油藏中渗流与水平井筒内流动的耦合数学模型.pdf

第36卷 第6期 中国矿业大学学报 Vol.36No.62007年11月 Journal of China University of Mining&TechnologyNov.2007收稿日期:2007201227基金项目:国家高技术研究发展计划(863)项目(2004AA616170);国家重点基础研究发展规划(973)项目(2006CB705804)作者简介:苏玉亮(19702),男,山东省东营市人,副教授,博士,从事油田开发和多相流方面的研究.E2mail:suyuliang Tel:[phone]文章编号:100021964(2007)0620752207油藏中渗流与水平井筒内流动的耦合数学模型苏玉亮,张东,李明忠(中国石油大学 石油工程学院,山东 东营 257061)摘要:通过引入势的理论研究了油气两相稳定渗流问题.在描述无界地层三维稳态势基础上,结合水平井上射孔孔眼在无界地层中产生的势分布,建立了把油层中的渗流与水平井筒内的流动耦合的数学模型,该模型可以同时描述油藏2水平井筒内油、气两相流和原油单相流时的情况,给出了求解的方法.并且结合实例研究了水平井水平段的流量分布和压力分布.结果表明:水平井水平段的流量分布成明显的“凹”型曲线,其压力分布变化较为平缓.该模型为水平井的产能预测及水平井长度的优化等提供了理论依据.关键词:水平井筒;渗流;耦合;数学模型中图分类号:TE 35516文献标识码:AMathematical Model Coupling Seepage in theReservoir with Flow in the Horizontal WellboreSU Yu2liang,ZHAN G Dong,LI Ming2zhong(School of Petroleum Engineering,China University of Petroleum,Dongying,Shandong 257061,China)Abstract:The two2phase stable flow in porous media was analyzed using potential theory.Based on the description of infinite stratum three2dimensional stable potential and potential dis2tribution of perforation borehole in horizontal wellbore,a mathematical model coupling theflow in porous media with flow in horizontal wellbore was established.The model can describeoil2gas two2phase and single2phase flow in reservoir2horizontal wellbore simultaneously.Thesolution process of the model was also presented,and with an example the distribution of theflux and pressure were analysed.The result shows that the flux distribution curve of the hori2zontal well is concave and the change of the pressure is small.The model provides a basis forhorizontal wells production forecast and length optimization.Key words:horizontal wellbore;seepage;coupling;mathematical model水平井生产时,存在着油藏内的渗流和水平井筒内的变质量流,这2个流动过程既相互联系又相互影响.准确描述这2个流动过程对理解水平井生产本质具有重要意义.