北师大版中考数学全真模拟试题含答案(二).docx

小刘老师亲笔
初三年级学业水平考试数学全真模拟试卷
5.一组数据：10，5，15，5，20，则这组数据的平均数和中位数分别是( )
A.10，10 B.10，12.5 C.11，12.5 D.11，10
第Ⅰ卷（选择题 共 45分）
一、选择题（本大题共 15个小题，每小题 3分，共 45分.在每小题所给的四个选项 6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )
中，只有一项是符合题目要求的.）
1.|-2 014|等于( )
A.-2 014 B.2 014 C.±2 014
2.下面的计算正确的是( )
D.2 014
7.下面四条直线 ,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程 x-2y＝2 的解的是
( )
A.6a－5a＝1
B.a＋2a＝3a3
2
C.－(a－b)＝-a＋b
D.2(a＋b)＝2a＋b
3.实数 a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是
( )
1 1
8.对于非零的两个实数 a，b，规定 a b= - ，若 2 (2x-1)=1，则 x的值为( )
b a
a c
5
6
B.5
4
3
2
1
6
A.a-c>b-c
B.a+c<b+c C.ac>bc
D. <
A.
C.
D.-
b b
（x - y + 3）+ 2x + y = 0，
4.在围棋盒中有 x颗白色棋子和 y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色 9.已知
则 x+y的值为( )
2
2
5
1
A.0
B.-1
C.1
D.5
，
，
如果再往盒中放进 3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为 则原
棋子的概率是
4
来盒里有白色棋子( )
A.1颗 B.2颗
C.3颗
D.4颗

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10. 如图，已知⊙O的两条弦 AC、BD相交于点 E，∠A＝70°，∠C＝50°，
那么 sin∠AEB的值为( )
13.NBA 整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是 83.3%，下列说法错误的是
( )
A.科比罚球投篮 2次，一定全部命中
B.科比罚球投篮 2次，不一定全部命中
C.科比罚球投篮 1次，命中的可能性较大
D.科比罚球投篮 1次，不命中的可能性较小
3
3
A.
C.
B.
2
3
2
D.1
2
2
11.如图，点 E在正方形 ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积 14.一个圆锥的左视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于( )
是( )
A.60°
B.90°
C.120°
D.180°
15.如图，在正方形 ABCD中，AB=3 cm，动点 M自 A点出发沿 AB方向以每秒 1 cm的
速度向 B点运动，同时动点 N自 A点出发沿折线 AD—DC—CB以每秒 3cm的速度运动，
A.48
B.60
C.76
D.80
12.如图，点 D为 y轴上任意一点，过点 A(-6，4)作 AB垂直于 x轴
到达 B点时运动同时停止.设△AMN的面积为 y（cm），运动时间为 x（s），则下列图
2
-6
象中能大致反映 y与 x之间的函数关系的是
交 x轴于点 B，交双曲线y = 于点 C,则△ADC的面积为( )
x
A.9
B.10
C.12
D.15

小刘老师亲笔
第Ⅱ卷(非选择题 共 75 分）
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分.把答案填在题中的横线上.） 三、解答题（本大题共 7 个小题，共 57 分.解答应写出文字说明、证明过程及演算
16. a -1 + 3+ b = 0，则a - b
=___________.
步骤.）
17.命题“相等的角是对顶角”是____命题（填“真”或“假”）．
18.某班组织 20 名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有 8 个座位，
另一种车每辆有 4 个座位．要求租用的车辆不留空座，也不能超载．有______种租车
方案．
22.（本小题满分 7 分）
x + 3y = -1,
（1）解方程组:ì
í
3x - 2y = 8.
î
19.如图，从点A(0,2)发出的一束光，经x 轴反射，过点B(5,3)，则这束光从点A 到
点 B 所经过的路径的长为______.
2x + 3 >1
（2）解不等式组ì
并把解集在数轴上表示出来.
2 - x ³ 0，
í
î
20.若圆锥的母线长为 5 cm，底面半径为 3 cm，则它的侧面展开图的面积为________cm2
（结果保留π）.
23.（本小题满分 7 分）
21.如图，点 B，C，E，F 在一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=
72°，则∠D=______度．
（1）如图，在△ABC 中，BE 是它的角平分线，∠C＝90°，D 在 AB 边上，以 DB 为直
径的半圆 O 经过点 E.
求证：AC 是⊙O 的切线；

