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苏科版数学九年级全册知识点梳理

第一章 图形与证明（二）
1 等腰三角形的性质定理：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。
等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。
2 直角三角形全等的判定定理：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）。
角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
直角三角形中，30°的角所对的直角边事斜边的一半。
3 平行四边形的性质与判定：
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
定理1：平行四边形的对边相等。
定理2：平行四边形的对角相等。
定理3：平行四边形的对角线互相平分。
判定——从边：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
3两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
从角： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
矩形的性质与判定：
定义：有一个角的直角的平行四边形是矩形。
定理1：矩形的4个角都是直角。
定理2：矩形的对角线相等。
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：1有三个角是直角的四边形是矩形。
2对角线相等的平行四边形是矩形。
菱形的性质与判定：
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
定理1：菱形的4边都相等。
定理2：菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
判定：1四条边都相等的四边形是菱形。
2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
正方形的性质与判定：
正方形的4个角都是直角，4条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。
判定：1有一个角是直角的菱形是正方形。
2有一组邻边相等的平行四边形是正方形。
1.4 等腰梯形的性质与判定
定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
定理1：等腰梯形同一底上的两底角相等。
定理2：等腰梯形的两条对角线相等。
判定：1在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
2对角线相等的梯形是等腰梯形。
1.5 中位线
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底的一半。
中点四边形：依次连接一个四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形（中点四边形一定是平行四边形）。
原四边形对角线
中点四边形
相等
菱形
互相垂直
矩形
相等且互相垂直
正方形
第二章 数据的离散程度
2.1 极差：
一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。计算公式：极差=最大值-最小值。
极差是刻画数据离散程度的一个统计量，可以反映一组数据的变化范围。一般说，极差越小，则说明数据的波动幅度越小。
2.2 方差
各个数据与平均数的差的平均数叫做这组数据的方差，记作S2。
巧用方差公式：
1、基本公式：S2=[(X1-)2+(X2-)2+……+(Xn-)2]
2、简化公式：S2=[(X12+X22+……+Xn2)-n2]可写成：S2=(X12+X22+……+Xn2)-2
3、简化②：S2=[(X’12+X’22+……+X’n2)-n2] 也可写成: S2=(X’12+X’22+……+X’n2)-2
标准差:
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差,记作S。
意义：
1、极差、方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征，常用来比较两组数据的波动大小，我们通常研究的是这组数据的个数相等、平均数相等或比较接近的情况。
2、方差较大的波动较大，方差较小的波动较小。
3、方差大，标准差就大，方差小，标准差就小。因此标准差同样反映数据的波动大小。
注意：对两组数据来说，极差大的那一组不一定方差大，反过来，方差大的极差也不一定大。
第三章 二次根式
3.1 二次根式
定义：一般地，式子（a≧0）叫做二次根式，a叫做被开方数。
有意义条件：当a≧0时，有意义；当a≦0时，无意义。
性质：1、≧0（a≧0） 2、（）2=a（a≧0）
2=∣a∣= a（a≧0）
a（a＜0）
3.2 二次根式的乘除法
法则：√a·√b=√ab(a≧0,b≧0)
=√（a≧0,b＞0）
化简：①√ab=√a·√b(a≧0,b≧0)
②√=（a≧0,b＞0）
③== （a≧0,b＞0）

第四章 一元二次方程
4.1 概念：
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式是aX2+bX+c=0(a、b、c是常数，a≠0)，其中aX2称为二次项，a称为二次项系数，bX称为一次项，b称为一次项系数，c称为常数项。

