2018届高三专题复习专题二-三角函数与平面向量.doc

专题二 三角函数与平面向量
第1讲　三角函数的图象与性质
高考定位　三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查.2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.

真 题 感 悟
1.(2015·山东卷)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
2.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)
A.5 B.6 C.8 D.10
3.函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)
A.，k∈Z B.，k∈Z
C.，k∈Z D.，k∈Z
4.函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________.
考 点 整 合
1.三角函数的图象及常用性质(表中k∈Z)

y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象

增区间

[－π＋2kπ，2kπ]

减区间

[2kπ，π＋2kπ]
无
对称轴
x＝kπ＋
x＝kπ
无
对称中心
(kπ，0)

2.三角函数的两种常见变换
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0).
(2)y＝sin x y＝sin ωxy＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0).
3.正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心是函数图象与x轴的交点，对称轴是过函数图象的最高点或者最低点且与x轴垂直的直线；正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)的图象是中心对称图形，不是轴对称图形.

热点一　三角函数的图象
[微题型1]　三角函数的图象变换
【例1－1】 (2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x

Asin(ωx＋φ)
0
5

－5
0
(1)请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值.

[微题型2]　由三角函数图象求其解析式
【例1－2】 (2015·长沙模拟)函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜，x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为(　　)
A.y＝－4sin B.y＝4sin
C.y＝－4sin D.y＝4sin
【训练1】 已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点和点.
(1)求m，n的值；(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间.

热点二　三角函数的性质
[微题型1]　根据单调性、对称性求参数
【例2－1】 已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A. B. C. D.(0，2]
[微题型2]　考查三角函数的单调性、对称性
【例2－2】 (2015·石家庄模拟)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间.

[微题型3]　考查三角函数在闭区间上的最值(或值域)
【例2－3】 (2015·济南模拟)设函数f(x)＝sin2ωx＋2sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.
(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在x∈上的值域.

【训练2】 (2015·河南名校联考)已知函数f(x)＝cos＋sin2x－cos2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程；
(2)设函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x)，求g(x)的值域.

1.(1)y＝－sin x与y＝sin x的单调性正好相反，y＝－cos x与y＝cos x的单调性也同样相反.
(2)y＝|sin x|与y＝|cos x|的周期是π，y＝sin|x|不是周期函数，y＝cos|x|是周期函数.
(3)对于函数y＝tan x，不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)上为增函数.
2.运用整体换元法求解单调区间与对称性：
类比y＝sin x的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入求解.
(1)令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程；
(2)令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；
(3)将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号.
3.奇偶性：
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；
(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝(k∈Z).
4.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的图象求解析式
(1)A＝，B＝.
(2)由函数的周期T求ω，ω＝.
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.

一、选择题
1.为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝cos 3x的图象(　　)
A.向右平移个单位 B.向左平移个单位 C.向右平移个单位 D.向左平移个单位
2.(2015·广州期末)若函数f(x)＝sin ax＋cos ax(a＞0)的最小正周期为2，则函数f(x)的一个零点为(　　)
A.－ B. C. D.(0，0)
3.(2014·湖南卷)已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且f(x)dx＝0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是(　　)
A.x＝ B.x＝ C.x＝ D.x＝
4.已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，f＋f＝0，且f(x)在区间上递减，则ω＝(　　)
A.3 B.2 C.6 D.5
5.(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(　　)
A.f(2)<f(－2)<f(0) B.f(0)<f(2)<f(－2) C.f(－2)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(－2)
二、填空题
6.若将函数f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________.
7.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________.
8.设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0).若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________.
三、解答题
9.(2015·北京卷)已知函数f(x)＝sincos－sin2.
(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值.

10.(2015·咸阳模拟)已知函数f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)，g(x)＝tan x，它们的最小正周期之积为2π2，f(x)的最大值为2g.
(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设h(x)＝f2(x)＋2cos2x.当x∈时，h(x)有最小值为3，求a的值.

11.(2015·福建卷)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)＝cos x的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度.
(1)求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；
(2)已知关于x的方程f(x)＋g(x)＝m在[0，2π)内有两个不同的解α，β.
①求实数m的取值范围；
②证明：cos(α－β)＝－1.

第2讲　三角恒等变换与解三角形
高考定位　1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心，试题多为选择题或填空题.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形、判断三角形的形状或求值等，并经常和三角恒等变换结合进行综合考查.

真 题 感 悟
1.(2015·重庆卷)若tan α＝2tan ，则＝(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________.
3.(2015·北京卷)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.
4.(2015·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________.
考 点 整 合
1.三角函数公式
(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
(2)诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.
(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；tan(α±β)＝.
(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
2.正、余弦定理、三角形面积公式
(1)＝＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径).
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；sin A＝，sin B＝，sin C＝；a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C；
推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝；
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C.
(3)S△ABC＝absin C＝acsin B＝bcsin A.