有些研究者已在有关方面做了大量工作,由于问题的复杂性,少数研究者在不考虑水平井筒内压降的情况下,研究了某些特定油藏内三维渗流的势分布1.几个研究者研究了水平井筒内压降对生产动态的影响223.有些研究者对水平井筒气液两相变质量流的流型判别与压降计算进行了探索性的研究4.在数学模型的建立方面526,不少研究者作出了贡献,包括水平井筒变质量流动阻力系数计算方法7等.有些研究者讨论了水平井油气水三相数学模型建立8.有些研究者给出了单个孔眼段的压力损失计算方法9.有些研究第6期 苏玉亮等:油藏中渗流与水平井筒内流动的耦合数学模型者给出了水平井二维非均质不稳定渗流场的迭代解法10.刘想平等将水平井看成由沿其长度方向的许多微段线汇组成,导出了油层内三维稳态渗流的压力分布,并根据质量守恒原理及动量定理,还导出了水平井筒内变质量流动的压降计算公式11213.本文通过引入势的理论来研究油气两相稳定渗流问题,建立了把油层中的渗流与水平井筒内的流动耦合的数学模型,该模型可用于水平井产能研究及水平井长度的优化等方面.1无界地层中三维稳态势分布对于均质、各向同性的无界地层,油气两相稳定渗流的数学模型为对油相:Kro(So)(p)B(p)p=0.(1)对气相:C(p)Krg(So)g(p)p+pBo(p)Kro(So)o(p)p=0,(2)式中:Kro,Krg分别为油相和气相的相对渗透率;o,g分别为油和气的黏度;Bo(p)为原油的体积系数,是压力的函数;p为气体在单位体积脱气油内的溶解量(重量),是压力的函数;C(p)=ga.p;ga为大气压力下气体的重率.通过单位地层断面并流到地面的气体总体积(包括自由气和溶解气)与纯油体积的比称为生产油气比R,R可表示为R=Krg(So)Kro(So)o(p)g(p)Bo(p)gga+Rg(p),(3)式中:gga=B(p)为气体的体积系数,当为理想气体时,gga=p;Rg(p)=pga为溶解油气比,它表示单位体积脱气原油内溶解气换算到大气压下的气体体积.对于油气稳定渗流来讲,生产油气比为常数,因此只要确定了产油量qo,则就可以通过下式确定产气量qgqg=Rqo.(4)下面研究油的产量,引入一个新的压力函数H,并定义为H=Ko(So)o(p)Bo(p)dp+C.(5)将式(5)代入油的综合渗流方程式(1)中,得2H=Ko(So)Bo(p)o(p)p=KKro(So)Bo(p)o(p)p=KKro(So)Bo(p)o(p)p=0.(6)由此可见,引入H函数以后,油气两相稳定渗流油相的综合微分方程满足拉普拉斯方程,因此可以引入势的理论来研究油气两相稳定渗流问题.根据达西定律vo=-Ko(p)Bo(p)o(p)p,(7)式中 vo为地面的渗流速度.由压力函数H的定义式(5)得H=Ko(p)Bo(p)o(p)p.(8)因此vo=-H,(9)式中 H就定义为势,通常又称为速度势.对于单相油的稳定渗流问题,势函数可定义为H=KoBop.(10)下面求解空间一点的势的分布:设想在空间有一数学点M,在它周围存在一个力场,流线若流向此点后消失(M点为点汇),可以想象在M点周围存在一个无穷大的渗流场,液体渗流所经过的表面为球面,以M点为中心,以任意r为半径的球形表面的渗流速度为voBo(p)=Qo4r2,(11)式中 Qo表示为地下的产油量.根据方程式(9),对于点汇来说dHdr=Qo4r2Bo(p).(12)分离变量并积分得空间势的表达式为H=-Qo4Bo(p)r+C.(13)对于单相油来说,空间势的表达式和式(13)相同,不同的仅仅是压力函数H的表达式.2单个射孔孔眼在无界地层中产生的势如图1所示,无界地层中有一水平井,设只在其上x1处射有一个孔眼,该孔眼垂直于水平井筒轴线.这里研究该孔眼在地层中产生的势.357中国矿业大学学报 第36卷图1 无界地层中水平井及单个射孔孔眼位置示意图Fig.1Scheme of a horizontal well and one perforatingposition in an unbounded reservoir设水平井水平段离xoy平面距离为zw,井筒半径为rw,射孔孔眼长度为Lp,则射孔孔眼轴线两端点坐标分别为(x1,rwsin,zw+rwcos),(x1,(rw+Lp)sin,zw+(rw+Lp)cos).