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初二数学上册培优辅导讲义(人教版)
第12讲 与相交有关概念及平行线的判定
考点·方法·破译
1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.
2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、同旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.
3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.
经典·考题·赏析
【例1】如图，三条直线、、相交于点O，一共构成哪几对对顶角？一共A
B
C
D
E
F
构成哪几对邻补角？
【解法指导】
⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.
⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.
有6对对顶角. 12对邻补角.
A
B
C
D
E
F
P
Q
R
【变式题组】
01．如右图所示，直线、、相交于P、Q、R，则：
⑴∠的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？
02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；
当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；
当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.
问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.
【例２】如图所示，点O是直线上一点，、分别平分∠、
∠．
A
B
C
E
F
O
⑴求∠的度数；
⑵写出∠的余角及补角.
【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；
【解】⑴∵、平分∠、∠ ∴∠＝∠，∠＝∠ ∴∠＝∠＋∠＝∠＋∠＝ 又∵∠＋∠＝180° ∴∠＝×180°＝90° ⑵∠的余角是：∠、∠；∠的补角是：∠.
【变式题组】
01．如图，已知直线、相交于点O，平分∠，且∠＝100°，则∠的度数是（ ）
A．20° B． 40° C．50° D．80°
E
A
B
C
D
O
（第1题图）
1
4
3
2
（第2题图）

02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .
A
B
O
l2
l1
【例３】如图，直线l1、l2相交于点O，A、B分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图：
⑴经过点A画直线l2的垂线.
⑵画出表示点B到直线l1的垂线段.
【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.
【变式题组】
01．P为直线l外一点，A、B、C是直线l上三点，且＝4，＝5，＝6，则点P到直线l的距离为（ ）
A．4 B． 5 C．不大于4 D．不小于6
02 如图，一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M、N为位于公路两侧的村庄；
⑴设汽车行驶到路上点P的位置时距离村庄M最近.行驶到上点Q的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出点P、Q的位置.

⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中，在 的路上距离M村越来越近..在
的路上距离村庄N越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.
F
B
A
O
C
D
E
【例４】如图，直线、相交于点O，⊥，⊥，∠＝65°，求∠和∠的度数.
【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠＝90°，⊥．

【变式题组】
C
D
B
A
E
O
01．如图，若⊥于O，直线过点O，∠︰∠＝1︰3，求∠、∠的度数.

B
A
C
D
O
02．如图，O为直线上一点，∠＝3∠，平分∠．
⑴求∠的度数；
⑵试说明与的位置关系.

A
B
A
E
D
03．如图，已知⊥于B，⊥于B，并且∠︰∠＝1︰2，请作出∠的对顶角，并求其度数.

C
F
E
B
A
D
1
4
2
3
6
5
【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：
∠1和∠2：

∠1和∠3：

∠1和∠6：

∠2和∠6：

∠2和∠4：
∠3和∠5：
∠3和∠4：

【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.

A
B
D
C
H
Ｇ
E
F
【变式题组】
01．如图，平行直线、与相交直线，相交，图中的同旁内角共有（ ）
A．4对 B． 8对 C．12对 D．16对

7
1
5
6
8
4
1
2
乙
丙
3
2
3
4
5
6
1
2
3
4
甲
02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.
1
A
B
C
2
3
4
5
6
7

03．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）
A．∠1和∠2是同旁内角
B．∠3和∠4是内错角
C．∠5和∠6是同旁内角
D．∠5和∠7是同旁内角
【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•
A
B
C
D
O
⑴∠＝∠；
⑵∠＋∠＝180°
⑶∠＝∠
【解法指导】图中有即即有同旁内

角，有“ ”即有内错角.

【解法指导】⑴由∠＝∠，可推得∥；根据内错角相等，两直线平行.
⑵由∠＋∠＝180°，可推得∥；根据同旁内角互补，两直线平行.
⑶由∠＝∠可推得∥；根据内错角相等，两直线平行.
A
B
D
E
F
【变式题组】
01．如图，推理填空.
⑴∵∠A＝∠ （已知）
∴∥（ ）
⑵∵∠C＝∠ （已知）
∴∥（ ）
C
⑶∵∠A＝∠ （已知）
∴∥（ ）
02．如图，平分∠，平分∠，且∠1＝∠2，试说明与的位置关系.
解：∵是∠的平分线（已知）
A
B
C
D
E
F
1
2
∴∠＝2∠1（角平分线定义）
又∵平分∠（已知）
∴ （ ）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴ （ ）
∴∥（ ）

A
B
C
D
E
03．如图，已知平分∠，平分∠．∠＋∠＝90°，求证：∥．

04．如图，已知∠＝∠，平分∠，平分∠，∠＝∠，求证：∥.
A
B
C
D
E
F

l1
l2
l3
l4
l5
l6
图⑴
l1
l2
l3
l4
l5
l6
图⑵
【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.