热点一　三角变换的应用
[微题型1]　求值
【例1－1】 (1)(2015·成都模拟)sin(π－α)＝－且α∈，则sin＝(　　)
A.－ B.－ C. D.
(2)(2015·邯郸模拟)已知＝－，则cos α＋sin α＝(　　)
A.－ B. C. D.－
(3)(2015·太原模拟)已知＝－1，则cos2－sin(π－α)cos(π＋α)＋2＝________.
[微题型2]　求角
【例1－2】 (2015·中山模拟)已知cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0＜β＜＜α＜，则α＋β＝________.
【训练1】 (2014·新课标全国Ⅰ卷)设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)
A.3α－β＝ B.2α－β＝ C.3α＋β＝ D.2α＋β＝

热点二　正、余弦定理的应用
[微题型1]　判断三角形的形状
【例2－1】(2015·焦作模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，则△ABC的形状是(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
[微题型2]　解三角形
【例2－2】已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C－b－c＝0.
(1)求A；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值.

[微题型3]　求解三角形中的实际问题
【例2－3】 (2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
【训练2】 (2015·湖南卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A，且B为钝角.
(1)证明：B－A＝；(2)求sin A＋sin C的取值范围.

1.对于三角函数的求值，需关注：
(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；
(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；
(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.
2.三角形中判断边、角关系的具体方法：
(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.
3.三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A＋B)＝sin C，sin＝cos 等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题，如：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解，注意确定解的个数.

一、选择题
1.已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α等于(　　)
A. B. C.－ D.－
2.(2015·晋中模拟)已知α∈，sin＝，则cos α等于(　　)
A.－ B. C.－或 D.－
3.钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　)
A.5 B. C.2 D.1
4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)
A.3 B. C. D.3
5.已知tan β＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为(　　)
A. B. C. D.或
二、填空题
6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为________.
7.(2015·南昌模拟)若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________.
8.如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为________米.
三、解答题
9.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.
(1)求a的值；(2)求sin的值.

10.(2015·唐山模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csin B＝bcos C＝3.
(1)求b；(2)若△ABC的面积为，求c.

11.(2015·山东卷)设f(x)＝sin xcos x－cos2.
(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值.

第3讲　平面向量
高考定位　1.对向量的概念和线性运算的考查多以熟知的平面图形为背景，多为客观题；2.对平面向量数量积的考查多以考查角、模等问题为主，难度不大；3.还可能体现模块之间的综合性(例如与三角、解析几何等相结合).

真 题 感 悟
1.(2015·山东卷)已知菱形ABCD 的边长为a，∠ABC＝60° ，则·＝(　　)
A.－a2 B.－a2 C.a2 D.a2
2.(2015·重庆卷)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.π
3.(2015·全国Ⅰ卷)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)
A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－
4.(2015·全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.
考 点 整 合
1.平面向量的两个重要定理
(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底.
2.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
3.平面向量的三个性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝.
4.平面向量的三个锦囊
(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是＝λ1＋λ2(其中λ1＋λ2＝1).
(2)三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则向量与向量，的关系是＝(＋).
(3)三角形重心坐标的求法：G为△ABC的重心⇔＋＋＝0⇔G.

热点一　平面向量的有关运算
[微题型1]　平面向量的线性运算
【例1－1】在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.
[微题型2]　平面向量的坐标运算
【例1－2】 (2015·保定模拟)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，3)，c＝(k，7)，若(a＋2c)∥b，则k＝________.
[微题型3]　平面向量数量积的运算
【例1－3】 (1)(2015·湖北卷)已知向量⊥，||＝3，则·＝________.
(2)(2015·天津卷)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________.
【训练1】 (2015·福建卷)已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于(　　)
A.13 B.15 C.19 D.21
热点二　平面向量与三角的交汇
[微题型1]　平面向量与三角形
【例2－1】 已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________(填重心、垂心、内心或外心).
[微题型2]　平面向量与三角函数
【例2－2】 (2015·合肥模拟)已知向量m＝(sin 2x＋2，cos x)，n＝(1，2cos x)，设函数f(x)＝m·n.
(1)求f(x)的最小正周期与单调递增区间；
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f(A)＝4，b＝1，△ABC的面积为，求a的值.

[微题型3]　平面向量与解三角形
【例2－3】 △ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行.
(1)求A； (2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积.

【训练2】设a＝(cos α，(λ－1)sin α)，b＝(cos β，sin β)是平面上的两个向量，若向量a＋b与a－b互相垂直.
(1)求实数λ的值；(2)若a·b＝，且tan β＝，求tan α的值.