其中为射孔孔眼轴线与z轴的偏转角,定义oz线朝y轴正方向转动,转到与射孔孔眼轴线在yoz平面的投影重合时的角度.描述孔眼轴线这一空间直线的方程为x=x1,y=(rw+Lpt)sin,z=zw+(rw+Lpt)cos.(14)(0t1)对于均质、各向同性的无界地层,油气两相流中原油流向射孔孔眼的稳定渗流服从拉普拉斯方程式(6).设流体从此孔眼流入井筒的地下流量为q,由于孔眼长度很短,可假设此线汇为流量均匀分布的线汇.则射孔孔眼在地层中任一点(x,y,z)产生的势为H(x,y,z)=-q4BoLpLp0ds(x0-x)2+(y0-y)2+(z0-z)2+C,(15)其中,(x0,y0,z0)为射孔孔眼轴线上任一点.ds=d?x+d?y+d?zdt,(16)式中:d?x=dx(t)dt,d?y=dy(t)dt,d?z=dz(t)dt,(17)由式(14)得d?x=0,d?y=Lpsindt,d?z=Lpcosdt,(18)代入式(16)中,有ds=Lpdt.(19)(x0,y0,z0)为射孔孔眼轴线上任一点,应满足式(14),即x0=x1,y0=(rw+Lpt)sin,z0=zw+(rw+Lpt)cos,(20)将式(19),(20)代入式(15)中,得H(x,y,z)=-q4BoLp10(Lpdt/(x1-x)2+(rwsin+Lptsin-y)2+(zw+rwcos+Lptcos-z)21/2+C积分上式,并化简得H(x,y,z)=-q4BoLplnr+Lpr-Lp+C(21)式中:r=(x1-x)2+(y1-y)2+(z1-z)2+(x1-x)2+(y2-y)2+(z2-z)2;y1=rwsin,y2=(rw+Lp)sin,z1=zw+rwcos,z2=zw+(rw+Lp)cos.式(21)为水平井上单个射孔孔眼在无界地层中产生的势.3水平井上N个射孔孔眼在无界地层中产生的势对于上、下均为封闭边界,四周无边界的无限大油藏(本文称此油藏为无限大油藏),油气两相流中原油流向水平井的渗流定解问题除了满足拉普拉斯方程式(6)外,还应满足如下的边界条件:外边界条件5H5z=0(z=0),5H5z=0(z=h).内边界条件5H5x=0(水平井线汇上各点).对于无限大油藏,水平井上第i个孔眼在油层中任一点产生的势Hi,可根据镜像反映原理,由式(21)得Hi(x,y,z)=-qi4BoLpin=-i(2nh+z1i,2nh+z2i,x,y,z)+i(2nh-z1i,2nh-z2i,x,y,z)+ci i为下式定义的函数i(1,2,x,y,z)=lnri+Lpiri-Lpi其中:ri=(xi-x)2+(y1i-y)2+(1-z)2+(xi-x)2+(y2i-y)2+(2-z)2y1i=rwsiniy2i=(rw+Lpi)sini457第6期 苏玉亮等:油藏中渗流与水平井筒内流动的耦合数学模型z1i=zw+rwcosiz2i=zw+(rw+Lpi)cosi式中:h为含油厚度;Lpi为第i个孔眼的长度;qi为从第i个孔眼流入水平井筒的流量;xi为第i个孔眼处的x坐标;i为第i个孔眼与z轴的偏转角;1,2为变量.可以看出,上述级数并不收敛,选取常数-2Lpinh使其收敛.则有Hi(x,y,z)=-qi4Boi+ci,(22)式中:i=1Lpii(z1i,z2i,x,y,z)+i(-z1i,-z2i,x,y,z)+n=1i(2nh+z1i,2nh+z2i,x,y,z)+i(-2nh+z1i,-2nh+z2i,x,y,z)+i(2nh-z1i,2nh-z2i,x,y,z)+i(-2nh-z1i,-2nh-z2i,x,y,z)-2Lpinh 水平井上N个射孔孔眼在油藏中产生的势为H(x,y,z)=-Ni=1qi4Boi+C,(23)式中 C为常数.由式(23)得He=-Ni=1qi4Boei+C,(24)由式(23)和式(24)得H(x,y,z)=He-Ni=1qi4Bo(i-ei),(25)式中 He为泄油边界处的势.在计算i时涉及i和xi的计算,下面分别讨论.311关于i的计算i=i-1+(i=1,2,3,N),式中:i为第i个孔眼的偏转角;为射孔相位角.