《数学》（八年级下册）知识点总结（北师大版）.doc

《数学》（八年级下册）知识点总结（北师大版）
第一章 三角形的证明
1、等腰三角形
（1）三角形全等的性质及判定
全等三角形的对应边相等，对应角也相等
判定：SSS、SAS、ASA、AAS、
（2）等腰三角形的判定、性质及推论
性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）
（3）等边三角形的性质及判定定理
性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。
判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。
（4）含30度的直角三角形的边的性质
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2、直角三角形
（1）勾股定理及其逆定理
定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。
（3）直角三角形全等的判定定理
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）
3、线段的垂直平分线
（1）线段垂直平分线的性质及判定
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（2）三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线
分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。
4、角平分线
（1）角平分线的性质及判定定理
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
（2）三角形三条角平分线的性质定理
性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
（3）如何用尺规作图法作出角平分线

第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组

一、 不等关系
※1、 一般地，用符号“<”(或“≤”)， “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式、
¤2、 要区别方程与不等式： 方程表示的是相等的关系；不等式表示的是不相等的关系、
※3、 准确“翻译”不等式，正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语、
非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0
非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0
二、 不等式的基本性质
三、 不等式的解集：
※1、 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解；一个不等式的所有解，组成这个不等式的解集；求不等式的解集的过程，叫做解不等式、
※2、 不等式的解可以有无数多个，一般是在某个范围内的所有数，与方程的解不同、
¤3、 不等式的解集在数轴上的表示：
用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
①边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；
②方向：大向右，小向左
四、 一元一次不等式：
※1、 只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1、 像这样的不等式叫做一元一次不等式、
※2、 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似，特别要注意，当不等式两边都乘以一个负数时，不等号要改变方向、
※3、 解一元一次不等式的步骤：①去分母； ②去括号； ③移项； ④合并同类项； ⑤系数化为1(不等号的改变问题)
※4、 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)
列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似，即：
①审： 认真审题，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义；
②设： 设出适当的未知数；
③列： 根据题中的不等关系，列出不等式；
④解： 解出所列的不等式的解集；
⑤答： 写出答案，并检验答案是否符合题意、
五、 一元一次不等式与一次函数
六、 一元一次不等式组
※1、 定义： 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组、
※2、 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集、如果这些不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解、
几个不等式解集的公共部分，通常是利用数轴来确定、
※3、 解一元一次不等式组的步骤：
(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；
(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集、
两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数，且a<b)

第三章 图形的平移与旋转
一、平移
1、定义
在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
2、性质
平移前后两个图形是全等图形，对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。
二、旋转
1、定义
在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质
旋转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。

第四章 分解因式
1、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
例：a3 -a= a(a+1)(a-1)
2、因式分解的注意事项：
（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；
（2）分解因式的结果要以积的形式表示；
（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的
次数；
（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止．
3、多项式中各项式都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．
例：多项式ab+ac有相同的因式a ；多项式mb +nb–b有相同的因式b。
4、一个多项式的公因式是：
（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；
（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；
（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．
例：2x2y+6x3y2的公因式是2x2y
5、如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．例：ab+ac=a(b+c)
6、提取公因式的步骤是： （1）找公因式； （2）提公因式．
7、平方差公式 a2–b2 =（a+b）（a–b）
8、①平方差公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式 ；②提公因式法是分解因式首先应当考虑的方法 。
9、完全平方公式 a2–2ab+b2 =（a–b）2 a2 +2ab+b2 =（a+b）2
口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式
10、分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式的关系：由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．
11、因式分解的步骤：（1）有公因式则先提取公因式；（2）运用公式法
注：公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式。

第五章 分式与分式方程
1、分式定义：整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含
有字母，那么称为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。
例：；
2、对于任意一个分式，分母都不能为零，否则分式将没有意义。（可类比分数的分母不能为零加以理解）例： （ ）
3、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。类比理由：因为字母可以表示任何数。
易错点提示： (1)分式的分子与分母没有同时乘以或除以；(2)分式的分子与分母没有同时乘以或除以同一个整式； (3)整式不能为零．
4、化简下列分式：

说明：在(1)中相当于分子、分母同时约去了整式ab ;在（2）中相当于分子、分母同时约去了整式x-1；
　 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
5、化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式。化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式。例：
6、分式的乘除法的法则：①两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；②两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
例：①
②
注：分式运算的结果通常要化成最简分式或整式。
7、同分母分式加减法则是：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
例：
8、把异分母的分式化成同分母的分式，异分母的分式的加减问题就变成了同分母的分式的加减问题。例：（要找最简公分母）
9、分母中含有未知数的方程叫做分式方程。例：=
10、解分式方程的应用题：对于一个现实问题找到它的等量关系建立分式方程
11、解分式方程的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项⑤系数化为1；⑥检验是否含有增根
例：解
①；②；③；
④；⑤；⑥
12、列分式方程解应用题的一般步骤为：
（1）设未知数（2）列代数式（3）列出方程（4）解方程并检验（5）写出答案
由于列方程解应用题是对实际问题的解答，所以检验时除从数学方面进行检验外，还应考虑题目中的实际情况，凡不符合条件的一律舍去．
例：某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨，小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元。已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米，求该市今年居民用水的价格。

；；

第六章 平行四边形
1、平行四边形的性质
（1）平行四边形的对边平行且相等。
（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等
（3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
2、平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4、两条平行线的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。 平行线间的距离处处相等。
5、平行四边形的面积
S平行四边形=底边长×高=ah
6、三角形的中位线定理
①连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段．
②三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
7、多边形的内角和与外角和
①n边形的内角和等于(n－2)×180°．
②多边形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做这个多边形的外角；在每个顶点处取一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．
③任意多边形的外角和等于360°。
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