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(2)已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是 BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边
形．
求证：平行四边形 ADBE是矩形.
25.（本小题满分 8分）
自实施新教育改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解
所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分同学进行了为期半个月的
跟踪调查，并将调查结果分为四类：A.特别好；B.好；C.一般；D.较差，并将调查结
果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，张老师一共调查了多少名同学？
（2）求出调查中 C类女生及 D类男生的人数，将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，张老师想从被调查的 A类和 D类学生中分别选取一位同学进行
“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男
同学和一位女同学的概率.
24.（本小题满分 8分）
一项工程，甲、乙两公司合作，12天可以完成，共需付施工费 102 000元；如果甲、
乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的 1.5倍，乙公司每天的施工
费比甲公司每天的施工费少 1 500元.
（1）甲、乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？

小刘老师亲笔
27.（本小题满分 9 分，附加题）
1
26.（本小题满分 9 分）
＋1
已知如图，一次函数y = x 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，二次函数
2
如图 1，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P 为线段 BC 上的
一动点，且和 B、C 不重合，连接 PA，过 P 作 PE⊥PA 交 CD 所在直线于 E．设 BP=x，
CE=y．
1
1
y = x ＋bx＋c的图象与一次函数y = x＋1的图象交于 B、C 两点，与 x 轴交于 D、E
2
2
2
两点，且 D 点坐标为(1,0).
（1）求 y 与 x 的函数关系式；
（1）求二次函数的解析式.
（2）若点 P 在线段 BC 上运动时，点 E 总在线段 CD 上，求 m 的取值范围；
（3）如图 2，若 m=4，将△PEC 沿 PE 翻折至△PEG 位置，∠BAG=90°，求 BP 长．
（2）在 x 轴上有一动点 P，从 O 点出发以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向右运动，是
否存在点 P，使得△PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点 P 运动的
时间 t 的值；若不存在，请说明理由.
（3）若动点P 在 x 轴上，动点Q 在射线 AC 上，同时从A 点出发，点P 沿 x 轴正方向
以每秒 2 个单位的速度运动，点 Q 以每秒 a 个单位的速度沿射线 AC 运动，是否存在
以 A、P、Q 为顶点的三角形与△ABD 相似，若存在，求a 的值；若不存在，说明理由.

小刘老师亲笔
28.（本小题满分 9 分附加题）
2
（4， ）
，且与y 轴交于点 C（0，
如图，已知抛物线y=ax +bx+c（a≠0）的顶点坐标为
2
3
2），与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边）．
（1）求抛物线的解析式及 A，B 两点的坐标.
（2）在（1）中抛物线的对称轴 l上是否存在一点 P，使 AP+CP 的值最小？若存在，
求 AP+CP 的最小值，若不存在，请说明理由.
（3）以 AB 为直径的⊙M 与 CD 相切于点 E，CE 交 x 轴于点 D，求直线 CE 的解析式．

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参考答案
∴∠ABE=∠CBE.
∵OE=OB，∴∠ABE=∠OEB，
1.B 2.C 3.B 4.B 5.D 6.D 7.C 8.A 9.C 10.A
11.C 12.A 13.A 14.D 15.C
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
16.4 17.假 18.2 19.5 2 20.15π 21.36
x + 3y = -1，①
3x - 2y = 8，②
ì
∴∠OEC=∠C=90°，
22.(1)解：
í
î
∴AC是⊙O的切线.
①×3-②，得 11y=-11,
解得：y=-1,
(2)证明：∵AB=AC，AD是 BC的边上的中线，
∴AD⊥BC，
把 y=-1代入②，得：3x+2=8,
∴∠ADB=90°.
解得 x=2.
∵四边形 ADBE是平行四边形,
x = 2，
∴方程组的解为ì
í
î
∴平行四边形 ADBE是矩形.
y = -1.
2x + 3 >1，①
2 - x ³ 0， ②
ì
24.解：（1）设甲公司单独完成此项工程需 x天，则乙公司单独完成此项工程需 1.5x
天.
(2)解：
í
î
由①得：x>-1;
1 1
根据题意，得： +
x 1.5x 12
1
=
，
由②得：x≤2.
解得：x=20，
不等式组的解集为：-1<x≤2,
在数轴上表示为：
经检验，知 x=20是方程的解且符合题意.
1.5x=30，
故甲、乙两公司单独完成此项工程，各需 20天、30天.
（2）设甲公司每天的施工费为 y元，则乙公司每天的施工费为
（y-1 500）元.
23.（1）证明：连接 OE.
∵BE是∠CBA的角平分线，