4.2 解法：
1、直接开平方
2、配方法：先把一元二次方程变形为（X+h）2=k的形式（其中h,k都是常数），如果k≧0，再通过直接开平方法求出方程的解
3、公式法（求根公式）：一元二次方程aX2+bX+c=0 前提：（a≠0）b2-4ac≧0，记住求根公式： （注意在找abc时须先把方程化为一般形式）
4分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）
※根与系数的关系：当b2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当b2-4ac<0时，方程无实数根。反之，也成立。
※如果一元二次方程的两根分别为x1、x2，则有：。
※一元二次方程的根与系数的关系的作用：
（1）已知方程的一根，求另一根；
（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值，
4、因式分解法（重点是十字相乘法）
根的判别式
一元二次方程aX2+bX+c=0 （a≠0）的根的情况可由b2-4ac来判定，因此b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式。
当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根
当b2-4ac＜0时，方程没有实数根。
在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。
※处理问题的过程可以进一步概括为：
第五章 中心对称图形（二）
5.1 圆
定义：圆是定点的距离等于定长的点的集合。其中，定点叫做圆心，定长叫做半径。
与圆有关的概念：
1、连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。
2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
3、定点在圆上的角叫做圆心角。
4、圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。能够互相重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
与圆的位置关系：
在平面内，点与圆有3中位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外。如果设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么“点P在圆内 ←→d＜r;点P在圆上←→d=r；点P在圆外←→d＞r”
5.2 圆的对称性
圆是中心对称图形，圆心是对称中心。
圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
圆心角、弧、弦之间的关系（等对等定理）：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
5.3 圆周角
概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。（圆心与圆周角的位置关系分为三种情况：圆心在角的一边上；圆心在角的内部；圆心在角的外部）
推论：1、直径（或半圆）所对的圆周角是直角。
2、90°的圆周角对的弦是直径。
5.4 确定圆的条件
条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
三角形的外接圆：
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点，这个点叫做三角形的外心。这个三角形叫做圆的内接三角形
5.5 直线与圆的位置关系
1、直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交。（d＜r）
2、直线与圆有唯一的公共点，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。（d=r）
3、直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。（d＞r）
直线与圆的位置关系可以用它们的交点的个数来区分，也可以用圆心到直线的距离与半径的大小关系来区分，它们的结果是一致的。
切线的性质与判定：
判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线式圆的切线。
性质：（圆的切线垂直于过切点的半径）
经过圆心且垂直于切线的直接必经过切点。
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线与圆只有一个公共点；切线与圆心的距离等于半径；切线垂直于过切点的半径。
内心：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形的三条角平分线的交点。
这个三角形叫做圆的外切三角形。
5.6 圆与圆的位置关系
性质与判定：
如果两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么
两圆外离←→d＞R+r
两圆外切←→d=R+r
两圆相交←→R-r＜d＜R+r（R＞r）
两圆内切←→d=R-r(R＞r)
两圆内含←→0≤d＜R-r（R＞r）
连心线的性质：
圆是轴对称图形，从上表中可以看出它们都是轴对称图形。沿O1、O2所在直线（连心线）对折，发现：两圆相切，直线O1O2必过切点；两圆相交，连心线垂直平分它们的公共弦。
5.7 正多边形与圆
正多边形概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
性质：正多边形都是对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，没条对称轴都通过正n边形的中心。一个正多边形如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心。
边数相同的正多边形相似。
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
友情提醒：（1）边数相同的正多边形相似，这是解与正多边形有关问题常用到的知识。
（2）任何三角形都有外接圆和内切圆，但只有正三角形的外接圆和内切圆才是同心圆。过正多边形任意三个顶点的圆就是这个正多边形的外接圆。
作正多边形：作半径为R的正n边形的关键是n等分圆。这就要学习两种方法：
用量角器等分圆，可以作任意正多边形，这是近似作法。具体地说先计算出顶点在圆心的角的度数，即正n边形的圆心角为，然后依次用量角器将圆等分，顺次连接各分点，就作出正n边形。
用尺规等分圆，作正方形和正六边形。具体地说：先作出两条互相垂直的直径，将圆四等分，顺次连接各分点，就做出正方形；用圆规从圆上一点顺次截取等与半径的弦，将圆六等分，顺次连接各等分点，就作出正六边形。
友情提醒：在作正多边形时，要从圆周上某一点开始连续截取等弧，否则，易产生误
差。
5.8 弧长及扇形的面积
1. 圆周长公式:
圆周长C=2R (R表示圆的半径)
※2. 弧长公式:
弧长 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)
※3. 扇形定义:
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.
※4. 弓形定义:
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.
※5. 圆的面积公式.
圆的面积 (R表示圆的半径)
※6. 扇形的面积公式:
扇形的面积 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)
图5
※弓形的面积公式:(如图5)

(1)当弓形所含的弧是劣弧时,
(2)当弓形所含的弧是优弧时,
(3)当弓形所含的弧是半圆时,
5.9圆锥的侧面积和全面积
※1. 圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.
※2. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算:
圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.
如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l, 底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的侧面积是:

与圆有关的辅助线
1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.
2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.
3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.
. 圆内接四边形
若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.
圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补;
②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.

