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专题二 第一讲
一、选择题
1．(2021·北京海淀期中)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(，π)上为减函数的是( )
A．y＝sin2x B．y＝2|cosx|
C．y＝cos D．y＝tan(－x)
[答案] D
[解析] 逐个推断，用排解法．y＝cos的最小正周期为4π，故C排解；函数y＝sin2x在区间(，π)上不具有单调性，故A排解；函数y＝2|cosx|在区间(，π)上是增函数，故B排解；D正确．
2．假如sinα＝，那么sin(α＋)－cosα等于( )
A. B．－
C. D．－
[答案] A
[解析] sin(α＋)－cosα
＝sinαcos＋cosαsin－cosα＝×＝.
3．(文)(2022·唐山市二模)已知sinα＋cosα＝，则tanα＝( )
A. B.
C．－ D．－
[答案] A
[解析] ∵sinα＋cosα＝，
∴sin2α＋2sinαcosα＋2cos2α＝3，
∴＝3，
∴＝3，∴2tan2α－2tanα＋1＝0，∴tanα＝.
(理)(2021·浙江理，6)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝( )
A. B.
C．－ D．－
[答案] C
[解析] 本题考查三角函数同角间的基本关系．
将sinα＋2cosα＝两边平方可得，
sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝，
∴4sinαcosα＋3cos2α＝.
将左边分子分母同除以cos2α得，
＝，解得tanα＝3或tanα＝－，
∴tan2α＝＝－.
4．(文)(2022·浙江理，4)为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像，可以将函数y＝sin3x的图像( )
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
[答案] D
[解析] 本题考查三角函数图象变换．y＝sin3x＋cos3x＝sin(3x＋)，只需将函数y＝sin3x的图象向左平移个单位，选D.
(理)(2022·福建文，7)将函数y＝sinx的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A．y＝f(x)是奇函数
B．y＝f(x)的周期为π
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
D．y＝f(x)的图象关于点(－，0)对称
[答案] D
[解析] 本题考查了正弦函数图象平移变换、余弦函数图象性质．
平移后图象对应函数为y＝sin(x＋)，即y＝cosx，则由y＝cosx图象性质知D正确．
5．(2022·新乡、许昌、平顶山调研)已知函数f(x)＝cosxsin2x，下列结论中错误的是( )
A．f(x)既是偶函数又是周期函数
B．f(x)最大值是1
C．f(x)的图像关于点(，0)对称
D．f(x)的图像关于直线x＝π对称
[答案] B
[解析] f(－x)＝cos(－x)sin2(－x)＝cosxsin2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数．f(x＋2π)＝cos(x＋2π)sin2(x＋2π)＝cosxsin2x，∴2π是f(x)一个周期，故A选项正确．f(x)＝cosxsin2x＝－cos3x＋cosx，令t＝cosx则t∈[－1,1]，g(t)＝－t3＋t，g′(t)＝－3t2＋1
令g′(t)＝0，则t＝±，易知f(x)在区间[－1，－)上单调递减，在(－，)上单调递增，在(，1]上单调递减，g(－1)＝0，g()＝，
∴g(t)max＝≠1，故B项错误．
6．(文)(2021·天津文，6)函数f(x)＝sin(2x－)在区间[0，]上的最小值为( )
A．－1 B．－
C. D．0
[答案] B
[解析] 本题考查正弦型函数的最值.
令t＝2x－，由于x∈[0，]，所以t∈[－，]，f(x)＝sin(2x－)变为y＝sint，由正弦函数的图象可知，当t＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值为－.
(理)用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的简图时，若所得五个点的横坐标从小到大依次为x1、x2、x3、x4、x5且x1＋x5＝，则x2＋x4( )
A. B．π
C. D．2π
[答案] C
[解析] 由函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象性质可知x1、x5关于x3对称，x2、x4也关于x3对称，∴x2＋x4＝x1＋x5＝，故选C.
二、填空题
7．(2022·陕西文，13)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(1，－cosθ)，若a·b＝0，则tanθ＝________.