【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.
证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°
则12×31°＝372°＞360°
这与一周角等于360°矛盾
所以这12个角中至少有一个角小于31°
【变式题组】
01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.

02．在同一平面内有2010条直线a12,…，a2010,如果a1⊥a22∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是 .
03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3….在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则＝ .
演练巩固·反馈提高
01．如图，∠＝∠＝90°.下列说法正确的是（ ）
A．α的余角只有∠B B．α的邻补角是∠
C．∠是α的余角 D．α与∠互补A
E
B
C
F
D
A
B
C
D
F
E
M
N
α
第1题图
第2题图
A
B
D
C
第4题图

02．如图，已知直线、被直线所截，则∠的同位角为（ ）
A．∠ B．∠ C．∠ D．∠
03．下列语句中正确的是（ ）
A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线
B．过直线上一点的直线只有一条
C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
D．垂线段就是点到直线的距离
04．如图，∠＝90°，⊥于D，则下列结论中，正确的个数有（ ）
①⊥ ②与互相垂直 ③点C到的垂线段是线段 ④线段的长度是点B到的距离 ⑤垂线段是点B到的距离 ⑥＞
A．0 B． 2 C．4 D．6

05．点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且＝4，＝5，＝6，则点P到直线l的距离是（ ）
A．4 B．5 C．小于4 D．不大于4
06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠＋∠＝ .
A
B
C
D
O
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
c
第6题图
第7题图
第9题图
1
2
3
4
5
6
7
8
1

07．如图，矩形沿对折，且∠＝72°，则∠＝ .
08．在同一平面内，若直线a1∥a22⊥a33∥a4,…则a1 a10.（a1与a10不重合）
09．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是 .
10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .
A
C
D
E
B
11．如图，已知平分∠，平分∠，且∠E＝∠＋∠．试说明∥？

12．如图，已知平分∠，平分∠，∠1＝∠2，那么直线与的位置关系如何？

13．如图，推理填空：
⑴∵∠A＝ （已知）
∴∥（ ）
⑵∵∠2＝ （已知）
∴∥（ ）
⑶∵∠A＋ ＝180°（已知）
∴∥．

14．如图，请你填上一个适当的条件 使∥．
A
B
C
D
E
F
第14题图

A
B
C
D
E
F
1
2

培优升级·奥赛检测
01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（ ）
A．1，3 B．0，1，3 C．0，2，3 D．0，1，2，3
A
B
C
D
E
F
02．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（ ）部分.
A．60 B． 55 C．50 D．45
03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（ ）个交点.
A．35 B． 40 C．45 D．55
04．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有 交点.
05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a、b是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.
a
b

06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（ ）
A．3 B．1或3 C．1或2或3 D．不一定是1，2，3
07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？

08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？

A
B
C
09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线、，那么两条对角线的夹角等于（ ）
A．60° B． 75° C．90° D．135°

10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？
⑴任意两条直线都有交点；
⑵总共有29个交点.
第13讲 平行线的性质及其应用
考点·方法·破译
1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；
2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；
3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.
经典·考题·赏析
【例１】如图，四边形中，∥， ∥，∠A＝38°，求∠CC
B
A
D
的度数.
【解法指导】
两条直线平行，同位角相等；
两条直线平行，内错角相等；
两条直线平行，同旁内角互补.
平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.
【解】：∵∥ ∥
∴∠A＋∠B＝180° ∠B＋∠C＝180°(两条直线平行，同旁内角互补)
∴∠A＝∠C ∵∠A＝38° ∴∠C＝38°

【变式题组】
01．如图，已知∥，点E在的延长线上，若∠＝155°，则∠的度数为（ ）
A．155° B．50° C．45° D．25°
（第1题图）
E
D
C
B
A
3
2
1
l1
l2
（第2题图）
E
A
B
D
α
1
2
C
F
（第3题图）

02．（安徽）如图，直线l1 ∥ l2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ）
A． 50° B． 55° C． 60° D．65°
03．如图，已知∥∥，∠α：∠D：∠B＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D、∠B的度数.