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根据题意得：12（y+y-1 500）=102 000，解得：y=5 000，
甲公司单独完成此项工程所需的施工费：
20×5 000=100 000（元）；
∴△ABP∽△PCE，
AB BP
2
x
1
m
即
\ = ,
= ,\y = - x + x.
2
PC CE m - x y
2
2
1
m
1
m
m
2
（2） y = - x + x = - (x - ) + ,
2
2
乙公司单独完成此项工程所需的施工费：
30×（5 000-1 500）=105 000（元）；
故甲公司的施工费较少.
2
2
2
2
8
m
m
2
∴当x = 时，y取得最大值，最大值为 .
2
8
∵点 P在线段 BC上运动时，点 E总在线段 CD上，
25.解：（1）张老师一共调查了：(6+4)÷50%=20(人)；
（2）C类女生人数：20×25%-3=2(人)；
D类男生人数：20-3-10-5-1=1(人)；
将条形统计图补充完整如图所示：
m
2
\ £1,解得m £ 2 2.
8
∴m的取值范围为：0 < m £ 2 2.
（3）由折叠可知，PG=PC，EG=EC，∠GPE=∠CPE.
又∵∠GPE+∠APG=90°，∠CPE+∠APB=90°，
∴∠APG=∠APB．
∵∠BAG=90°，∠B=90°，∴AG∥BC，
∴∠GAP=∠APB，
（3）列表如图，共 6种情况，其中一位男同学一位女同学的情况是 3种，
∴∠GAP=∠APG，
∴AG=PG=PC．
解法一：如图所示，分别延长 CE、AG，交于点 H，
1
所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率是 .
2
26.解：（1）∵∠APB+∠CPE=90°，∠CEP+∠CPE=90°，
∴∠APB=∠CEP.又∵∠B=∠C=90°，

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则易知 ABCH 为矩形，HE=CH-CE=2-y，GH=AH-AG=4-（4-x）=x，
在 Rt△GHE 中，由勾股定理得：GH +HE =GE ，
易证△APB≌△APK，
∴PK=BP=x，
2
2
2
即：x +（2-y） =y ，化简得：x -4y+4=0①.
∴GK=PG-PK=4-2x．
2
2
2
2
1
m
在 Rt△AGK 中，由勾股定理得：GK +AK =AG ，
由（ ）可知，
y = - x + x，这里m = 4，
1
2
2
2
2
2
2
即：（4-2x） +2 =（4-x） ，
1
2
2
2
\y = - x + 2x,
2
2
整理得：3x -8x+4=0，
2
2
代入①式整理得：
，解得：x = 或x = 2
，
3x -8x + 4 = 0
2
3
2
或x = 2，
解得：x =
2
3
的长为 或
\BP
2.
3
2
或
∴BP 的长为 2.
解法二：如图所示，连接 GC．
∵AG∥PC，AG=PC，
3
∴四边形 APCG 为平行四边形，∴AP=CG．
易证△ABP≌GNC，∴CN=BP=x．
过点 G 作 GN⊥PC 于点 N，则
GH=2，PN=PC-CN=4-2x．
在 Rt△GPN 中，由勾股定理得：PN +GN =PG ，
2
2
2
即：（4-2x） +2 =（4-x） ，
2
2
2
2
整理得：3x -8x+4=0，解得：x= 或 x=2，
2
3
∴点 C 的坐标为(4,3).
2
∴BP 的长为 或 2.
设符合条件的点 P 存在，令 P（a，0）.
3
解法三：过点 A 作 AK⊥PG 于点 K.
当 P 为直角顶点时，如图，过 C 作 CF⊥x 轴于 F.
∵∠BPC=90°,
∵∠APB=∠APG，∴AK=AB．

