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椭圆及其标准方程教学设计
朱小红

一、 教材分析
本节课是在学习圆的知识后接触到的另外一种曲线，所以本节承上启下的作用.
(一) 教学内容
"椭圆及其标准方程"是高二《数学》上（试验修订本·必修）（人民教育出版社出版）第八章的第一节内容，分三课时完成. 第一课时讲解椭圆的定义及其标准方程；第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程解题，巩固求曲线方程的两种基本方法，即待定系数法、定义法；第三课时讲解运用中间变量法求动点轨迹方程的基本思路. 现在说第一课时.
(二) 教材的地位和作用
本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线. 椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础. 因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一.
(三) 教学目标
[确定依据] 根据上述教学内容的地位和作用，结合大纲，确定了以下目标：
1. 知识与技能目标：掌握椭圆的定义和标准方程，明确焦点、焦距的概念，理解椭圆标准方程的推导.
2. 过程与方法目标：通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力.
3. 情感态度与价值观目标：通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，同时培养学生运动、变化和对立统一的观点. 以“神舟五号”飞船运动轨迹的演示，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的数学应用意识、创新意识，扩展学生的数学视野，并让学生受到爱国主义思想的教育，使之逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值.
(四) 教学的重点难点的确立和解决
[确定依据] 教学大纲 学生情况
1. 教学重点：椭圆的定义及其标准方程
[解决方法] 为了突出重点，让学生动手实践，自主探索，通过画图揭示椭圆上的点所要满足的条件，由此得出定义，推出方程.
2. 教学难点：椭圆标准方程的推导
[解决方法] 为了突破此难点，关键是抓住 "怎样建立坐标系" 并把实际问题数学化即建模和 "怎样简化方程" 两个环节来进行方程的推导.
二、学情分析
通过前面的学习，学生已具备一定的分析与归纳能力. 初步掌握了解析几何的基本思想与方法，但是学生对坐标法解决几何问题掌握不够，从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在障碍. 在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，而这些在目前初中代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满足学习本节的需要，故本节采取缺什么补什么的办法来补充这些知识.
三、教法和学法
(一) 教法：根据以上的分析及本节课的内容和学生的认知水平，采用在教师指导下的学生探究发现教学法.
通过这样的教法可以充分调动学生学习的主动性、积极性，使课堂气氛更加活跃. 同时培养了学生自主学习，动手探究的能力.
(二) 学法：自主探究，合作交流
"授人以鱼，不如授人以渔." 教给学生如何学习是教师的职责，因此在本节课的教学中，教会学生动手尝试、仔细观察、开动脑筋、分析讨论，最后抽象出概念，推出方程. 这样有利于学生发挥学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.
(三) 教学手段：多媒体辅助教学.
通过动态演示，集声、文、图象于一体，有利于引起学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，增大知识信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量.
四、教学过程及设计意图
(一) 创设情景，提出课题
本节课的开始由多媒体演示“神舟五号”飞船绕地球旋转运行的画面，并描绘出运行轨迹图.
[问 一] 2003年10月15日，中国“神舟五号”飞船试验成功，实现了中国人的千年飞天梦. 请问：“神舟五号”飞船绕地球旋转的轨迹是什么图形？
[设置依据] 让学生形成椭圆的感性认识，感受数学的应用价值，明白生活实践中有很多数学问题，数学来源于实践，同时培养学生学会用数学眼光去观察周围事物的能力，并体现了爱国主义思想的渗透.
此时老师可以指出，在天体运行的轨道中，除椭圆外，还有抛物线、双曲线等. 再运用多媒体演示一个平面截圆锥的各种情形，向学生介绍“"圆锥曲线” 这个名称的来历，并让学生举出实际生产、生活中有关椭圆的例子.
[设置依据] 使学生对圆锥曲线有初步的感性认识，同时对本章要学习的内容产生兴趣，培养学生对立统一的观点. 教师也可以很自然的引出课题.
(二) 自主探究，形成概念
[问 二] 曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹. 椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？
[设置依据] “思维从疑问开始” ，由于学生熟知“到定点距离等于定长的点的轨迹是圆”，通过创设情景，激发了学生的求知欲，使学生急于想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，但现有知识又无从回答，形成认知冲突，使学生进入愤悱状态.
此时教师引导：要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，首先要知道椭圆的画法（几何特征）. 于是让学生拿出课前准备好的一块纸板，一段细绳，两枚图钉，按课本上介绍的方法，同桌间相互磋商、动手绘图，教师巡视，并抽已完成的两位同学在黑板上用准备好的工具演示，使学生尝试到成功的喜悦. 教师进一步启发引导学生讨论，得出“到两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆”时，马上提出第三个问，让学生回答.