E
A
F
G
D
C
B
【例２】如图，已知∥∥，⊥，∠B＝60°，∠＝45°，求∠的度数.
【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.
【解】∵∥∥ ∴∠B＝∠ ∠F＝∠(两条直线平行，内错角相等)又∵∠B＝60° ∠＝45° ∴∠＝60° ∠＝45° 又∵⊥ ∴∠＝90°（垂直定理） ∴∠＝90°－45°＝45° ∴∠＝60°－45°＝15°
【变式题组】
01．如图，已知∥, 且平分∠，∠B＝48°，则∠C的的度数＝
B
A
M
C
D
N
P
（第3题图）
A
B
C
D
O
E
F
A
E
B
C
（第1题图）
（第2题图）

02.如图,已知∠＋∠＝120°，、分别∠、∠，过点O与平行，则∠＝
03．如图，已知∥ ∥, 平分∠，∠A＝40°，∠D＝50°，求∠的度数.

【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D． 求证：∠A＝∠F.
【解法指导】
因果转化，综合运用.
逆向思维：要证明∠A＝∠F，即要证明∥．
要证明∥, 即要证明∠D＋∠＝180°，
即：∠C＋∠＝180°；要证明∠C＋∠
＝180°即要证明∥． 要证明∥即要
证明∠1＝∠3.
C
D
A
B
E
F
1
3
2
证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴∥（同位角相等•两直线平行）∴∠＋∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C＝∠D ∴∠＋∠D＝180° ∴∥（同旁内角，互补两直线平行）∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）

G
B
3
C
A
1
D
2
E
F
（第1题图）
【变式题组】
01．如图，已知∥，∠1＝∠2，求证：∥

A
2
C
F
3
E
D
1
B
（第2题图）

02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B． 求证：∠＝∠

03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线平行

α
O
θ
β
B
于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B平行
于α，则角θ等于.

【例４】如图，已知⊥，⊥，∠1＝∠3.
3
1
A
B
G
D
C
E
求证：平分∠．
【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析
条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论
的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的：
∠1＝∠3）
证明：∵⊥，⊥ ∴∠＝∠＝90°
（垂直定义）∴∥（同位角相等，两条直线平行）
∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠（两条直线平行，内错角相等）
∴平分∠（角平分线定义）
【变式题组】
D
A
2
E
1
B
C
01．如图，若⊥于E，∠1＝∠2，求证：⊥．

B
F
E
A
C
D
02．如图，在△中，⊥于⊥于F, ∥，平分∠． 求证：∠＝∠.

3．已知如图，∥，∠B＝40°，是∠的平分线. ⊥，求：∠的度数.
A
D
M
C
N
E
B

【例５】已知，如图，∥，求证：∠＋∠＋∠＝360°
F
E
D
2
1
A
B
C
【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比，
联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.
过点C作∥即把已知条件∥联系起来，这是关键.
【证明】：过点C作∥ ∵∥ ∴∠1＋∠＝180°
(两直线平行，同旁内角互补) 又∵∥，∴∥（平行
于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠＝180°(两直线平行，
同旁内角互补) ∴∠＋∠1＋∠2＋∠＝180°＋180°＝360°
即∠＋∠＋∠＝360°
【变式题组】
01．如图，已知，∥，分别探究下面四个图形中∠和∠、∠的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.
结论：⑴ ⑵
⑶ ⑷
B
A
P
C
A
C
C
D
A
A
P
C
B
D
P
B
P
D
B
D
⑴
⑵
⑶
⑷

【例６】如图，已知，∥，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是
3
2
1
γ
4
ψ
D
α
β
E
B
C
A
F
H
∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180°
α
β
P
B
C
D
A
∠P＝α＋β
【解法指导】基本图形

善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路.
【解】过点E作∥． 过点F作∥． ∵∥ ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵∥ ∴∥（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵∥ ∴∥（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°
【变式题组】
01．如图， ∥，∠C＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（ ）
A． ∠β＝∠α＋∠γ B．∠β＋∠α＋∠γ＝180°
C． ∠α＋∠β－∠γ＝90° D．∠β＋∠γ－∠α＝90°

F
D
E
B
C
A
F
γ
D
α
β
E
B
C
A
02．如图，已知，∥，∠和∠的平分线相交于点F，∠E＝140°，求∠的度数.

