初一数学一元一次方程应用题专题.docx

初一数学一元一次方程
应用题专题
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

一元一次方程应用题归类
列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种
方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的
一个重要方面；下面老师就从以下几个方面分门别类的对常见的数学问题加以阐
述，希望对同学们有所帮助.
1. 和、差、倍、分问题：
（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之
几，增长率……”来体现。
（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。
例 1.根据 2001 年 3 月 28 日新华社公布的第五次人口普查统计数据，截止到 2000
年 11 月 1 日 0 时，全国每 10 万人中具有小学文化程度的人口为 35701 人，比 1990
年 7 月 1 日减少了 3.66%，1990 年 6 月底每 10 万人中约有多少人具有小学文化程
度？
2. 等积变形问题：
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：
①形状面积变了，周长没变；
②原料体积＝成品体积。
例 2. 用直径为 90mm 的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为
125´125mm
2内高为 81mm 的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少 mm
» 3.1 4
（结果保留整数p
）
3. 劳力调配问题：
这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：
（1）既有调入又有调出；
（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；
（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。
2

例 3. 机械厂加工车间有 85名工人，平均每人每天加工大齿轮 16个或小齿轮
10个，已知 2个大齿轮与 3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、
小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
4. 比例分配问题：
这类问题的一般思路为：设其中一份为 x，利用已知的比，写出相应的代数式。
常用等量关系：各部分之和＝总量。
例 4. 三个正整数的比为 1：2：4，它们的和是 84，那么这三个数中最大的数是
几？
5. 数字问题
（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为 a，十位数字是 b，个
位数字为 c（其中 a、b、c均为整数，且 1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三
位数表示为：100a+10b+c。
（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大 1；
偶数用 2n表示，连续的偶数用 2n+2或 2n—2表示；奇数用 2n+1或 2n—1表示。
例 5. 一个两位数，个位上的数是十位上的数的 2倍，如果把十位与个位上的数对
调，那么所得的两位数比原两位数大 36，求原来的两位数
6. 工程问题：
工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间
经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位 1。
例 6. 一件工程，甲独做需 15天完成，乙独做需 12天完成，现先由甲、乙合作 3
天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
7. 行程问题：
3

（1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程=速度×时间。
（2）基本类型有
① 相遇问题；② 追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问
题。
（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般
情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。
例 7. 甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 90 公里，
一列快车从乙站开出，每小时行 140 公里。
（1）慢车先开出 1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两
车相遇？
（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距 600 公里
（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距
600 公里
（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
（5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时
追上慢车？
此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合
图形分析。
8. 利润赢亏问题
（1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等
（2）有关关系式：
商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价
商品利润率=商品利润/商品进价
商品售价=商品标价×折扣率
4

例 8. 一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价，又以 8折优惠卖出，结果每件
仍获利 15元，这种服装每件的进价是多少?
进价
利润
x 元
8 折
（1+40%）x元 80%（1+40%）x 15元
9.储蓄问题
(1) 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本
息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的 20%付利息税
(2) 利息=本金×利率×期数
本息和=本金+利息
利息税=利息×税率（20%）
例 9. 某同学把 250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和
252.7元，求银行半年期的年利率是多少（
不计利息税）
此处还有“方案决策问题 鸡兔同笼问题 购票问题 积分问题 航行问题”等
一、选择题。（每题 3分）
1. 现在儿子的年龄是 8岁，父亲的年龄是儿子年龄的 4倍，（ ）年后父亲的年
龄是儿子年龄的 3倍。
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
2. 某班组每天需生产 50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该
班组每天比计划多生产了 6个零件，结果比规定的时间提前 3天并超额生产 120个
零件，若设该班组要完成的零件任务为 x个，则可列方程为（
）
x +120
x
x
x
A.
C.
-
= 3
B.
-
= 3
50
50 + 6
50 50 + 6
x x +120
-
x +120 x
= 3
D.
- = 3
50 50 + 6
50 + 6 50
5