小刘老师亲笔
∴∠BPO+∠CPF=90°.
又∵∠OBP+∠BPO=90°,
∴∠OBP=∠CPF,
∵抛物线经过（0，2），
2
\a（0 - 4）- = 2,
2
3
1
解得：a= ，
∴Rt△BOP∽Rt△PFC，
6
BO OP
1 t
1
2
，即
（
）
2
\ =
PF FC
= ,
4 - t 3
\y = x - 4 - .
6
3
1
4
即：
y = x - x + 2.
整理得:t -4t+3=0，
2
2
6
3
1
4
解得:t=1或 t=3,
当y = 0时， x - x + 2 = 0,
2
6
3
∴所求的点 P的坐标为（1，0）或（3，0），
∴运动时间为 1秒或 3秒.
解得：x=2或 x=6,
∴A（2，0），B（6，0）.
（3）存在符合条件的 t值，使△APQ与△ABD相似.
设运动时间为 t，则 AP=2t，AQ=at.
∵∠BAD=∠PAQ，
（2）存在，
如图 2，由（1）知：抛物线的对称轴 l 为 x=4，
∵A、B两点关于 l 对称，连接 CB交 l 于点 P，则 AP=BP，∴AP+CP=BC的值最小.
AP AQ AP AQ
∴当
=
或
=
时，两三角形相似.
AB AD AD AB
2t at 2t at
，
，
或
AB = 5 AD = 3 \ =
5 3 3
= ,
5
6 5
5
2 5
3
\a =
或a =
,
6 5
2 5
3
∴存在 a使两三角形相似且a =
或a =
.
5
28.解：（1）由题意，设抛物线的解析式为：
2
∵B（6，0），C（0，2） ,∴OB=6，OC=2,
y = a（x - 4）- （?a ¹ 0）.
2
3

小刘老师亲笔
3
2
b 2
4
3
ì
ï
í
ì
\BC = 2 10,\AP + CP = BC = 2 10,
∴AP+CP 的最小值为2 10.
（3）如图 3，连接 ME,
k + b = 0，
，
k = -
ï
则
解得：
í
，
，
ï
ï
=
b = 2
î
î
4
∴直线 CE 的解析式为 y = - x + 2.
3
∵CE 是⊙M 的切线,
∴ME⊥CE，∠CEM=90°.
由题意，得 OC=ME=2，∠ODC=∠MDE,
∵在△COD 与△MED 中,
ÐCOD = ÐDEM，
ÐODC = ÐMDE，
OC = ME，
ì
ï
í
ï
î
∴△COD≌△MED（AAS），
∴OD=DE，DC=DM.
设 OD=x,
则 CD=DM=OM-OD=4-x,
则 Rt△COD 中，OD +OC =CD ，
2
2
2
∴x +2 =（4-x） .
2
2
2
3
3
\x = ,\D( ,0).
2
2
设直线 CE 的解析式为 y=kx+b,
3
∵直线 CE 过 C（0，2），D( ,0 )两点，
2

小刘老师亲笔
∴∠BPO+∠CPF=90°.
又∵∠OBP+∠BPO=90°,
∴∠OBP=∠CPF,
∵抛物线经过（0，2），
2
\a（0 - 4）- = 2,
2
3
1
解得：a= ，
∴Rt△BOP∽Rt△PFC，
6
BO OP
1 t
1
2
，即
（
）
2
\ =
PF FC
= ,
4 - t 3
\y = x - 4 - .
6
3
1
4
即：
y = x - x + 2.
整理得:t -4t+3=0，
2
2
6
3
1
4
解得:t=1或 t=3,
当y = 0时， x - x + 2 = 0,
2
6
3
∴所求的点 P的坐标为（1，0）或（3，0），
∴运动时间为 1秒或 3秒.
解得：x=2或 x=6,
∴A（2，0），B（6，0）.
（3）存在符合条件的 t值，使△APQ与△ABD相似.
设运动时间为 t，则 AP=2t，AQ=at.
∵∠BAD=∠PAQ，
（2）存在，
如图 2，由（1）知：抛物线的对称轴 l 为 x=4，
∵A、B两点关于 l 对称，连接 CB交 l 于点 P，则 AP=BP，∴AP+CP=BC的值最小.
AP AQ AP AQ
∴当
=
或
=
时，两三角形相似.
AB AD AD AB
2t at 2t at
，
，
或
AB = 5 AD = 3 \ =
5 3 3
= ,
5
6 5
5
2 5
3
\a =
或a =
,
6 5
2 5
3
∴存在 a使两三角形相似且a =
或a =
.
5
28.解：（1）由题意，设抛物线的解析式为：
2
∵B（6，0），C（0，2） ,∴OB=6，OC=2,
y = a（x - 4）- （?a ¹ 0）.
2
3