【例７】如图，平移三角形，设点A移动到点，画出平移后的三角形.
B
C
A
A′
l
B′
C′
【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连.
⑴定：确定平移的方向和距离.
⑵找：找出图形的关键点.
⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点.
⑷连: 按原图形顺次连接对应点.
【解】①连接 ②过点B作的平行线l ③在l截取＝,则点就是的B对应点，用同样的方法作出点C的对应点.连接，，就得到平移后的三角形.
【变式题组】
01．如图，把四边形按箭头所指的方向平移21，作出平移后的图形.
D
B
C
A

02．如图,已知三角形中，∠C＝90°, ＝4，＝4，现将△沿方向平移到△的位置，若平移距离为3, 求△与△的重叠部分的面积. B

A

C

03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着方向平移的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）
D
5
3
8
A
F
C
B
E

西
B
30°
A
北
东
南
演练巩固 反馈提高
01．如图，由A测B得方向是（ ）
A．南偏东30° B．南偏东60°
C．北偏西30° D．北偏西60°

02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130° D．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°
04．下列命题中，正确的是（ ）
A．对顶角相等 B． 同位角相等 C．内错角相等 D．同旁内角互补
05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]
P .
P .
P .
P .
⑴
⑵
⑶
⑷

从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
06．在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°.现A、B两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是（ ）
A．北偏东52° B．南偏东52° C．西偏北52° D．北偏西38°

07．下列几种运动中属于平移的有（ ）
①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）

09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（ ）

10．如图，∥，∥，⊥，现将△进行平移. 平移方向为射线的方向. 平移距离为线段的长，则平移得到的三角形是图中（ ）图的阴影部分.
D
E
A
B
C
E
D
B
C
E
D
A
B
C
E
D
A
B
C
E
D
A
B
C

11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.
⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；
⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.

12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.
⑴互补的角是邻补角；
⑵两个锐角的和是锐角；
⑶直角都相等.

13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路恰好和道路平行，问∠C是多少度？并说明理由.

150°
120°
D
B
C
E
湖

14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成64°角. 当小船行驶到河中F点时，看B点和D点的视线、恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F与码头B、D所形成的角∠的度数吗？
4
3
2
1
A
B
E
F
C
D

15．如图，∥，∠1＝∠2，试说明∠E和∠F的关系.
4
P
2
3
1
A
B
E
F
C
D

培优升级·奥赛检测
F
A
D
E
C
B
01．如图，等边△各边都被分成五等分，这样在△内能与△完成重合的小三角形共有25个，那么在△内由△平移得到的三角形共有（ ）个

.
B
.
O
. A
02．如图，一足球运动员在球场上点A处看到足球从B点沿着方向匀速滚来，运动员立即从A处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移）
C
B1
A
A1
C1
D1
B
D
03．如图，长方体的长＝4，宽＝3，高1＝2. 将平移到A1C1的位置上时，平移的距离是,平移的方向是.
04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a，竖直方向的边长为b）；将线段A1A2向右平移1个单位得到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1 [即阴影部分如图⑴];将折现A1A2 A3向右平移1个单位得到B1B2B3，得到封闭图形A1A2 A3B3B2B1 [即阴影部分如图⑵];
⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.
⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S1＝, S2＝, S3＝.
⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是A2
B2
A3
B3
B4
A4
A1
B1
草地
草地
A1
B2
⑵
B1
A2
B2
A1
B1
A3
B3
A2
⑴
⑶
⑷
⑸
多少？

05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（ ）
A．720° B．108°或144° C．144° D．720°或144°
06．两条直线a、b互相平行，直线a上顺次有10个点A1、A2、…、A10，直线b上顺次有10个点B1、B2、…、B9，将a上每一点与b上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（ ）
A．90 B．1620 C．6480 D．2006

07．如图，已知∥，∠B＝100°，平分∠，⊥. 求∠和∠.
F
E
B
A
C
G
D
100°

F
E
B
A
C
G
D
08．如图，∥，∠＝30°，∠＝60°，、三等分∠． 问：与中有没有与平行的直线？为什么？

09．如图，已知直线∥，∠C＝∠＝100°，E、F在上，且满足∠＝∠，平分∠.
⑴求∠的度数；
⑵若平行移动，那么∠：∠的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.
F
E
B
A
C
O
⑶在平行移动的过程中，是否存在某种情况，使∠＝∠？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.

10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.