3. 一个两位数，它的十位数字加上个位数字的 7倍，还是等于这个两位数，这样的
两位数有（
）。
B. 3 个
A. 2 个
C. 4 个
D. 5 个
4. 把含酒精 60%的溶液 9000克，变为含酒精 40%的溶液则需加水量是（
A. 4500克 B. 3500克 C. 450克 D. 350克
5. 某商品的销售价为 225元，利润率为 25%，那么该商品的进价应该为（
A. 180元 B. 200元 C. 225元 D. 250元
6. 甲、乙二人去商店买东西，他们所带钱数的比是 7：6，甲用掉 50元，乙用掉 60
元，则二人余下的钱数比为 3：2，求二人余下的钱数分别是（
）
）
）
A. 140元、120元
C. 80元、80元
B. 60元、40元
D. 90元、60元
7. 一蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管 20小时可注满水池，两管齐开只需 12
小时，那么单开乙管需（
A. 32 B. 30
）小时。
C. 8
D. 以上答案均不对
8. 某电视机厂 10月份产量为 10万台，以后每月增长率为 5%，那么到年底再能生产
（
）万台。
( )
A. 10 1+ 5%
( )
2
( )
3
B. 10 1+ 5%
C. 10 1+ 5%
D.
( ) ( )
2
10 1+ 5% +10 1+ 5%
9. 甲、乙两人练习百米赛跑，甲的速度是 6.5米/秒，乙的速度是 7米/秒，若乙让
甲先跑 1秒，则乙追上甲需（ ）。
A. 14秒 B. 13秒 C. 7 秒
二. 填空题。（每空 2分）
D. 6.5秒
1. 三角形三边长之比为 7：5：4，若中等长度的一边长的两倍比其它两边长的和少
3cm，则三角形的周长为___________。
6

2. 某中学的实验室需含碘 20%的碘酒，现有含碘 25%的碘酒 350克，应加纯酒精
________克。
3. 要锻造一个直径为 8cm，高为 4cm的圆柱形毛坯，至少应截取直径为 4cm的圆钢
______cm。
4. 甲仓库有煤 360吨，乙仓库有煤 520吨，从甲仓库取出 x吨，运到乙仓库，这时
甲仓库有煤______吨，乙仓库有煤______吨，如果这时甲仓库的煤数是乙仓库煤
数的一半，那么根据这个条件列出的方程是_________。
5. 一项工程，甲独做 a天可以完成，乙独做 b天可以完成，那么甲每天的工作效率
是_______，乙每天的工作效率是________；如果两人合做 m天，那么甲完成这
项工程的________，乙完成这项工程的________，两人共完成这项工程的
_________，还余下工程的_________。
6. 若一艘轮船在静水中的速度是 7千米/小时，水的速度为 2千米/小时，那么这艘
轮船逆流而上的速度为_________，顺流而下的速度为__________。
7. 甲、乙两人同时从相距 27千米的 A、B两地相向而行，3小时后相遇，如果甲比
乙每小时多走 1千米，求甲、乙两人的速度。
本题的一个等量关系式是____
设乙的速度为每小时 x千米，则甲的速度为每小时_______千米；
列出相应的方程为____ _____；解得，甲的速度为每小时________千
________。
米，乙的速度为每小时________千米。
三、解答题。（每题 5分）
1. 在一次区里举办的知识竞赛中，某校代表队的平均分是 88分，其中女生的平均
成绩比男生高 10%，而男生人数比女生人数多 10%，问男、女生的平均成绩各是多
少分？
7

2. 已知圆柱的底面直径是 60 毫米，高为 100 毫米，圆锥的底面直径是 120 毫米，
且圆柱的体积比圆锥的体积多一半，求圆锥的高是多少？
3. 圆周长 60 米，甲、乙两物体沿圆周在同一个点同时同向运动（甲比乙快）每隔
15 秒相遇一次，若在同一个点同时反向运动，则每隔 5 秒相遇一次，求甲、乙两物
体的运动速度。
4. 有一人问老师，他所教的班级有多少学生，老师说：“一半学生在学数学，四分
之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还剩不足六位学生正在操场踢足
球。”你知道这个班有多少学生吗？
5. 由于洪水渗漏造成堤坝内积水，用三部抽水机抽水，单独用一部抽水机抽尽，第
一部需用 24 小时，第二部需用 30 小时，第三部需用 40 小时。现在第一部、第二部
共同抽 8 小时后，第三部也加入，问从开始到结束，一共用了多少小时才把水抽
掉？
6. 有两个两位数，其十位数字均是个位数字的一半，第二个数的十位数字比第一个
数的十位数字小 1，第一个数加上第二个数后仍为两位数，且和恰为原来第一数十位
与个位上数字交换后所得数，求第一个两位数。
7. 商店里有种皮衣，每件售价 600 元可获利 20%，现在客户以 2800 元总价购买了若
干件皮衣，而商家仍有 12%的利润，问客户买了几件皮衣？
一. 选择题。
8

