人教版七年级数学上图形的规律和线段及角度的计算专题训练含答案.docx

专题训练(一) 图形的规律探索教材 P70T10 的变式与应用教材母题：(教材P70T10)如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”(包括两个顶点)有 n(n1)个点，每个图形总的点数 S 是多少？当 n5，7，11 时，S 是多少？【思路点拨】 观察图形，可得到点的 总数 S 与 n 之间的关系，用含 n 的式子表示 S，便可分别求出当 n5，7，11 时，S 的值【解答】 观察图形，当 n2 时，有两排点，总的点数为 123(个)；当 n3 时，有三排点，总的点数为 1236(个)；当 n4 时，有 四排 点，总的点数为 12249(个)；当 n5 时，有五排点，总的点数为 1222512(个)根据此规律，可知点的总数 S12(n2)n3n3，当 n7 时，S37318；当 n11 时，S311330.故当 n5，7，11 时，S 的值分别是 12，18，30.【方法归纳】 解决图形规律探索问题，首先从简单的基本图形入手，随着“序 号”或“编号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上的变化情况或图形变化情况，找出变化规律，从而推出一般性结论1如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，其中图1 需要 4 根小棒，图 2 需要10 根小棒，按此规律摆下去，则第 11 个图案所需小棒的根 数为(C)A70B68C64D582(荆州中考)如图，用黑白两种颜色的纸片，按黑色纸片数逐渐增加 1 的规律拼成下列图案若第 n 个图案中有 2 017 个白色纸片，则 n 的值为(B)A671B672C673D6743(益阳中考)小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第 1 个图案有 1 枚棋子，第2 个图案有 3 枚棋子，第3 个图案有 4 枚棋子，第4 个图案有 6 枚棋子，那么第9 个图案的棋子数是 13 枚4如图是用棋子摆成的图案：1 根据图中棋子的排列规律解决下列问题：(1)第 4 个图中有 22 枚棋子，第 5 个图中有 32 枚棋子；(2)写出你猜想的第 n 个图中棋子的枚数(用含 n 的式子表 示)是 n2n25下面是用棋子摆成的“小房子”摆第 10 个这样的 “小房子”需要多 少枚棋子？摆第n 个这样的“小房子”呢？你是如何得到的？解：第 1 个“小房子”，下边正方形棋子 4244(枚)，上边 1 枚 ，共 415(枚)；第 2 个“小房子”，下边正方形棋子 4348(枚)，上边 3 枚，共 8311(枚)；第 3 个“小房子”，下边正方形棋子 44 412(枚)，上边 5 枚，共12517(枚)；第 4 个“小房子”，下边正方形棋子 45416(枚)，上边 7 枚 ，共 167 23(枚)；第 n 个“小房子”，下边正方形棋子 4(n1)44n(枚)，上边(2n1)枚，共 4n2n1(6n1)(枚)当 n10 时，6n1610159(枚)专题训练(二) 线段的计算教材 P128 练习 T3 的变式与应用教材母题：(教材 P128 练习 T3)如图，点 D 是线段 AB 的中点，C 是线段 AD 的中点，若 AB4 cm，求线段 CD 的长度【解答】 因为点 D 是线段 AB 的中点，AB4 cm，11所以 AD AB 42(c m)22因为 C 是线段 AD 的中点，11所以 CD AD 21(cm)22【方法归纳】 结合图形，将待求线段长转化为已知线段的和、差形式若题目中出现线段的中点，常利用线段中点的性质，结合线段的和、差、倍、分关系求解同时应注意题目中若没有图形，或点的位置关系不确定时，常需要分类讨论，确保答案的完整性2 1如图，线段 AB22 cm，C 是线段 AB 上一点，且 AC14 cm，O 是 AB 的中 点，求线段 OC的长度解：因为点 O 是线段 AB 的中点，AB22 cm，1所以 AO AB11 c m.2所以 OCACAO14113(cm)2如图，已知 C 是 AB 的中点，D 是 AC 的中点，E 是 BC 的中点(1)若 DE9 cm，求 AB 的长；(2 )若 CE5 cm，求 DB 的长解：(1)因为 D 是 AC 的中点，E 是 BC 的中点，所以 AC2CD，BC2CE.所以 ABACBC2DE18 cm.(2)因为 E 是 BC 的中点，所以 BC2CE10 c m.因为 C 是 AB 的中点，D 是 AC 的中点，11所以 DC AC BC5 cm.22所以 DBDCBC51015(cm)3如图，B，C 两点把线段 AD 分成 253 三部分，M 为 AD 的中点，BM6 cm，求 CM 和AD 的长解：设 AB2x cm，BC5x cm，CD3x cm，所以 ADABBCCD10x cm.因为 M 是 AD 的中点，1所以 AMMD AD5x cm.2所以 BMAMAB5x2x3x(cm)因为 BM 6 cm，所以 3x6，x2.故 CMMDCD5x3x2x224(cm)，AD10x 10220(cm)34如图，线段 AB1 cm，延长 AB 到 C，使得 BC AB，反向延长 AB 到 D，使得 BD2BC，2在 线段 CD 上有一点 P， 且 AP2 cm.