A
B
C
D
11．如图，正方形的边长为5,把它的对角线分成n段，以每一小段为对角线作小正方形，这n个小正方形的周长之和为多少？

12．如图将面积为a2的小正方形和面积为b2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？
B
D
C
F
A
E

第06讲 实 数
考点·方法·破译
1．平方根与立方根：
若＝a(a≥0)则x叫做a的平方根，记为：a的平方根为x＝±，其中a的平方根为x＝叫做a的算术平方根．
若x3＝a，则x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x＝．
2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数（p、q是两个互质的整数，且q≠0）的形式．
3非负数：
实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即>0，≥0（n为正整数），≥0(a≥0) ．
经典·考题·赏析
【例1】若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值．
【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m −4与3m−l是同一个数的平方根，∴2m−4 ＋3m−l＝0，5m＝5，m＝l．
【变式题组】
01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是．
02．已知m是小于的最大整数，则m的平方根是．
03．的立方根是．
04．如图，有一个数值转化器，当输入的x为64时，输出的y是．
输入x
取算术平方根
输出y
是无理数
是有理数

【例2】（全国竞赛）已知非零实数a、b满足，则a＋b等于( )
A．－1 B． 0 C．1 D．2
【解法指导】若有意义，∵a、b为非零实数，∴b2>0∴a－3≥0 a≥3
∵
∴，∴．
∴，∴，故选C．

【变式题组】
0l．在实数范围内，等式＝0成立，则＝．
02．若，则的平方根是．
03．（天津）若x、y为实数，且，则的值为（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
04．已知x是实数，则的值是( )
A． B． C． D．无法确定
【例3】若a、b都为有理效，且满足．求a＋b的平方根．
【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵，
∴ 即，∴，
a ＋b＝12 ＋13＝25．
∴a＋b的平方根为：．
【变式题组】
01．（西安市竞赛题）已知m、n是有理数，且（＋2）m＋(3－2)n＋7＝0求m、n．

02．（希望杯试题）设x、y都是有理数，且满足方程（）x＋（）y−4−＝0，则x−y＝．

【例4】若a为−2的整数部分，b−1是9的平方根，且，求a＋b的值．
【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成，−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分＝−2 −2＝−4．∵a＝2，b−1＝±3 ，∴b＝－2或4
∵．∴a<b ，∴a＝2， b＝4，即a＋b＝6．
【变式题组】
01．若3＋的小数部分是a，3−的小数部分是b，则a＋b的值为．
02．的整数部分为a，小数部分为b，则（＋a）·b＝．
演练巩固 反馈提高
0l．下列说法正确的是( )
A．－2是(－2)2的算术平方根 B．3是－9的算术平方根
C． 16的平方根是±4 D．27的立方根是±3
02．设，b＝ －2，，则a、b、c的大小关系是( )
A．a<b<c B．a<c<b C． b<a<c D．c<a<b
03．下列各组数中，互为相反数的是( )
A．－9与81的平方根 B．4与 C．4与 D．3与
04．在实数1.414，，0.1(•)5(•)，5−，，3.1(•)4(•)，中无理数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D． 5个

05．实数a、b在数轴上表示的位置如图所示，则( )
A．b>a B．
C． －a＜b D．－b>a

06．现有四个无理数，，，，其中在＋1与＋1之间的有( )
A． 1个 B．2个 C． 3个 D ．4个
07．设m是的平方根，n＝．则m，n的关系是( )
A. m＝±n ＝n C ＝－n D.
08．（烟台）如图，数轴上 A、B两点表示的数分别为－1和，点B关于点A的对称点C，则点C所表示的数为( )

A．－2 B．－1 C．－2 ＋ D．l ＋
09．点A在数轴上和原点相距个单位，点B在数轴上和原点相距3个单位，且点B在点A左边，则A、B之间的距离为．
10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，，…，，．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选个数．
11．对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算※如下：a※b＝，如3※2＝＝．那么12.※4＝．
12．（长沙中考题）已知a、b为两个连续整数，且a< <b，则a＋b＝．
13．对实数a、b，定义运算“*”，如下a*b＝，已知3*m ＝36，则实数m＝．
14．设a是大于1的实数．若a，，在数轴上对应的点分别是A、B、C，则三点在数轴上从左自右的顺序是．
15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是．

16．已知整数x、y满足＋2＝，求x、y．

17．已知2a−1的平方根是±3，3a＋b−1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．

18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)求此时B点所对的数；(2)求圆心O移动的路程．

19．若b＝ ＋ ＋3l，且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求（−2）(3 ＋4)的平方根与立方根．

20．若x、y为实数，且（x−y＋1）2与互为相反数，求的值．

培优升级 奥赛检测
01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a−