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专题训练(一) 图形的规律探索
——教材 P70T10 的变式与应用
教材母题：(教材P70T10)如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”(包括两
个顶点)有 n(n>1)个点，每个图形总的点数 S 是多少？当 n＝5，7，11 时，S 是多少？
【思路点拨】 观察图形，可得到点的 总数 S 与 n 之间的关系，用含 n 的式子表示 S，
便可分别求出当 n＝5，7，11 时，S 的值．
【解答】 观察图形，当 n＝2 时，有两排点，总的点数为 1＋2＝3(个)；
当 n＝3 时，有三排点，总的点数为 1＋2＋3＝6(个)；
当 n＝4 时，有 四排 点，总的点数为 1＋2＋2＋4＝9(个)；
当 n＝5 时，有五排点，总的点数为 1＋2＋2＋2＋5＝12(个)．
根据此规律，可知点的总数 S＝1＋2(n－2)＋n＝3n－3，
当 n＝7 时，S＝3×7－3＝18；
当 n＝11 时，S＝3×11－3＝30.
故当 n＝5，7，11 时，S 的值分别是 12，18，30.
【方法归纳】 解决图形规律探索问题，首先从简单的基本图形入手，随着“序 号”
或“编号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上的变化情况或图形变化情况，
找出变化规律，从而推出一般性结论．
1．如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，其中图1 需要 4 根小棒，图 2 需要
10 根小棒，…，按此规律摆下去，则第 11 个图案所需小棒的根 数为(C)
A．70
B．68
C．64
D．58
2．(荆州中考)如图，用黑白两种颜色的纸片，按黑色纸片数逐渐增加 1 的规律拼成下列图
案．若第 n 个图案中有 2 017 个白色纸片，则 n 的值为(B)
A．671
B．672
C．673
D．674
3．(益阳中考)小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第 1 个图案有 1 枚棋子，第
2 个图案有 3 枚棋子，第3 个图案有 4 枚棋子，第4 个图案有 6 枚棋子，…，那么第9 个图
案的棋子数是 13 枚．
4．如图是用棋子摆成的图案：
1
根据图中棋子的排列规律解决下列问题：
(1)第 4 个图中有 22 枚棋子，第 5 个图中有 32 枚棋子；
(2)写出你猜想的第 n 个图中棋子的枚数(用含 n 的式子表 示)是 n＋2＋n2．
5．下面是用棋子摆成的“小房子”．摆第 10 个这样的 “小房子”需要多 少枚棋子？摆第
n 个这样的“小房子”呢？你是如何得到的？
解：第 1 个“小房子”，下边正方形棋子 4×2－4＝4(枚)，上边 1 枚 ，共 4＋1＝5(枚)；
第 2 个“小房子”，下边正方形棋子 4×3－4＝8(枚)，上边 3 枚，共 8＋3＝11(枚)；
第 3 个“小房子”，下边正方形棋子 4×4－ 4＝12(枚)，上边 5 枚，共12＋5＝17(枚)；
第 4 个“小房子”，下边正方形棋子 4×5－4＝16(枚)，上边 7 枚 ，共 16＋7 ＝23(枚)；
…
第 n 个“小房子”，下边正方形棋子 4×(n＋1)－4＝4n(枚)，上边(2n－1)枚，共 4n
＋2n－1＝(6n－1)(枚)．
当 n＝10 时，6n－1＝6×10－1＝59(枚)．
专题训练(二) 线段的计算
——教材 P128 练习 T3 的变
式与应用
教材母题：(教材 P128 练习 T3)如图，点 D 是线段 AB 的中点，C 是线段 AD 的中点，若 AB＝
4 cm，求线段 CD 的长度．
【解答】 因为点 D 是线段 AB 的中点，AB＝4 cm，
1
1
所以 AD＝ AB＝ ×4＝2(c m)．
2
2
因为 C 是线段 AD 的中点，
1
1
所以 CD＝ AD＝ ×2＝1(cm)．
2
2
【方法归纳】 结合图形，将待求线段长转化为已知线段的和、差形式．若题目中出现线段
的中点，常利用线段中点的性质，结合线段的和、差、倍、分关系求解．同时应注意题目中
若没有图形，或点的位置关系不确定时，常需要分类讨论，确保答案的完整性．
2
1．如图，线段 AB＝22 cm，C 是线段 AB 上一点，且 AC＝14 cm，O 是 AB 的中 点，求线段 OC
的长度．
解：因为点 O 是线段 AB 的中点，AB＝22 cm，
1
所以 AO＝ AB＝11 c m.
2
所以 OC＝AC－AO＝14－11＝3(cm)．
2．如图，已知 C 是 AB 的中点，D 是 AC 的中点，E 是 BC 的中点．
(1)若 DE＝9 cm，求 AB 的长；
(2 )若 CE＝5 cm，求 DB 的长．
解：(1)因为 D 是 AC 的中点，E 是 BC 的中点，
所以 AC＝2CD，BC＝2CE.
