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专题二 其次讲
一、选择题
1．若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的外形是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
[答案] B
[解析] ∵sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，sin(A＋B)＝sinC≠0，∴sin(A－B)＝sin(A＋B)，∴cosAsinB＝0，
∵sinB≠0，∴cosA＝0，∴A为直角．
2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为( )
A. B.
C.或 D.或
[答案] D
[解析] 由(a2＋c2－b2)tanB＝ac得，·tanB＝，再由余弦定理cosB＝得，2cosB·tanB＝，即sinB＝，∴角B的值为或，故应选D.
3．(文)在△ABC中，已知b·cosC＋c·cosB＝3a·cosB，其中a、b、c分别为角A、B、C的对边，则cosB的值为( )
A. B．－
C. D．－
[答案] A
[解析] 由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，
∴sin(B＋C)＝3sinAcosB，
∴sinA＝3sinAcosB，
∵sinA≠0，∴cosB＝.
(理)(2021·东北三省四市联考)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值是( )
A．－ B.
C. D．－
[答案] B
[解析] 由tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，所以A＋B＝，则C＝，cosC＝，故选B.
4．设tanα、tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
[答案] A
[解析] 本题考查了根与系数的关系与两角和的正切公式．
由已知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，
所以tan(α＋β)＝＝＝－3.故选A.
[点评] 运用根与系数的关系，利用整体代换的思想使问题求解变得简洁．
5．(2022·哈三中二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且a2－c2＝2b，＝3，则b等于( )
A．3 B．4
C．6 D．7
[答案] B
[解析] ∵＝3，∴sinAcosC＝3sinCcosA，
∴sinB＝sin(A＋C)＝4sinCcosA，∴b＝4c·，
∴b2＝2(a2－c2)＝4b，∵b>0，∴b＝4.
6．(文)函数y＝cos(x＋)＋sin(－x)具有性质( )
A．最大值为1，图象关于点(，0)对称
B．最大值为，图象关于点(，0)对称
C．最大值为1，图象关于直线x＝对称
D．最大值为，图象关于直线x＝对称
[答案] B
[解析] y＝－sinx＋cosx－sinx
＝－(sinx－cosx)＝－sin(x－)，
∴最大值为，图象关于点(，0)对称．
(理)给出下列四个命题：
①f(x)＝sin(2x－)的对称轴为x＝＋，k∈Z；
②函数f(x)＝sinx＋cosx最大值为2；
③函数f(x)＝sinxcosx－1的周期为2π；
④函数f(x)＝sin(x＋)在[－，]上是增函数．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] ①由2x－＝kπ＋，k∈Z，
得x＝＋(k∈Z)，
即f(x)＝sin(2x－)的对称轴为x＝＋，k∈Z，正确；
②由f(x)＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)知，
函数的最大值为2，正确；
③f(x)＝sinxcosx－1＝sin2x－1，函数的周期为π，故③错误；
④函数f(x)＝sin(x＋)的图象是由f(x)＝sinx的图象向左平移个单位得到的，故④错误．
二、填空题
7．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．
[答案] 15
[解析] 设三角形的三边长分别为a－4，a，a＋4，最大角为θ，由余弦定理得(a＋4)2＝a2＋(a－4)2－2a(a－4)·cos120°，则a＝10，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为S＝×6×10×sin120°＝15.
8．(文)(2022·新课标Ⅱ理，14)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________．
[答案] 1
[解析] ∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)·cosφ＋cos(x＋φ)·sinφ－2sinφcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)·cosφ－cos(x＋φ)·sinφ
＝sinx≤1.
∴最大值为1.
(理)(2022·天津理，12)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．
[答案] －
[解析] ∵2sinB＝3sinC，∴2b＝3c，
又∵b－c＝a，
∴b＝a，c＝a，
∴cosA＝＝＝－.
9．在△ABC中，(－3)⊥，则角A的最大值为________．
[答案]
[解析] 由已知可得(－3)·＝0，·＝3·，由数量积公式可得accosB＝3abcos(π－C)＝－3abcosC，可化为ccosB＝－3bcosC，
由正弦定理可得sinCcosB＝－3sinBcosC，
化简得sinA＝－2sinBcosC，可得cosC<0，角C为钝角，角A为锐角，又sinA＝sin(C－B)－sin(C＋B)，
即有sinA＝sin(C－B)≤，
综上，0<A≤，A的最大值为.
三、解答题
10．(文)(2022·山东文，17)△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c. 已知a＝3，cosA＝，B＝A＋.
(1)求b的值；
(2)求△ABC的面积．
[解析] (1)∵cosA＝.0<A<π.∴sinA＝.
又B＝A＋.∴sinB＝sin(A＋)＝cosA＝.
又a＝3.∴由正弦定理得．
＝
即＝
∴b＝3.
(2)∵cosB＝cos(A＋)＝－sinA＝－，
∴在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×(－)＋×＝
∴S△ABC＝absinC＝×3×3×＝.
(理)(2021·陕西理，16)已知向量a＝，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
[解析] f(x)＝a·b＝sinxcosx－cos2x
＝sin2x－cos2x
＝sin(2x－)
(1)f(x)的最小正周期为T＝＝π
(2)∵x∈[0，]，∴2x－∈[－，]，
∴sin(2x－)∈[－，1]
故当2x－＝即x＝时，f(x)max＝1
当2x－＝－即x＝0时，f(x)min＝－.
一、选择题
11．(2021·天津理，6)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 本题考查了余弦定理、正弦定理．
由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC·cos
＝2＋9－2××3×＝5，∴AC＝，
由正弦定理，＝，
∴sinA＝＝＝.
