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专题二 第三讲
一、选择题
1．(2022·新课标Ⅱ理，3)设向量a、b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．5
[答案] A
[解析] 本题考查平面对量的模，平面对量的数量积．
∵|a＋b|＝，|a－b|＝，∴a2＋b2＋2ab＝10，a2＋b2－2ab＝6.
联立方程解得ab＝1，故选A.
2．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( )
A. B.
C．2 D．10
[答案] B
[解析] 本题考查向量的模及垂直问题．
∵a⊥b，∴a·b＝0，∴x－2＝0，∴x＝2，
∴a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝.
3．(2022·福建理，8)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
[答案] B
[解析] 一个平面内任意不共线的两个向量都可以作为平面的基底，它能表示出平面内的其它向量．A中，e1＝0，且e2与a不共线；C、D中的两个向量都是共线向量且不与a共线，故表示不出a.B中的两个向量不共线，可以作为平面的一组基底，故可表示出a，
4．(文)假如不共线向量a、b满足2|a|＝|b|，那么向量2a＋b与2a－b的夹角为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] ∵(2a＋b)·(2a－b)＝4|a|2－|b|2＝0，
∴(2a＋b)⊥(2a－b)，∴选C.
(理)若两个非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 解法1：由条件可知，a·b＝0，|b|＝|a|，则cosθ＝＝－⇒θ＝.
解法2：由向量运算的几何意义，作图可求得a＋b与a－b的夹角为.
5．(2022·新课标Ⅰ文，6)设D，E，F分别为△ABC的三边BC、CA、AB的中点，则＋＝( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 如图，
＋
＝－(＋)－(＋)
＝－(＋)＝(＋)
＝.
选A.
6．若a、b、c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( )
A.－1 B．1
C. D．2
[答案] B
[解析] |a＋b－c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a·c＋b·c)
(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋|c|2
＝1－(a·c＋b·c)≤0，
∴|a＋b－c|2≤1，∴|a＋b－c|max＝1.
二、填空题
7．(文)(2022·湖北文，12)若向量＝(1，－3)，||＝||，·＝0，则||＝________.
[答案] 2
[解析] ||＝||，·＝0⇒△AOB是直角边为||＝的等腰直角三角形，AB是斜边，所以||＝2.解向量试题有代数和几何两种思路，若能利用向量的几何意义，则可以避开简洁的代数运算．
(理)(2022·江西理，14)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.
[答案]
[解析] 本题考查平面对量数量积的性质及运算．
依题意e1·e2＝|e1||e2|cosα＝，∴|a|2＝9e－12e1·e2＋4e＝9，∴|a|＝3，
|b|2＝9e－6e1·e2＋e＝8，a·b＝9e－9e1·e2＋2e＝8，∴|b|＝2，
cosβ＝＝＝.
8．(2021·重庆文，14)若OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3,1)，＝(－2，k)，则实数k＝________.
[答案] 4
[解析] 本题考查向量的数量积及坐标运算．
∵＝(－3,1)，＝(－2，k)，∴＝－＝(1，k－1)．
由题意知⊥，∴·＝0即(－3,1)·(1，k－1)＝0.
∴－3＋k－1＝0，∴k＝4.
9．已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则
(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为________；
(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为________．
[答案] (1)(，) (2)－
[解析] 本题主要考查了向量的坐标运算，单位向量及夹角的求法．(1)2a＋b＝2(1,0)＋(1,1)＝(3,1)，其单位向量为(，)，
(2)∵b－3a＝(－2,1)，|a|＝1，|b－3a|＝，a·(b－3a)＝－2，∴cos〈a，b－3a〉＝＝－.
10．如图所示，A、B、C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．
[答案] (－1,0)
[解析] 依据题意知，线段CO的延长线与线段BA的延长线的交点为D，则＝t.
∵D在圆外，∴t<－1，
又D、A、B共线，∴存在λ、μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1，又由已知，＝m＋n，
∴tm＋tn＝λ＋μ，
∴m＋n＝，故m＋n∈(－1,0).
一、选择题
11．设向量a，b满足|a|＝2，a·b＝，|a＋b|＝2，则|b|等于( )
A. B．1
C. D．2
[答案] B
[解析] ∵|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋3＋|b|2＝8，∴|b|＝1.
12．(文)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若＋2＝3，则的值为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 如图，设＝2，作▱OAED，则＝3，
∴||＝||＝2||，∴＝.