[问 三]
1. 在纸板上作图说明了什么？
2. 在绳长 (设为 2 a ）不变的条件下，改变两个图钉之间的距离（设为2 c），画出的椭圆有何变化？
3. 当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？
4.当两图钉固定，能使绳长小于两图钉之间的距离吗？能画出图形吗？
教师让学生再一次动手实践，相互讨论交流，然后抽学生代表发表意见，同时教师运用多媒体进行配合说明，可以得出：当 2 a > 2 c 时，是椭圆，并且当两定点间的距离越小，椭圆越圆，特别地当两点重合时，是圆，两定点间的距离越大，椭圆越扁；当 2 a = 2 c 时是线段；当 2 a < 2 c 时，无轨迹.
[设置依据] 按学生的认识规律与心理特征引导学生自己探索、分析，启发学生认识新的概念，这有利于学生对概念的全面理解，同时培养了学生从量变到质变的辨证思维.
在上述基础上，定义的形成已是水到渠成了，于是教师让学生自己概括椭圆定义.
定义 平面内与两个定点F1 、F2 的距离的和等于常数（大于 |F1 F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
在归纳定义时，再次强调定义要满足三个条件：①平面内（这是大前提）；②任意一点到两个定点的距离的和等于常数；③常数大于 |F1 F2 |.
(三) 师生互动，导出方程
给出椭圆的定义后，教师即可指出：由椭圆定义，知道了它的基本几何特征，这只是一种“定性”的描述，但是对于这种曲线还具有哪些性质，尚需进一步研究. 根据解析几何的基本思想方法，我们需要利用坐标法先建立椭圆的方程“定量”的描述，然后通过对椭圆的方程的讨论，来研究其几何性质.
[问 四]
1. 求曲线方程的一般步骤是什么？
2. 建立坐标系的一般原则有哪些？
学生围绕两问，思考，讨论可得：求曲线方程的一般步骤——建系设点、写出点集、列出方程、化简方程、证明（可省略）. 建系的一般原则为：使已知点的坐标和曲线的方程尽可能简单，即原点取在定点或定线段的中点，坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上，充分利用图形的对称性.
[设置依据] 让学生明确思维的目的，通过复习旧知，为下一步学习搭桥铺路.
[问 五] 怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？
通过前面知识的回忆，学生思考、相互交流，很容易选定下列建立坐标系的方案.
1. 建系设点：以两定点F1 、F2 的连线为 x 轴，以线段 F1 F2 的垂直平分线为y轴，建立坐标系，如图1

设M ( x , y ) 为椭圆上任意一点，| F1 F2 | = 2 c (c>0) ，则有F1（－c, 0）、F2 (c ,0). 又设 M与F1 和F2 的距离的和等于常数 2 a ( a > 0 ) .
[设置依据] 因为正确选取坐标系是解析几何解题的基本技巧之一，故设计目的是为了着重培养学生这方面的能力.
2. 写出点集：让学生利用两点的距离公式，根据椭圆定义列出：
P = { M | |MF1 | + |MF2 | = 2 a } .

到此为止，学生以为椭圆的方程已求出，此时教师可以指出:为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化.
4. 化简方程：学生对含有两个根式之和的等式进行化简有一定困难，教师可采用以下方法突破难点：首先让学生明确，含根号的等式化简的目的就是要去掉根号，变无理式为有理式；其次复习含有一个根式的等式的化简方法——将根式放在等式的一边，其它项移到等式另一边，两边平方可去掉根号；有了这一基础，可启发学生，化简含两个根式之和的等式，只要将两个根式分别放在等号两边，其中一边只含一个根式，平方一次后即可转化为只含一个根式的化简问题.
教师引导学生化简，得到 (a 2 － c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 － c 2 ) . 指出：此方程形式还不够简捷，还有变形的必要，

5. 证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点，一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，此步可以省略. 如有特殊情况，应给出说明.
另外步骤2也可省略，直接列出曲线的方程.
[设置依据] 再一次体现解析几何的基本思想，即用代数方法研究几何问题.在解决解析几何问题中，熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑，故在此，教师不失时机地加强了运算技能的训练.
[问 六] 如果焦点F1 、F2 在 y 轴上，并且点O 与线段F1 F2 的中点重合，a、b、c 的意义同上，椭圆的方程形式又如何呢？

[设置依据] 该问的设置，一方面是为了得出焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程；另一方面通过学生的猜想，充分发挥学生的直觉思维和数学悟性. 调动了学生学习的主动性和积极性，通过动手验证，培养了学生严谨的学习作风和类比的能力.
为了让学生加深对椭圆的两种标准方程的理解，下面举例，巩固练习.
1. 指出在下列方程中，哪些是椭圆的标准方程？哪些是椭圆的方程？（让
学生思考、抢答）

2. 比较椭圆的两种标准方程，填表. （学生讨论回答，教师板书）

不同点
标准方程

图形

焦点坐标

共同点
定义

a、b、c的关系

焦点位置的判定

[设置依据] 使学生进一步理解方程，掌握方程的本质特征，揭示规律，充
分展示数形结合的和谐美、统一美，同时为解决例题做铺垫.
(四) 初步运用，强化理解
例 题
1. 判定下列椭圆的焦点在哪个轴上，并指明 a2，b2 和焦点坐标.