所以 AB＝AC＋BC＝2DE＝18 cm.
(2)因为 E 是 BC 的中点，
所以 BC＝2CE＝10 c m.
因为 C 是 AB 的中点，D 是 AC 的中点，
1
1
所以 DC＝ AC＝ BC＝5 cm.
2
2
所以 DB＝DC＋BC＝5＋10＝15(cm)．
3．如图，B，C 两点把线段 AD 分成 2∶5∶3 三部分，M 为 AD 的中点，BM＝6 cm，求 CM 和
AD 的长．
解：设 AB＝2x cm，BC＝5x cm，CD＝3x cm，
所以 AD＝AB＋BC＋CD＝10x cm.
因为 M 是 AD 的中点，
1
所以 AM＝MD＝ AD＝5x cm.
2
所以 BM＝AM－AB＝5x－2x＝3x(cm)．
因为 BM＝ 6 cm，
所以 3x＝6，x＝2.
故 CM＝MD－CD＝5x－3x＝2x＝2×2＝4(cm)，
AD＝10x ＝10×2＝20(cm)．
3
4．如图，线段 AB＝1 cm，延长 AB 到 C，使得 BC＝ AB，反向延长 AB 到 D，使得 BD＝2BC，
2
在 线段 CD 上有一点 P， 且 AP＝2 cm.
(1)请按题目要求画出线段 CD，并在图中标出点 P 的位置；
3
(2 )求出线段 CP 的长度．
解：(1)线段 CD 和点 P 的位置如图 1、2 所示．
(2)因为 AB＝1 cm，
3
3
所以 BC＝ AB＝ cm.
2
2
所以 BD＝2BC＝3 cm.
1
当点 P 在点 A 的右边时，CP＝AB＋BC－AP＝ cm；
2
9
当点 P 在点 A 的左边时，点 P 与点 D 重合，CP＝BD＋BC＝ cm.
2
专题训练(三) 角的计算
类型 1 利用角度的和、差关系
找出待求的角与已知角的和、差关系，根据角度和、差来计算．
1．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，求∠AOD 的度数．
解：因为∠AOC＝75°，∠BOC＝30°，
所以∠AO B＝∠AOC－∠BOC＝75°－30°＝45°.
又因为∠BOD＝75°，
所以∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝45°＋75°＝120°.
2．将一副三角板的两个顶点重叠放在一起．(两个三角板中的锐角分别为 45°、45°和 30°、
60°)
(1)如图 1 所示，在此种情形下，当∠DAC＝4∠BAD 时， 求∠CAE 的度数；
( 2)如图 2 所示，在此种情形下，当∠ACE＝3∠BCD时，求∠ACD 的度数．
解：(1)因为∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAC＝4∠B AD，
所以 5∠BAD＝90°，即∠BAD＝18°.
所以∠DAC＝4×18°＝72°.
因为∠ DAE＝90°，
所以∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝18°.
4
(2)因为∠BCE＝∠DCE－∠BCD＝60°－∠BCD，∠ACE＝3∠BCD，
所以∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝3∠BCD＋60°－∠BCD＝90°.
解得∠BCD＝15°.
所以∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝90°＋15°＝105°.
类型 2 利用角平分线的性质
角的平分线将角分成两个相等的角，利用角平分线的这个性质，再结合角的和、差关系
进行计算．
3．如图，点 A，O，E 在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°46′，OD 平分∠COE，求
∠COB 的度数．
解：因为∠EOD＝28°46′，OD 平分∠COE，
所以∠COE＝2∠EOD＝2×28°46′＝57°32′.
又因为∠AOB＝40°，
所以∠COB＝180°－∠AOB－∠COE＝180°－40°－57°32′＝82°28′.
4．已知∠AOB＝40°，OD 是∠BOC 的平分线．
(1)如图 1，当∠AOB 与∠BOC 互 补时，求∠COD 的度数；
(2)如图 2，当∠AOB 与∠BOC 互余时，求∠COD 的度数．
解：(1)因为∠AOB 与∠BOC 互补，
所以∠AOB＋∠BOC ＝180°.
又因为∠AOB＝40°，
所以∠BOC＝180°－40°＝140°.
因为 OD 是∠BOC 的平分线，
1
所以∠COD＝ ∠BOC＝70°.
2
(2)因为∠AOB 与∠BOC 互余，
所以∠AOB＋∠BOC＝90°.
又因为∠AOB＝40°，
所以∠BOC＝90°－40°＝50°.
因为 OD 是∠BOC 的平分线 ，
1
所以∠COD＝ ∠BOC＝25°.
2
类型 3 利用方程思想求解
在解决有关余角、补角，角的比例关系或倍分关系问题时，常利用方程思想来求解，即
5
通过设未知数，建立方程，通过解方程使问题得以解决．
2
5．一个角的余角比它的补角的 还少 40°，求这个角的度数．
3
解：设这个角的度数为 x°，根据题意，得
2
90－x＝ (180－x)－40.