图2 水平井横截面示意图Fig.2Lateral section scheme of horizontal well在矿场水平井射孔实践中,出于对射孔后生产过程中防砂的考虑,一般在水平井筒横截面的上半部分,即图2中AB C不射孔,只在其下半部分ADC射孔.在实践中大多在下半部分互成120度处即图2中E,F处交错射孔.对于这种射孔方案,有i=i-1+(-1)i-11200,(26)(i=1,2,3,N)式中 0为E处孔眼的偏转角.312关于xi的计算考虑到便于生产过程中作业、增产措施施工和控制水平段生产等,一般水平井射孔采用分段射孔,且两射孔段间留一段(盲管)不射孔.设水平井上共射开Ns段,第j段的射开长度为Lj,射孔密度为npj,第j段和第j+1段之间的未射段(盲管)长度为Lbj,并规定L0=0,Lb0=0,则xi=xw1+j-1k=0(Lk+Lbk)+1npji-12-j-1k=0Lknpk,(27)式中 xw1为水平井跟端横坐标.在式(27)中,j的取值应由下式来确定j-1k=0npLkPbPwf时耦合数学模型的建立当油藏压力高于泡点压力,而井底流压低于泡点压力时,则在井筒附近区域会脱气,出现油、气两相流动;而在远离井筒的区域,压力仍高于饱和压力,仍为原油做单相流动,可以利用引入的势函数H来描述油、气两相流和原油单相流时的情况,当计算的水平井上的压力高于泡点压力时,原油的流动可以利用式(10)所表示的势函数H来描述;当计算的水平井上的压力低于泡点压力时,原油的流动可以利用式(5)所表示的势函数H来描述.411油藏内流动模型这里规定水平井跟端在x=0处,指端在x=L处.557中国矿业大学学报 第36卷对于射孔完井水平井,设其上总射孔数为N,流体从第i个射孔孔眼流入井筒的流量为qi,水平井筒内第i个射孔孔眼处的压力为pwi.则可根据式(25)得到N个含有qi,pwi的方程式.Aq=B,(30)其中:q=(q1,q2,q3,qN)T;A=11-e112-e213-e3.1N-eN21-e122-e223-e3.2N-eN31-e132-e233-e3.3N-eNN1-e1N2-e2N3-e3.NN-eN;B=4Bo(He-Hw1)4Bo(He-Hw2)4Bo(He-Hw3)4Bo(He-HwN),式中:ji为油藏水平井上i在第j段线汇中点处的值;ei为i在泄油边界处的值.值得注意的是:各个射孔孔眼处的压力pwi及泄油边界处的压力pe隐含在势函数H中.若给定pwi,pe便可以求出He-Hwi,具体做法如下:对每个具体油田,可以根据高压物性试验得出的Bo(p),o(p)与p的关系曲线,求得任一p值下的Bo(p),o(p)值.而式(5)中的Ko(So)则要根据油气比R=常数这一关系,当给出油气比为某常数时,利用式(3)求得任一压力下的Krg/Kro,又有Krg/KroS关系曲线求出饱和度S,再根据相对渗透率曲线求出相应的Kro(So),进而求出Ko(So),这样就求出了在某个油气比数值下在某压力时的KoBoo值,再给出另一压力值又可求出另一相应的KoBoo值,如此作出KoBoop关系曲线,便可以通过下式计算He-HwiHe-Hwi=pepwiKoBoodp.(31)对于单相油的稳定渗流问题,He-Hwi的计算可由 式(10)得到He-Hwi=KoBo(pe-pwi).(32)这样有式(30)得到qi,pwi(i=1,2,3,N)共2N个未知数,即可表示为F1(qi,pwi)=0(33)可计算出水平井筒第j段的压降.412 井筒内流动模型若计算的水平井上第j段的井筒压力pwipb,则按照射孔完成水平井筒内变质量单相液流压力降计算模型进行计算;若计算的水平井上第j段的井筒压力pwi pb,则可利用式(10)计算势函数,若p0wi pb,则可利用式(5)计算势函数;4)计算矩阵B;5)用求解线性代数方程的任何一种方法如高斯消去法求解式(30),得到qi,记为q0i;6)将上步求出的qi代入式(34)中,更新pwi,此值可作为下一次迭代的初值;7)重复2)6)步.