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3
2
b 2
4
3
ì
ï
í
ì
\BC = 2 10,\AP + CP = BC = 2 10,
∴AP+CP 的最小值为2 10.
（3）如图 3，连接 ME,
k + b = 0，
，
k = -
ï
则
解得：
í
，
，
ï
ï
=
b = 2
î
î
4
∴直线 CE 的解析式为 y = - x + 2.
3
∵CE 是⊙M 的切线,
∴ME⊥CE，∠CEM=90°.
由题意，得 OC=ME=2，∠ODC=∠MDE,
∵在△COD 与△MED 中,
ÐCOD = ÐDEM，
ÐODC = ÐMDE，
OC = ME，
ì
ï
í
ï
î
∴△COD≌△MED（AAS），
∴OD=DE，DC=DM.
设 OD=x,
则 CD=DM=OM-OD=4-x,
则 Rt△COD 中，OD +OC =CD ，
2
2
2
∴x +2 =（4-x） .
2
2
2
3
3
\x = ,\D( ,0).
2
2
设直线 CE 的解析式为 y=kx+b,
3
∵直线 CE 过 C（0，2），D( ,0 )两点，
2

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∴∠BPO+∠CPF=90°.
又∵∠OBP+∠BPO=90°,
∴∠OBP=∠CPF,
∵抛物线经过（0，2），
2
\a（0 - 4）- = 2,
2
3
1
解得：a= ，
∴Rt△BOP∽Rt△PFC，
6
BO OP
1 t
1
2
，即
（
）
2
\ =
PF FC
= ,
4 - t 3
\y = x - 4 - .
6
3
1
4
即：
y = x - x + 2.
整理得:t -4t+3=0，
2
2
6
3
1
4
解得:t=1或 t=3,
当y = 0时， x - x + 2 = 0,
2
6
3
∴所求的点 P的坐标为（1，0）或（3，0），
∴运动时间为 1秒或 3秒.
解得：x=2或 x=6,
∴A（2，0），B（6，0）.
（3）存在符合条件的 t值，使△APQ与△ABD相似.
设运动时间为 t，则 AP=2t，AQ=at.
∵∠BAD=∠PAQ，
（2）存在，
如图 2，由（1）知：抛物线的对称轴 l 为 x=4，
∵A、B两点关于 l 对称，连接 CB交 l 于点 P，则 AP=BP，∴AP+CP=BC的值最小.
AP AQ AP AQ
∴当
=
或
=
时，两三角形相似.
AB AD AD AB
2t at 2t at
，
，
或
AB = 5 AD = 3 \ =
5 3 3
= ,
5
6 5
5
2 5
3
\a =
或a =
,
6 5
2 5
3
∴存在 a使两三角形相似且a =
或a =
.
5
28.解：（1）由题意，设抛物线的解析式为：
2
∵B（6，0），C（0，2） ,∴OB=6，OC=2,
y = a（x - 4）- （?a ¹ 0）.
2
3

小刘老师亲笔
3
2
b 2
4
3
ì
ï
í
ì
\BC = 2 10,\AP + CP = BC = 2 10,
∴AP+CP 的最小值为2 10.
（3）如图 3，连接 ME,
k + b = 0，
，
k = -
ï
则
解得：
í
，
，
ï
ï
=
b = 2
î
î
4
∴直线 CE 的解析式为 y = - x + 2.
3
∵CE 是⊙M 的切线,
∴ME⊥CE，∠CEM=90°.
由题意，得 OC=ME=2，∠ODC=∠MDE,
∵在△COD 与△MED 中,
ÐCOD = ÐDEM，
ÐODC = ÐMDE，
OC = ME，
ì
ï
í
ï
î
∴△COD≌△MED（AAS），
∴OD=DE，DC=DM.
设 OD=x,
则 CD=DM=OM-OD=4-x,
则 Rt△COD 中，OD +OC =CD ，
2
2
2
∴x +2 =（4-x） .
2
2
2
3
3
\x = ,\D( ,0).
2
2
设直线 CE 的解析式为 y=kx+b,
3
∵直线 CE 过 C（0，2），D( ,0 )两点，
2