(1)请按题目要求画出线段 CD，并在图中标出点 P 的位置；3 (2 )求出线段 CP 的长度解：(1)线段 CD 和点 P 的位置如图 1、2 所示(2)因为 AB1 cm，33所以 BC AB cm.22所以 BD2BC3 cm.1当点 P 在点 A 的右边时，CPABBCAP cm；29当点 P 在点 A 的左边时，点 P 与点 D 重合，CPBDBC cm.2专题训练(三) 角的计算类型 1 利用角度的和、差关系找出待求的角与已知角的和、差关系，根据角度和、差来计算1如图，已知AOCBOD75，BOC30，求AOD 的度数解：因为AOC75，BOC30，所以AO BAOCBOC753045.又因为BOD75，所以AODAOBBOD4575120.2将一副三角板的两个顶点重叠放在一起(两个三角板中的锐角分别为 45、45和 30、60)(1)如图 1 所示，在此种情形下，当DAC4BAD 时， 求CAE 的度数；( 2)如图 2 所示，在此种情形下，当ACE3BCD时，求ACD 的度数解：(1)因为BADDAC90，DAC4B AD，所以 5BAD90，即BAD18.所以DAC41872.因为 DAE90，所以CAEDAEDAC18.4 (2)因为BCEDCEBCD60BCD，ACE3BCD，所以ACBACEBCE3BCD60BCD90.解得BCD15.所以ACDACBBCD9015105.类型 2 利用角平分线的性质角的平分线将角分成两个相等的角，利用角平分线的这个性质，再结合角的和、差关系进行计算3如图，点 A，O，E 在同一直线上，AOB40，EOD2846，OD 平分COE，求COB 的度数解：因为EOD2846，OD 平分COE，所以COE2EOD228465732.又因为AOB40，所以COB180AOBCOE1804057328228.4已知AOB40，OD 是BOC 的平分线(1)如图 1，当AOB 与BOC 互 补时，求COD 的度数；(2)如图 2，当AOB 与BOC 互余时，求COD 的度数解：(1)因为AOB 与BOC 互补，所以AOBBOC 180.又因为AOB40，所以BOC18040140.因为 OD 是BOC 的平分线，1所以COD BOC70.2(2)因为AOB 与BOC 互余，所以AOBBOC90.又因为AOB40，所以BOC904050.因为 OD 是BOC 的平分线 ，1所以COD BOC25.2类型 3 利用方程思想求解在解决有关余角、补角，角的比例关系或倍分关系问题时，常利用方程思想来求解，即5 通过设未知数，建立方程，通过解方程使问题得以解决25一个角的余角比它的补角的 还少 40，求这个角的度数3解：设这个角的度数为 x，根据题意，得290x (180x)40.3解得 x30.所以这个角的度数是 30.6如图，已知AOE 是平角 ，DOE20，OB 平分AOC，且CODBOC23，求BOC的度数解：设COD2x，则BOC3x.因为 OB 平分AOC，所以AOB3x.所以 2x3x3x20180.解得 x20.所以BOC32060.17如图，已知AOB BOC，CODAOD3AOB，求AOB 和COD 的度数2解：设AOBx，则CODAOD3AOB3x.1因为AOB BOC，2所以BOC2x.所以 3x3x2xx360.解得 x40.所以AOB40，COD120.类型 4 利用分类讨论思想求解在角度计算中，如果题目中无图，或补全图形时，常需分类讨论，确保答案的完整性28已知AOB75，AOC AOB，OD 平分AOC，求BOD 的大小32解：因为AOB75，AOC AOB，36 2所以AOC 7550.3因为 O D 平分AOC，所以AODCOD25.如图 1，BOD7525100；如图 2，BOD752550.9已知：如图，OC 是AOB 的平分线(1)当AOB60时，求AOC 的度数；( 2)在(1)的条件下，EOC90，请在图中补全图形，并求AOE 的度数；( 3)当AOB 时，EOC90，直接写出AOE 的度数(用含 的代数式表示)解：(1)因为 OC 是AOB 的平分线，1所以AOC AOB.2因为AOB60，所以AOC30.(2)如图 1，AOEEOCAOC9030120；如图 2，AOEEOCAOC903060. (3)90 或 90 .227通过设未知数，建立方程，通过解方程使问题得以解决25一个角的余角比它的补角的 还少 40，求这个角的度数3解：设这个角的度数为 x，根据题意，得290x (180x)40.3解得 x30.所以这个角的度数是 30.6如图，已知AOE 是平角 ，DOE20，OB 平分AOC，且CODBOC23，求BOC的度数解：设COD2x，则BOC3x.因为 OB 平分AOC，所以AOB3x.所以 2x3x3x20180.解得 x20.所以BOC32060.17如图，已知AOB BOC，CODAOD3AOB，求AOB 和COD 的度数2解：设AOBx，则CODAOD3AOB3x.1因为AOB BOC，2所以BOC2x.所以 3x3x2xx360.解得 x40.所以AOB40，COD120.类型 4 利用分类讨论思想求解在角度计算中，如果题目中无图，或补全图形时，常需分类讨论，确保答案的完整性28已知AOB75，AOC AOB，OD 平分AOC，求BOD 的大小32解：因为AOB75，AOC AOB，36 2所以AOC 7550.3因为 O D 平分AOC，所以AODCOD25.如图 1，BOD7525100；如图 2，BOD752550.9已知：如图，OC 是AOB 的平分线(1)当AOB60时，求AOC 的度数；( 2)在(1)的条件下，EOC90，请在图中补全图形，并求AOE 的度数；( 3)当AOB 时，EOC90，直接写出AOE 的度数(用含 的代数式表示)解：(1)因为 OC 是AOB 的平分线，1所以AOC AOB.2因为AOB60，所以AOC30.(2)如图 1，AOEEOCAOC9030120；如图 2，AOEEOCAOC903060. (3)90 或 90 .227