1.在解决平面向量的数量积问题中，要注意：
(1)两个向量的夹角的定义；(2)两个向量的夹角的范围；(3)平面向量的数量积的几何意义；(4)向量的数量积的运算及其性质等.
2.平面向量的数量积的运算有两种形式：
(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；
(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.
3.根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直.
4.两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.
5.平面向量的综合运用主要体现三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系.

一、选择题
1.(2015·陕西卷)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是(　　)
A.|a·b|≤|a||b| B.|a－b|≤||a|－|b|| C.(a＋b)2＝|a＋b|2 D.(a＋b)(a－b)＝a2－b2
2.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)
A.|b|＝1 B.a⊥b C.a·b＝1 D.(4a＋b)⊥
3.函数y＝tan的部分图象如图所示，则(＋)·＝(　　)
A.4 B.6 C.1 D.2
4.已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则向量a，b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
5.设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝(　　)
A.20 B. 15 C.9 D.6
二、填空题
6.已知两个非零向量a，b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝3，c＝ta＋(1－t)b，若b⊥c，则t＝________.
7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足＝2，则·＝________.
8.已知A，B，C是平面上不共线的三点，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的________(填重心、垂心、内心或外心).
三、解答题
9.已知向量a＝，b＝，且x∈.
(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值.

10.已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p＝(cos B＋sin B，2sin B－2)，
q＝(sin B－cos B，1＋sin B)，且p⊥q.
(1)求B的大小；(2)若b＝2，△ABC的面积为，求a，c.

11.已知A，B是△ABC的两个内角，a＝cos i＋sin j(其中i，j是互相垂直的单位向量)，且|a|＝.
(1)试问tan A·tan B是否为定值，若是定值，请求出，否则说明理由；
(2)求tan C的最大值，并判断此时三角形的形状.

专题二 三角函数与平面向量 答案
第1讲　三角函数的图象与性质
真 题 感 悟
1.解析　∵y＝sin＝sin，∴要得到y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移个单位.答案　B
2.解析　由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5.∴ymax＝k＋3＝8.答案　C
3.解析　由图象知＝－＝1，∴T＝2.由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，∴f(x)＝cos，由2kπ＜πx＋＜2kπ＋π，得2k－＜x＜2k＋，D正确.
4.解析　f(x)＝＋sin 2x＋1＝sin＋，∴T＝＝π，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得：＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴单调递减区间是，k∈Z.答案　π　(k∈Z)
【例1－1】 解　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x