1. C 2. C 3. B 4. A 5. A 6. D 7. B
8. D 9. B
二. 填空题。
520 + x
1. 48cm
2. 87.5克 3.16 4. 360 - ，520 + ，360 - =
x
x
x
2
1 1 m m
5. 、 、 、 、
a b
1 1
1 1
+
a b
æ
mç
è
ö
ø
æ
mç
è
ö
÷
ø
+ 、1-
6. 5千米/小时、9千米/小时
÷
a
b
a b
( )
( )
7. 甲的行程＋乙的行程＝A、B两地间的距离， x + 1 ，3x + 3 x + 1 = 27 、5、4
三. 解答题。
1. 设女生人数为 x人，则男生为 1.1x人
设男生平均分 a分，则女生平均分为 1.1a分
则1.1ax + 1.1xa = 88 x + 1.1x)
(
\2 .2 ax = 184.8x
\1.1a = 1.1´84 = 92.4
x ¹ 0，\2.2a = 184.8，\a = 84
1
120ö
è 2 ø
1
60
æ ö
è 2 ø
æ
2
æ
ö
2
2. 设圆锥高为 x毫米， p ´
× ´ 1+
= p ´
´100， x = 50，圆锥
ç
÷ x ç
÷
ç ÷
3
è 2ø
高为 50mm。
60
60
3. 提示：甲、乙两速度之差为 = 4（米/秒），甲、乙两速度之和为 = 12
15
5
（米/秒），甲 8米/秒，乙 4米/秒。
4. 设这个班有学生 x人，踢足球的有 a人，则 x、a都是自然数，且1£ a < 6，根
x x x
a x
28
3
据题意列出方程 + + + = ，\ =
， a是 3的倍数，但只能取 1、2、
\
x
a
2 4 7
3、4
\a = 3，\ x = 28 。
5. 设从开始到结束共抽水 x小时，
1
1
1
1
1
æ
ö ( ) æ
ö
8 ´
+
+ x - 8
+
+
= 1，x = 12 ，
÷
ç
÷
ç
è 24 30ø
è 24 30 40ø
从开始到结束共抽水 12小时
6. 设第一个两位数十位数字为 x，则个位数字为 2x，
9

( ) ( )
10x + 2x + 10 x - 1 + 2 x - 1 = 10 ´ 2x + x
(
)
12x + 12x - 12 = 10×2x + x ， x = 4，第一个两位数是 48。
600
600
7. 设客户买了 x件皮衣， 2800 -
= 12%´
， x = 5
x
x
1+ 20%
1+ 20%
10