3
解得 x＝30.
所以这个角的度数是 30°.
6．如图，已知∠AOE 是平角 ，∠DOE＝20°，OB 平分∠AOC，且∠COD∶∠BOC＝2∶3，求∠BOC
的度数．
解：设∠COD＝2x°，则∠BOC＝3x°.
因为 OB 平分∠AOC，
所以∠AOB＝3x°.
所以 2x＋3x＋3x＋20＝180.
解得 x＝20.
所以∠BOC＝3×20°＝60°.
1
7．如图，已知∠AOB＝ ∠BOC，∠COD＝∠AOD＝3∠AOB，求∠AOB 和∠COD 的度数．
2
解：设∠AOB＝x°，则∠COD＝∠AOD＝3∠AOB＝3x°.
1
因为∠AOB＝ ∠BOC，
2
所以∠BOC＝2x°.
所以 3x＋3x＋2x＋x＝360.
解得 x＝40.
所以∠AOB＝40°，∠COD＝120°.
类型 4 利用分类讨论思想求解
在角度计算中，如果题目中无图，或补全图形时，常需分类讨论，确保答案的完整性．
2
8．已知∠AOB＝75°，∠AOC＝ ∠AOB，OD 平分∠AOC，求∠BOD 的大小．
3
2
解：因为∠AOB＝75°，∠AOC＝ ∠AOB，
3
6
2
所以∠AOC＝ ×75°＝50°.
3
因为 O D 平分∠AOC，
所以∠AOD＝∠COD＝25°.
如图 1，∠BOD＝75°＋25°＝100°；
如图 2，∠BOD＝75°－25°＝50°.
9．已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线．
(1)当∠AOB＝60°时，求∠AOC 的度数；
( 2)在(1)的条件下，∠EOC＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE 的度数；
( 3)当∠AOB＝α 时，∠EOC＝90°，直接写出∠AOE 的度数．(用含 α 的代数式表示)
解：(1)因为 OC 是∠AOB 的平分线，
1
所以∠AOC＝ ∠AOB.
2
因为∠AOB＝60°，
所以∠AOC＝30°.
(2)如图 1，∠AOE＝∠EOC＋∠AOC＝90°＋30°＝120°；
如图 2，∠AOE＝∠EOC－∠AOC＝90°－30°＝60°.
α α
(3)90°＋ 或 90°－ .
2
2
7
通过设未知数，建立方程，通过解方程使问题得以解决．
2
5．一个角的余角比它的补角的 还少 40°，求这个角的度数．
3
解：设这个角的度数为 x°，根据题意，得
2
90－x＝ (180－x)－40.
3
解得 x＝30.
所以这个角的度数是 30°.
6．如图，已知∠AOE 是平角 ，∠DOE＝20°，OB 平分∠AOC，且∠COD∶∠BOC＝2∶3，求∠BOC
的度数．
解：设∠COD＝2x°，则∠BOC＝3x°.
因为 OB 平分∠AOC，
所以∠AOB＝3x°.
所以 2x＋3x＋3x＋20＝180.
解得 x＝20.
所以∠BOC＝3×20°＝60°.
1
7．如图，已知∠AOB＝ ∠BOC，∠COD＝∠AOD＝3∠AOB，求∠AOB 和∠COD 的度数．
2
解：设∠AOB＝x°，则∠COD＝∠AOD＝3∠AOB＝3x°.
1
因为∠AOB＝ ∠BOC，
2
所以∠BOC＝2x°.
所以 3x＋3x＋2x＋x＝360.
解得 x＝40.
所以∠AOB＝40°，∠COD＝120°.
类型 4 利用分类讨论思想求解
在角度计算中，如果题目中无图，或补全图形时，常需分类讨论，确保答案的完整性．
2
8．已知∠AOB＝75°，∠AOC＝ ∠AOB，OD 平分∠AOC，求∠BOD 的大小．
3
2
解：因为∠AOB＝75°，∠AOC＝ ∠AOB，
3
6
2
所以∠AOC＝ ×75°＝50°.
3
因为 O D 平分∠AOC，
所以∠AOD＝∠COD＝25°.
如图 1，∠BOD＝75°＋25°＝100°；
如图 2，∠BOD＝75°－25°＝50°.
9．已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线．
(1)当∠AOB＝60°时，求∠AOC 的度数；
( 2)在(1)的条件下，∠EOC＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE 的度数；
( 3)当∠AOB＝α 时，∠EOC＝90°，直接写出∠AOE 的度数．(用含 α 的代数式表示)
解：(1)因为 OC 是∠AOB 的平分线，
1
所以∠AOC＝ ∠AOB.
2
因为∠AOB＝60°，
所以∠AOC＝30°.
(2)如图 1，∠AOE＝∠EOC＋∠AOC＝90°＋30°＝120°；
如图 2，∠AOE＝∠EOC－∠AOC＝90°－30°＝60°.
α α
(3)90°＋ 或 90°－ .
2
2
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