(理)(2022·新课标Ⅰ理，10)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝( )
A. B.
C．3 D．2
[答案] C
[解析] 抛物线的焦点坐标是F(2,0)，过点Q作抛物线的准线的垂线，垂足是A，则|QA|＝|QF|，抛物线的准线与x轴的交点为G，由于＝4，∴＝，由于三角形QAP与三角形FGP相像，所以可得＝＝，所以|QA|＝3，所以|QF|＝3.
13．(文)(2022·中原名校其次次联考)在三角形ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于D，AB＝4，＝＋λ(λ∈R)，则AD的长为( )
A．1 B.
C．3 D．3
[答案] D
[解析] 在AC上取E点，在AB上取F点，使＝，＝λ，
∵＝＋λ＝＋，
∴DE∥AB，DF∥AC，∴＝＝＝3，∵AF＋BF＝AB＝4，∴BF＝1，AF＝3，在△ADF中，AF＝3，DF＝3，∠DFA＝120°，∴AD＝3.
(理)(2022·湖南文，10)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的取值范围是( )
A．[4,6] B．[－1，＋1]
C．[2，2] D．[－1，＋1]
[答案] D
[解析] 考查了向量的坐标运算，圆的有关学问．
设D(x，y)，则由||＝1，得(x－3)2＋y2＝1，
而|＋＋|＝表示点D(x，y)到点(1，－)的距离，(x－3)2＋y2＝1表示以(3,0)为圆心，1为半径的圆，点(1，－)与点(3,0)的距离为，∴|＋＋|的取值范围为[－1，＋1]．
14．(2022·浙江理，8)记max{x，y}＝，min{x，y}＝，设a，b为平面对量，则( )
A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}
B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}
C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2
D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
[答案] D
[解析] 由新定义知，max{x，y}是x与y中的较大值，min{x，y}是x，y中的较小值，据此可知A、B是比较|a＋b|与|a－b|中的较小值与|a|与|b|中的较小值的大小，由平行四边形法则知其大小与〈a，b〉有关，故A、B错；
当〈a，b〉为锐角时，|a＋b|>|a－b|，此时|a＋b|2>|a|2＋|b|2.
当〈a，b〉为钝角时，|a＋b|<|a－b|，此时|a＋b|2<|a|2＋|b|2<|a－b|2.
当〈a，b〉＝90°时，|a＋b|＝|a－b|，此时|a＋b|2＝|a|2＋|b|2.
故选D.
二、填空题
15．(2022·山东理，12)在△ABC中，已知·＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为________.
[答案]
[解析] ·＝||||cos＝tan
∴||||＝
S△ABC＝||||sin＝××＝.
16．(文)(2021·苏北四市一调)如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝b，若＝2，则＝________(用向量a和b表示)．
[答案] a＋b
[解析] 据题意可得＝＋＝＋＝a＋b，又由＝2，可得＝＝(a＋b)＝a＋b
(理)(2021·南昌高三调研)已知O为坐标原点，点M(3,2)，若N(x，y)满足不等式组则·的最大值为________．
[答案] 12
[解析] 据不等式组得可行域如图所示：
由于z＝·＝3x＋2y，结合图形进行平移可得点A(4,0)为目标函数取得最大值的最优解．即zmax＝3×4＋2×0＝12.
三、解答题
17．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝(，－1)．
(1)若a⊥b，求θ的值；
(2)若|2a－b|<m恒成立，求实数m的取值范围．
[解析] (1)∵a⊥b，
∴cosθ－sinθ＝0，得tanθ＝.
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)∵2a－b＝(2cosθ－，2sinθ＋1)，
∴|2a－b|2＝(2cosθ－)2＋(2sinθ＋1)2
＝8＋8(sinθ－cosθ)＝8＋8sin(θ－)．
又θ∈[0，π]，∴θ－∈[－，]，
∴sin(θ－)∈[－，1]，
∴|2a－b|2的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为4.
又|2a－b|<m恒成立，∴m>4.
18．在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c.
(1)设向量x＝(sinB，sinC)，向量y＝(cosB，cosC)，向量z＝(cosB，－cosC)，若z∥(x＋y)，求tanB＋tanC的值；
(2)若sinAcosC＋3cosAsinC＝0，证明：a2－c2＝2b2.
[解析] (1)x＋y＝(sinB＋cosB，sinC＋cosC)，
∵z∥(x＋y)，
∴cosB(sinC＋cosC)＋cosC(sinB＋cosB)＝0，
整理得tanC＋tanB＋2＝0，
∴tanC＋tanB＝－2.
(2)证明：∵sinAcosC＋3cosAsinC＝0，
∴由正、余弦定理得：a·＋3××c＝0，
∴a2－c2＝2b2.
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