[答案]
[解析] 本题考查向量垂直、向量坐标运算等．
∵a·b＝0，∴sin2θ－cos2θ，即cosθ(2sinθ－cosθ)＝0.
又0<θ<，
∴cosθ≠0，∴2sinθ＝cosθ，∴tanθ＝.
8．(2021·宝鸡二模)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则f(x)＝________.
[答案] sin(x＋)
[解析] 由题意得A＝，函数的周期为T＝16，
又T＝⇒ω＝，此时f(x)＝sin(x＋φ)，
又f(2)＝，即sin(×2＋φ)＝sin(＋φ)＝1，
解得＋φ＝2kπ＋⇒φ＝2kπ＋，k∈Z，
又|φ|<，所以φ＝.
所以函数的解析式为f(x)＝sin(x＋)．
9．假如两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数．给出下列四个函数：
①f(x)＝sinx＋cosx; ②f(x)＝(sinx＋cosx)；
③f(x)＝sinx; ④f(x)＝sinx＋.
其中为“互为生成”函数的是________(填序号)．
[答案] ①④
[解析] 首先化简题中的四个解析式可得：①f(x)＝sin(x＋)，②f(x)＝2sin(x＋)，③f(x)＝sinx，④f(x)＝sinx＋，可知③f(x)＝sinx的图象要与其他的函数图象重合，单纯经过平移不能完成，必需经过伸缩变换才能实现，所以③f(x)＝sinx不能与其他函数成为“互为生成”函数，同理①f(x)＝sin(x＋)的图象与②f(x)＝2sin(x＋)的图象也必需经过伸缩变换才能重合，而④f(x)＝sinx＋的图象向左平移个单位，再向下平移个单位即可得到①f(x)＝sin(x＋)的图象，所以①④为“互为生成”函数．
三、解答题
10．(文)(2021·北京文，15)已知函数f(x)＝(2cos2 x－1)sin2x＋cos 4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈，且f(α)＝，求a的值．
[解析] (1)由于f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x
＝cos2xsin2x＋cos4x
＝(sin4x＋cos4x)
＝sin(4x＋)
所以f(x)的最小正周期为，最大值为.
(2)由于f(α)＝，所以sin(4α＋)＝1.
由于α∈(，π)，
所以4α＋∈(，)，
所以4α＋＝，故α＝.
(理)(2022·甘肃三诊)已知f(x)＝sinωx－2sin2(ω>0)的最小正周期为3π.
(1)当x∈[，]时，求函数f(x)的最小值；
(2)在△ABC中，若f(C)＝1，且2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，求sinA的值．
[解析] ∵f(x)＝sin(ωx)－2·
＝sin(ωx)＋cos(ωx)－1＝2sin(ωx＋)－1，
由＝3π得ω＝，∴f(x)＝2sin(x＋)－1.
(1)由≤x≤得≤x＋≤，
∴当sin(x＋)＝时，f(x)min＝2×－1＝－1.
(2)由f(C)＝2sin(C＋)－1及f(C)＝1，得
sin(C＋)＝1，
而≤C＋≤， 所以C＋＝，解得C＝.
在Rt△ABC中，∵A＋B＝，
2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，
∴2cos2A－sinA－sinA＝0，
∴sin2A＋sinA－1＝0，解得sinA＝.
∵0<sinA<1，∴sinA＝.
一、选择题
11．若f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋m，对任意实数t都有f(＋t)＝f(－t)，且f()＝－3，则实数m的值等于( )
A．－1 B．±5
C．－5或－1 D．5或1
[答案] C
[解析] 依题意得，函数f(x)的图象关于直线x＝对称，于是x＝时，函数f(x)取得最值，因此有±2＋m＝－3，∴m＝－5或m＝－1，选C.
12．(2021·浙江文，6)函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x的最小正周期和振幅分别是( )
A．π，1 B．π，2
C．2π，1 D．2π，2
[答案] A
[解析] 本题考查了挂念角公式、倍角公式和正弦型函数的性质．
f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)，周期T＝π，振幅为1，故选A.
