。 贾娟妮 二一四年十二月十一日