1. C 2. C 3. B 4. A 5. A 6. D 7. B
8. D 9. B
二. 填空题。
520 + x
1. 48cm
2. 87.5克 3.16 4. 360 - ，520 + ，360 - =
x
x
x
2
1 1 m m
5. 、 、 、 、
a b
1 1
1 1
+
a b
æ
mç
è
ö
ø
æ
mç
è
ö
÷
ø
+ 、1-
6. 5千米/小时、9千米/小时
÷
a
b
a b
( )
( )
7. 甲的行程＋乙的行程＝A、B两地间的距离， x + 1 ，3x + 3 x + 1 = 27 、5、4
三. 解答题。
1. 设女生人数为 x人，则男生为 1.1x人
设男生平均分 a分，则女生平均分为 1.1a分
则1.1ax + 1.1xa = 88 x + 1.1x)
(
\2 .2 ax = 184.8x
\1.1a = 1.1´84 = 92.4
x ¹ 0，\2.2a = 184.8，\a = 84
1
120ö
è 2 ø
1
60
æ ö
è 2 ø
æ
2
æ
ö
2
2. 设圆锥高为 x毫米， p ´
× ´ 1+
= p ´
´100， x = 50，圆锥
ç
÷ x ç
÷
ç ÷
3
è 2ø
高为 50mm。
60
60
3. 提示：甲、乙两速度之差为 = 4（米/秒），甲、乙两速度之和为 = 12
15
5
（米/秒），甲 8米/秒，乙 4米/秒。
4. 设这个班有学生 x人，踢足球的有 a人，则 x、a都是自然数，且1£ a < 6，根
x x x
a x
28
3
据题意列出方程 + + + = ，\ =
， a是 3的倍数，但只能取 1、2、
\
x
a
2 4 7
3、4
\a = 3，\ x = 28 。
5. 设从开始到结束共抽水 x小时，
1
1
1
1
1
æ
ö ( ) æ
ö
8 ´
+
+ x - 8
+
+
= 1，x = 12 ，
÷
ç
÷
ç
è 24 30ø
è 24 30 40ø
从开始到结束共抽水 12小时
6. 设第一个两位数十位数字为 x，则个位数字为 2x，
9

( ) ( )
10x + 2x + 10 x - 1 + 2 x - 1 = 10 ´ 2x + x
(
)
12x + 12x - 12 = 10×2x + x ， x = 4，第一个两位数是 48。
600
600
7. 设客户买了 x件皮衣， 2800 -
= 12%´
， x = 5
x
x
1+ 20%
1+ 20%
10

1. C 2. C 3. B 4. A 5. A 6. D 7. B
8. D 9. B
二. 填空题。
520 + x
1. 48cm
2. 87.5克 3.16 4. 360 - ，520 + ，360 - =
x
x
x
2
1 1 m m
5. 、 、 、 、
a b
1 1
1 1
+
a b
æ
mç
è
ö
ø
æ
mç
è
ö
÷
ø
+ 、1-
6. 5千米/小时、9千米/小时
÷
a
b
a b
( )
( )
7. 甲的行程＋乙的行程＝A、B两地间的距离， x + 1 ，3x + 3 x + 1 = 27 、5、4
三. 解答题。
1. 设女生人数为 x人，则男生为 1.1x人
设男生平均分 a分，则女生平均分为 1.1a分
则1.1ax + 1.1xa = 88 x + 1.1x)
(
\2 .2 ax = 184.8x
\1.1a = 1.1´84 = 92.4
x ¹ 0，\2.2a = 184.8，\a = 84
1
120ö
è 2 ø
1
60
æ ö
è 2 ø
æ
2
æ
ö
2
2. 设圆锥高为 x毫米， p ´
× ´ 1+
= p ´
´100， x = 50，圆锥
ç
÷ x ç
÷
ç ÷
3
è 2ø
高为 50mm。
60
60
3. 提示：甲、乙两速度之差为 = 4（米/秒），甲、乙两速度之和为 = 12
15
5
（米/秒），甲 8米/秒，乙 4米/秒。
4. 设这个班有学生 x人，踢足球的有 a人，则 x、a都是自然数，且1£ a < 6，根
x x x
a x
28
3
据题意列出方程 + + + = ，\ =
， a是 3的倍数，但只能取 1、2、
\
x
a
2 4 7
3、4
\a = 3，\ x = 28 。
5. 设从开始到结束共抽水 x小时，
1
1
1
1
1
æ
ö ( ) æ
ö
8 ´
+
+ x - 8
+
+
= 1，x = 12 ，
÷
ç
÷
ç
è 24 30ø
è 24 30 40ø
从开始到结束共抽水 12小时
6. 设第一个两位数十位数字为 x，则个位数字为 2x，
9

( ) ( )
10x + 2x + 10 x - 1 + 2 x - 1 = 10 ´ 2x + x
(
)
12x + 12x - 12 = 10×2x + x ， x = 4，第一个两位数是 48。
600
600
7. 设客户买了 x件皮衣， 2800 -
= 12%´
， x = 5
x
x
1+ 20%
1+ 20%
10