13．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象关于直线x＝对称，它的最小正周期为π，则函数f(x)图象的一个对称中心是( )
A．(，1) B．(，0)
C．(，0) D．(－，0)
[答案] B
[解析] 由题意知T＝π，∴ω＝2，
由函数图象关于直线x＝对称，得2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)．
又|φ|<，∴φ＝－，
∴f(x)＝Asin(2x－)，
令2x－＝kπ(k∈Z)，则x＝＋π(k∈Z)．
∴一个对称中心为(，0)，故选B.
14.(2021·广东佛山二模)如图所示为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象，其中A、B两点之间的距离为5，那么f(－1)等于( )
A．2 B.
C．－ D．－2
[答案] A
[解析] 设函数f(x)的最小正周期为T，由于A，B两点之间的距离为5，所以＝5，解得T＝6.所以ω＝＝.又图象过点(0,1)，代入得2sinφ＝1，所以φ＝2kπ＋或φ＝2kπ＋(k∈Z)．又0≤φ≤π，所以φ＝或φ＝.故f(x)＝2sin(x＋)或f(x)＝2sin(x＋)．对于函数f(x)＝2sin(x＋)，当x略微大于0时，有f(x)>2sin＝1，与图象不符，故舍去；综上，f(x)＝2sin(x＋)．
故f(－1)＝2sin(－＋)＝2.故选A.
二、填空题
15．(2021·新课标Ⅱ文，16)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin(2x＋)的图象重合，则φ＝________.
[答案]
[解析] 本题考查三角函数的平移变换
y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位得，
y＝cos[2(x－)＋φ]＝cos(2x－π＋φ)＝sin(2x－π＋φ＋)＝sin(2x＋φ－)，而它与函数y＝sin(2x＋)的图象重合，令2x＋φ－＝2x＋得，φ＝，符合题意．
16．(2021·合肥第一次质检)定义一种运算：(a1，a2)⊗(a3，a4)＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝(，2sinx)⊗(cosx，cos2x)的图象向左平移n(n>0)个单位长度所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为________．
[答案]
[解析] f(x)＝cos2x－2sinxcosx＝cos2x－sin2x＝2cos(2x＋)，将f(x)的图象向左平移n个单位长度对应的函数解析式为f(x)＝2cos[2(x＋n)＋]＝2cos(2x＋2n＋)，要使它为偶函数，则需要2n＋＝kπ(k∈Z)，所以n＝－(k∈Z)，由于n>0，所以当k＝1时，n有最小值.
三、解答题
17．(文)已知向量m＝(sin2x＋，sinx)，n＝(cos2x－sin2x,2sinx)，设函数f(x)＝m·n，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若x∈[0，]，求函数f(x)的值域．
[解析] (1)∵cos2x＝2cos2x－1，
∴m＝(sin2x＋，sinx)＝(1，sinx)，
f(x)＝m·n＝cos2x－sin2x＋2sin2x＝1－cos2x－sin2x＝1－sin(2x＋)．
∴其最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝1－sin(2x＋)，
∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]，
∴sin(2x＋)∈[－，1]．
∴函数f(x)的值域为[0，]．
(理)(2022·中原名校其次次联考)已知函数f(x)＝sinx·cos(x－)＋cos2x－.
(1)求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值x时的取值集合；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝，b＋c＝3.求a的最小值．
[解析] (1)f(x)＝sinx(cosx＋sinx)＋cos2x－＝sinxcosx＋cos2x
＝(sin2x＋cos2x)＋＝sin(2x＋)＋.
∴函数f(x)的最大值为.当f(x)取最大值时sin(2x＋)＝1，
∴2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，解得x＝kπ＋，k∈Z.
故x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
(2)由题意f(A)＝sin(2A＋)＋＝，化简得sin(2A＋)＝.
∵A∈(0，π)，∴2A＋∈(，)，∴2A＋＝，∴A＝.
在△ABC中，依据余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos＝(b＋c)2－3bc.
由b＋c＝3，知bc≤()2＝，即a2≥.
∴当b＝c＝时，a取最小值.
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