π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数表达式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，得g(x)＝5sin.因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈Z.由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
探究提高　三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言.
【例1－2】解析　由图象知＝6－(－2)＝8，∴T＝16，A＝4.∴ω＝＝＝.∴y＝4sin，
把点(6，0)代入得：×6＋φ＝0，得φ＝－.∴y＝4sin，又∵|φ|＜.∴y＝－4sin.答案　A
探究提高　已知图象求函数y＝Asin(A＞0，ω＞0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.
【训练1】解　(1)由题意知f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x.因为y＝f(x)的图象经过点和，
所以即解得m＝，n＝1.
(2)由(1)知f(x)＝ sin 2x＋cos 2x＝2sin.由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin.
设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0，2)，由题意知x＋1＝1，所以x0＝0，
即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2).将其代入y＝g(x)得sin＝1，因为0＜φ＜π，所以φ＝.
因此g(x)＝2sin＝2cos 2x.由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，
所以函数y＝g(x)的单调递增区间为，k∈Z.
【例2－1】解析　由2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋π，k∈Z且ω＞0，得≤x≤，k∈Z.
取k＝0，得≤x≤，又f(x)在上单调递减，∴≤，且π≤，解之得≤ω≤.答案　A
探究提高　此类题属于三角函数性质的逆用，解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式，再根据参数范围求解.或者，也可以取选项中的特殊值验证.
【例2－2】解　(1)∵x＝是函数y＝f(x)的图象的对称轴.∴sin＝±1.∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.
又－π＜φ＜0，∴φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，y＝sin.由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.
所以函数y＝sin的单调增区间为(k∈Z).
探究提高　对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的求解，其基本方法是将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y＝Asin(ωx＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A＞0，ω＜0时，需先利用诱导公式变形为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间.
【例2－3】解　(1)因为f(x)＝sin2ωx＋2sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋λ＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin＋λ，由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin＝±1，所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，
即ω＝＋(k∈Z).又ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，即λ＝－2sin＝－2sin＝－，即λ＝－.
故f(x)＝2sin－，∵x∈，∴x－∈，∴函数f(x)的值域为[－1－，2－].
探究提高　求三角函数最值的两条思路：(1)将问题化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，结合三角函数的性质或图象求解；(2)将问题化为关于sin x或cos x的二次函数的形式，借助二次函数的性质或图象求解.
【训练2】解　(1)f(x)＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin.则f(x)的最小正周期为π，由2x－＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，所以函数图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).
(2)g(x)＝[f(x)]2＋f(x)＝sin2＋sin＝－.当sin＝－时，g(x)取得最小值－，
当sin＝1时，g(x)取得最大值2，所以g(x)的值域为.
一、选择题
1.解析　因为y＝sin 3x＋cos 3x＝cos，要得到函数y＝cos的图象，可以将函数y＝cos 3x的图象向右平移个单位，故选C.
2.解析　f(x)＝2sin，∵T＝＝2，∴a＝π.∴f(x)＝2sin，∴当x＝时，f(x)＝0.故选B.
3.解析　由f(x)dx＝0，得sin(x－φ)dx＝0，
即－cos (x－φ)| ＝0，∴－cos＋cos φ＝0，∴cos φ－sin φ＝0，∴cos＝0，
∴φ＋＝＋kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ＋，∴f(x)＝sin ，由x－kπ－＝k′π＋
得x＝(k＋k′)π＋π(k，k′∈Z)，故选A.
4.解析　∵f(x)＝2sin，f＋f＝0.∴当x＝＝时，f(x)＝0.∴ω＋＝kπ，k∈Z，∴ω＝3k－1，k∈Z，排除A、C；又f(x)在上递减，把ω＝2，ω＝5代入验证，可知ω＝2.答案　B
5.解析　由于f(x)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f(x)＝Asin(2x＋φ)，又当x＝时，2x＋φ＝＋φ＝2kπ－(k∈Z)，∴φ＝2kπ－(k∈Z)，又φ>0，∴φmin＝，故f(x)＝Asin(2x＋).于是f(0)＝A，f(2)＝Asin(4＋)，f(－2)＝Asin＝Asin，又∵－<－4<4－<<，其中f(2)＝Asin＝Asin＝Asin，f(－2)＝Asin＝Asin＝Asin.
又f(x)在单调递增，∴f(2)<f(－2)<f(0)，故选A.
二、填空题
6.解析　f(x)＝sing(x)＝sin＝sin，
关于y轴对称，即函数g(x)为偶函数，则－2φ＝kπ＋，∴φ＝－π－(k∈Z)，
显然，k＝－1时，φ有最小正值－＝.答案　
7. 解析　观察图象可知，A＝1，T＝π，∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ).将代入上式得sin＝0，由已知得φ＝，故f(x)＝sin.函数图象的对称轴为x＝＝.又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，∴f(x1＋x2)＝f＝f＝sin＝.答案　
8.解析　由f(x)在上具有单调性，得≥－，即T≥；因为f＝f，所以f(x)的一条对称轴为x＝＝；又因为f＝－f，所以f(x)的一个对称中心的横坐标为＝.所以T＝－＝，即T＝π.
9.解　(1)因为f(x)＝sin x－(1－cos x)＝sin－，所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为－π≤x≤0，所以－≤x＋≤.当x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值.
所以f(x)在区间[－π，0]上的最小值为f＝－1－.
10.解　(1)由题意，得·π＝2π2.所以ω＝1.又A＝2g＝2tan π＝2tan ＝2，所以f(x)＝2sin.
令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z).
故f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)因为h(x)＝f2(x)＋2cos2x＝×4×sin2＋2cos2x＝3(sin x＋cos x)2＋2cos2x
＝3＋3sin 2x＋(cos 2x＋1)＝3＋＋2sin，
又h(x)有最小值为3，所以有3＋＋2sin＝3，即sin＝－.
因为x∈，所以2x＋∈，所以2a＋＝－，即a＝－.
11.解　法一　(1)将g(x)＝cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y＝2cos x的图象，再将y＝2cos x的图象向右平移个单位长度后得到y＝2cos的图象，故f(x)＝2sin x.
从而函数f(x)＝2sin x图象的对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z).
(2)①f(x)＋g(x)＝2sin x＋cos x＝＝sin(x＋φ).
依题意，sin(x＋φ)＝在[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当＜1，故m的取值范围是(－，).
②因为α，β是方程sin(x＋φ)＝m在[0，2π)内的两个不同的解.所以sin(α＋φ)＝，sin(β＋φ)＝.
当1≤m＜时，α＋β＝2，即α－β＝π－2(β＋φ)；当－＜m＜1时，α＋β＝2，
即α－β＝3π－2(β＋φ).所以cos(α－β)＝－cos 2(β＋φ)＝2sin2(β＋φ)－1
＝2－1＝－1.
法二　(1)同法一. (2)①同法一.
②因为α，β是方程sin(x＋φ)＝m在[0，2π)内的两个不同的解.所以sin(α＋φ)＝，sin