求出n+1步pn+1wi,qn+1i后,比较n+1步和n步的pwi,qi值,若对事先给定的精度1,2,有maxjN|pn+1wi-pnwi|1maxjN|qn+1i-qni|PbPwf时计算实例5.1计算参数某区块油层、流体及压裂水平井参数:边界压力pe为19 MPa,井底流pwf为16 MPa,井与供给边界的距离为600 m,油层厚度h为12 m,水平渗透率Kh0125m2,垂直渗透率Kv为0115m2,地层油黏度o为1 mPas,原油密度为850 kg/m3,地层油体积系数Bo为11052,水平井长度L为600m,井筒半径rw为01075 m.射孔密度为16孔/m,孔眼直径为12 mm,孔眼深度Lp=0125 m,射孔相位角=90,相对粗糙度010001.512计算步骤求解步骤如下:1)首先建立空间直角坐标系(以3个点为例)如下图3.图3 水平井及单个射孔孔眼位置示意图Fig.3Scheme of a horizontal well andone perforating position假 设z轴为水平井垂直段的中心线,x轴为水平井水平段的中心线.2)以三维为例,经过计算,得到11,12,13,21,22,23,31,32,33,e1,e2,e3.进而可以得到A.3)假设pwi=pwf=16 MPa,经过计算可以得到B.4)计算矩阵Aq=B,得到qi,并用上述迭代法最终得到单孔流量q,压力p.513结果与分析1)流量分布图4为计算得到的流量分布图.由图4可以看出,在跟端和趾端(0,600 m处)流量较大,原因是在跟端和趾端的供给范围较大,而中间各点的供给范围相对较小,而且较为平均,所以流量变化也相对平缓.呈现处明显的“凹”型曲线.图4 流量分布Fig.4Distribution of the flux2)压力分布图5为计算得到的压力分布图.由图5可以看出,水平段的压力变化很小,尤其是中间的部分,变化平缓,近似线性分布,在两端有个突变,可能是流量突变所导致.图5 压力分布Fig.5Distribution of the pressure6结论1)通过引入势的理论描述了无界地层中三维稳态势分布以及水平井上射孔孔眼在无界地层中产生的势分布,可得到单射孔孔眼在无界地层中产生的势以及N个射孔孔眼在油藏中产生的势.2)分析了水平井上水平段的流量和压力分布.流量分布呈现“凹”型曲线,在跟端和趾端(0,600 m处)流量较大,水平段中间部分流量较小;水平段的压力变化很小,尤其是中间的部分,变化平缓,近似线性分布,在两端有个突变,是流量突变所导致.3)通过引入势函数建立了能够同时描述油藏-水平井筒内油、气两相流和原油单相流时耦合数学模型,并提供了计算方法 迭代法,建立了把油层中的渗流与水平井筒内的流动耦合的数学模型,为水平井的产能预测及水平井长度的优化等方面提供理论依据.参考文献:1AZAR2NEJAD F,TORTIKE W S,FAROUP A,etal.Distribution around sources with finite length(horizontal and vertical partially penetrating wellsand fractures)part I:steady state fluid flow J.SPE,1996,35270:1432153.2DIKKEN,BEN J,KONINKLIJ KE.Pressure dropin horizontal wells and Its effect on production per2formanceJ.SPE,1990,19824:128.3NOVY R A,MOBIL R,CORP D.Pressure drops inhorizontal wells:when can they be IgnoredJ.SPE,1995,24941:29235.4刘想平,郭呈柱,蒋志祥,等.油层中渗流与水平井筒内流动的耦合模型J.石油学报,1999,20(3):82286.LIU Xiang2ping,GUO Cheng2zhu,J IANG Zhi2xiang,757中国矿业大学学报 第36卷et al.The model coupling fluid flow in the reservoirwith flow in the horizontal wellboreJ.Acta 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