第六章 二次函数
1、定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。
2、二次函数的性质：
（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴；
（2）函数的图像与的符号关系：
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点。
（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为。
3、二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线。
4、二次函数用配方法可化成：的形式，
其中。
5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①；②；③；④；⑤。
6、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。
①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同。
②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线。
7、顶点决定抛物线的位置。几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。
8、求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线。（P26-9）
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线。

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。
注意：用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失。
题11：抛物线y＝x2＋6x＋4的顶点坐标是(　)
　　A．(3，-5) B．(-3，-5) C．(3，5)　　　　D．(-3，5)
9、抛物线中，的作用
（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样。
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线的对称轴是直线。
，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧。
（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置。
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：①，抛物线经过原点； ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴。
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 。
10、几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标

当时
开口向上
当时
开口向下
（轴）
（0,0）

（轴）
(0, )

(,0)

(,)

()
11、用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：。已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式。
（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：。
题12：已知关于x的一元二次方程x2-2(m-1)x＋(m2-1)＝0，有两个实数根x1、x2，且x12＋x22＝4．求m的值。
题13：先化简，再求值： ，其中＝
题14：在平面直角坐标系中，B(＋1，0)，点A在第一象限内，且∠AOB＝60°，
∠ABO＝45°。
　(1)求点A的坐标；
(2)求过A、O、B三点的抛物线解析式；
(3)动点P从O点出发，以每秒2个单位的速度沿OA运动到点A止，①若△POB的面积为S，写出S与时间t(秒)的函数关系；②是否存在t，使△POB的外心在x轴上，若不存在，请你说明理由；若存在，请求出t的值。

12、直线与抛物线的交点（1）轴与抛物线得交点为(0, )。
（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,)。
（3）抛物线与轴的交点。
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根。抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离。
（4）平行于轴的直线与抛物线的交点：
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点。当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根。
（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：
①方程组有两组不同的解时与有两个交点；
②方程组只有一组解时与只有一个交点；
③方程组无解时与没有交点。
（6）抛物线与轴两交点之间的距离：
若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故：

第七章 锐角三角函数
1正切：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即;
①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；
②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；
③tanA不表示“tan”乘以“A”；
④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；
⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大； ∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。
2正弦：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即;
3余弦：

0º
30 º
45 º
60 º
90 º
sinα
0

1
cosα
1

0
tanα
0

1

—
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即;
①；
②；

4在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有
(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；
(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；
(3)边与角之间的关系：

面积公式:(hc为C边上的高);
5直角三角形的内切圆半径 =面积的2倍除以周长
6直角三角形的外接圆半径
7特殊角的三角函数值如右表所示：
8解直角三角形的几种基本类型列表如下：

图2
h
i=h:l
l
A
B
C

图3

图4

如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即
◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。
◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。

第八，九章 统计与概率
在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数；
每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率； 即：
在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于1。因此，各个小长方形的面积的和等于1。
※频率分布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两种不同表示形式，前者准确，后者直观。
用一件事件发生的频率来估计这一件事件发生的概率。
可用列表的方法求出概率，但此方法不太适用较复杂情况。
※假设布袋内有m个黑球，通过多次试验，我们可以估计出布袋内随机摸出一球，它为白球的概率；
※要估算池塘里有多少条鱼，我们可先从池塘里捉上100条鱼做记号，再放回池塘，之后再从池塘中捉上200条鱼，如果其中有10条鱼是有标记的，再设池塘共有x条鱼，则可依照估算出鱼的条数。（注意估算出来的数据不是确切的，所以应谓之“约是XX”）
※生活中存在大量的不确定事件，概率是描述不确定现象的数学模型，它能准确地衡量出事件发生的可能性的大小，并不表示一定会发生。
实验频率与理论概率的关系只是在实验次数很多时,实验频率接近于理论概念,但实验次数再多,也很难保证实验结果与理论值相等,这就是“随机事件”的特点.
游戏公平吗?
1. 游戏的公平性是指游戏双方各有50%赢的机会,或者游戏多方赢的机会相等.
2. 表示一个事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率.一个事件发生的概率取值在0与1之间.
3. 概率的预测的计算方法:某事件A发生的概率:

4. 用分析的办法求事件发生的概率要注意关键性的两点:
(1)要弄清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果;
(2)要弄清楚所有机会均等的结果.