12．(文)(2022·东北三省三校二模)已知方程＝k在(0，＋∞)上有两个不同的解α、β(α<β)，则下列的四个命题正确的是( )
A．sin2α＝2αcos2α B．cos2α＝2αsin2α
C．sin2β＝－2βsin2β D．cos2β＝－2βsin2β
[答案] C
[解析] 令y＝|cosx|，y＝kx，在同一坐标系中画出它们的图象，如图所示．
∵α<β，∴0<α<，<β<π，检验可知，选C.
(理)(2022·新课标Ⅰ理，8)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tanα＝，则( )
A．3α－β＝ B．3α＋β＝
C．2α－β＝ D．2α＋β＝
[答案] C
[解析] 本题考查了诱导公式以及三角恒等变换．运用验证法．
解法1：当2α－β＝时，β＝2α－，
所以＝＝＝tanα.
解法2：∵tanα＝＝，
∴sin(α－β)＝cosα＝sin(－α)，
∵α、β∈(0，)，∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)，∴α－β＝－α，∴2α－β＝.
13．已知函数f(x)＝1＋cos2x－2sin2(x－)，其中x∈R，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)是最小正周期为π的偶函数
B．f(x)的一条对称轴是x＝
C．f(x)的最大值为2
D．将函数y＝sin2x的图象左移得到函数f(x)的图象
[答案] D
[解析] f(x)＝cos2x＋cos(2x－)
＝cos2x＋cos2x＋sin2x
＝sin(2x＋)，故选D.
14．(文)函数f(x)＝sin(x＋)＋asin(x－)的一条对称轴方程为x＝，则a＝( )
A．1 B.
C．2 D．3
[答案] B
[解析] 由题意得f(x)＝sin(x＋)＋asin[(x＋)－]＝sin(x＋)－acos(x＋)，若x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴，则由对称轴的意义可得f()＝cos＋asin＝，解得a＝.
(理)在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x、y的大小关系为( )
A．x≤y B．x<y
C．x>y D．x≥y
[答案] C
[解析] y－x＝cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)
＝cos(π－C)＝－cosC，
∵△ABC为锐角三角形，∴cosC>0，
∴y－x<0，∴y<x.
15．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，g(x)＝sinx－cosx，下列四个命题：
①将f(x)的图象向右平移个单位可得到g(x)的图象；
②y＝f(x)g(x)是偶函数；
③y＝是以π为周期的周期函数；
④对于∀x1∈R，∃x2∈R，使f(x1)>g(x2)．
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] ∵f(x)＝sinx＋cosx＝sin(x＋)，g(x)＝sinx－cosx＝sin(x－)，∴将f(x)的图象向右平移个单位，可以得到g(x)的图象，故①为真命题；又y＝f(x)·g(x)＝sin2x－cos2x＝－cos2x为偶函数，故②为真命题；y＝＝＝＝－tan(x＋)，故其最小正周期为π，∴③为真命题；取x1＝，则f(x1)＝sin(＋)＝－，∵∀x2∈R都有g(x2)≥－，∴不存在x2∈R，使f()>g(x2)，故选C.
二、填空题
16．(文)在△ABC中，sin2C＝sinAsinB＋sin2B，a＝2b，则角C＝________.
[答案]
[解析] 由正弦定理知c2＝ab＋b2，
所以cosC＝＝
＝＝＝，
又C∈(0，π)，所以C＝.
(理)(2022·福建理，12)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．
[答案] 2
[解析] 本题考查正弦定理及三角形的面积公式，由正弦定理得，＝，
∴sinB＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，
S＝×2×2＝2.
三、解答题
17．(文)(2021·浙江文，18)在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2asinB＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．
[解析] (1)由2asinB＝b及正弦定理＝，得sinA＝.
由于A是锐角，所以A＝.
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得
b2＋c2－bc＝36，即(b＋c)2－3bc＝36.
又b＋c＝8，所以
bc＝.
由三角形面积公式S＝bcsinA，得
△ABC的面积为.
(理)(2021·北京理，15)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.
(1)求cos A的值；
(2)求c的值．
[解析] (1)由于a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，
所以在△ABC中，由正弦定理得＝，
所以＝，故cosA＝.
(2)由(1)知cosA＝，
所以sinA＝＝.
又由于∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝.
所以sinB＝＝，
在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)
＝sinAcosB＋cosAsinB＝.
所以c＝＝5.
18．(文)(2022·唐山市一模)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且4bsinA＝a.
(1)求sinB的值；
(2)若a，b，c成等差数列，且公差大于0，求cosA－cosC的值．
[解析] (1)由4bsinA＝a，依据正弦定理得4sinBsinA＝sinA，
所以sinB＝.
(2)由已知得2b＝a＋c，
由正弦定理以及(1)得，
sinA＋sinC＝.①
设cosA－cosC＝x，②
①2＋②2，得2－2cos(A＋C)＝＋x2.③
又由条件知a＜b＜c，∴A＜B＜C，所以0°＜B＜90°，cosA＞cosC，
故cos(A＋C)＝－cosB＝－，且x>0.
代入③式得x2＝.
因此cosA－cosC＝.
(理)已知△ABC中，a，b, c分别为角A，B，C的对边，a2＋b2<c2，且sin(2C－) ＝.
(1)求角C的大小；
(2)求 的取值范围．
[解析] (1)∵a2＋b2<c2，∴cosC＝<0，
∴<C<π，故π<2C<2π，
由sin(2C－)＝，得cos2C＝－，
∴2C＝，即C＝；
(2)＝＝
＝＝sin(A＋)，
由C＝，知0<A<，故<A＋<，
∴<sin(A＋)≤1，
∴·<≤，即1<≤.
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