图3
[设置依据] 数学概念是要在运用中得以巩固的，通过该例题使学生进一步理解椭圆的定义，掌握标准方程，使知识内化为智能，并在解题过程中感受 "数形结合" 思想的优越性.
(五) 自我评价，反馈调节

[设置依据] 变换练习方式，可增强新异感，调动学生的积极性，同时使学生获得的知识信息及时得到巩固，纳入长时记忆系统.
(六) 知识整理，形成系统（由学生归纳，教师完善）
1. 椭圆的定义（注意定义中的三个条件）
2. 椭圆的标准方程（注意焦点的位置与方程形式的关系）
3. 解析几何的基本思想
[设置依据]通过小结，使学生对所学的知识有一个完整的体系，突出重点，抓住关键，培养概括能力.
(七) 布置作业，巩固提高（学有余力的学生全做，其余学生不做探究题）
1. 课本习题 8. 1 第 1 （2）、4 题
2. 课后探究题：

[设置依据] 一方面为了巩固知识，形成技能，培养学生周密的思维能力，发现教学中的遗漏和不足；另一方面，分层要求，有利各种层次的学生获得最佳发展，充分培养了学生的自主学习能力和探究性学习习惯.
(八) 板书设计（附后）
[设置依据] 勾勒出全教材的主线，呈现完整的知识结构体系并突出重点，用彩色增加信息的强度，便于掌握.
五、教学评价
本节课围绕“层层设问 自主探索 发现规律 归纳总结”这一主线展开，对教材内容进行了优化组合，在教学过程中，学生通过观看动画，动手实践，自己总结出椭圆定义，符合从感性上升为理性的认知规律，而且提升了抽象概括的能力. 同时在进行推导椭圆的标准方程的过程中，提高了利用坐标法解决几何问题的能力及运算能力. 在整节课中，教师作为引导者，利用“神舟五号”运行轨迹的演示，激发学生学习数学的兴趣，鼓励学生大胆探索 ，勇于创新，提高学生参与数学活动的兴趣和积极性，树立了学好数学的自信，养成独立思考习惯.
但在本节课中，根据学生能力的高低因人施教尤为重要. 学生是否具有问题意识，是否善于发现和提出问题. 在解决问题中，能否既独立思考又与他人交流与合作，能否对解决问题的方案进行质疑、调整和完善. 鉴于此，在设计本教案时，应增加教案的弹性设计，设置不同层次的知识面，以适应不同学生的认知过程. 与此同时，教师应不失时机地鼓励、肯定和表扬学生，调动课堂学习氛围，真正做到将传授知识和培养能力融为一体，较好地体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教育思想，实践新的教育理念.

教学设计说明

1. 教学指导思想
以新课程的教学理念为指导，转变教的行为，做到“用教材教，而不是教教材”；改变学习方式，以学生发展为本，充分体现素质教育的重点：培养学生的创新精神和实践能力.
2. 教学过程的设计
本节内容教学安排与一般设想不同. 如一般设想是“重结论，轻过程”，
常常直接给出定义，尽快得出两种标准方程，举例示范，使学生课外能学会使用方程解答课本习题. 而本节课不仅重视结论，也重视知识的形成过程，围绕“层层设问 自主探索 发现规律 归纳总结”这一主线展开，对教材内容进行了优化组合. 在教学过程中，教师作为引导者、参与者、合作者，努力引导学生动手、探索、分析，亲身经历知识形成的过程. 运用多媒体演示“神舟五号”飞船围绕地球的运行轨迹，形象地给出椭圆；通过让学生自己动手做图，“定性”地画出椭圆；再通过方程“定量”地描述出椭圆，使之从感性到理性抽象概括，形成概念，推出方程. 在整个教学过程中渗透了方程、转化、数形结合等数学思想.
3. 重视对能力的培养
在教学过程中通过学生动手实践、自主探索，培养其分析、交流、抽象概括及数学表达的能力. 在推导椭圆的标准方程过程中，提高学生利用坐标法解决几何问题的能力及运算能力.
4. 重视辨证唯物主义和历史唯物主义观点的培养
本节课通过“神舟五号”飞船运动轨迹的演示，通过介绍“圆锥曲线”名称的来历，通过问三的设置，培养了学生运动变化、量变到质变、相互联系、相互转化、对立统一的观点，并使学生受到了爱国主义思想的教育，增强了学生的数学素质.
5. 弹性化设计教案
根据学情不同，学生能力的高低，以及学生的特点和兴趣，设置不同层次的
知识面，以适应不同学生的认知过程.
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