非标准有限差分法求解Kuramoto-Sivashinsky方程.pdf

第44卷第3期2023年6 月文章编号：16 7 3-9 59 0(2 0 2 3)0 3-0 10 9-0 4大连交通大学学报JOURNALOFDALIANJJIAOTONGUNIVERSITYVol.44No.3Jun.2023非标准有限差分法求解Kuramoto-Sivashinsky方程张继红，李永菲，栾舒含，王洁欣（大连交通大学理学院，辽宁大连116 0 2 8）摘要：给出一种非线性四阶Kuramoto-Sivashinsky（K S）方程的非标准有限差分格式，证明该格式的稳定性，并针对具体算例进行数值试验，比较了数值解与真实解，验证该方法的有效性。关键词：Kuramoto-Sivashinsky方程；四阶非线性偏微分方程；非标准有限差分法；稳定性文献标识码：AD0I:10.13291/ki.djdxac.2023.03.01920 世纪7 0 年代,Sivashinskyl 和 Kuramoto 2解中。提出了一类四阶非线性偏微分方程-Kuramo-to-Sivashinsky方程（KS），K S方程可以描述反应系统中的湍流和层流火焰前沿的扩散不稳定性，常被用来研究各种物理现象。近年来，其数值解法的研究也成为了热点，比如移动最小二乘无网格法 3、线性半离散方法 4、有限差分法 5、有限元法 6,有限体积法 7、无网格法 8 等。非标准有限差分法是由Mickens 提出的，通过采用不同于标准有限差分格式的时间和空间步长，可以获得更加精确的差分格式，已被广泛应用于 Burgers 等方程 10。本文首次尝试将非标准有限差分法用于高阶非线性偏微分方程的数值求-ut-Wmn+1式中:$=e-1,1=2(e-1),P2=sinh,3=2h sinh,4=sinh,ux(*mt,)um-1)/1，采用了非局部的离散方式。记R=/0,R2=/2 0,R,=/0,R4=/4 0,式(2)可表示为:mn+1山m12-4u+6u-4um-+um-2).nm+2?41非标准有限差分格式考虑KS方程：au+.u+u+atx式中：、是任意常数。T取时间步长t=和空间步长h=MN中N,M都是正整数。令xm=+mh，m=0,1,N,t，=n t,n=o,1,M,用u表示真实解u(x,t）在网点（xm,tn）的差分解。用非标准有限差分法将式(（1)离散后,可得：nWm-!n+Wmn+1m+2nn一?4Wmuu0(1)d3b-a，其n+1+um2um+1+2+P2P3+umn21P3Wm-1n2um+um+12P3=0P4(2)n+1,nmm-1(3)收稿日期:2 0 2 1-11-2 6基金项目：国家自然科学基金青年科学基金资助项目（118 0 10 56）；辽宁省教育厅科学研究计划资助项目(JDL2019034)第一作者：张继红(197 9一）,女，副教授。E-mail:110大连交通大学学报第44卷将R、R 2、R 3、R 4代人式(3)并移项可得：+2um-2Ra(u2-4u+6u-4u-+m-2)这样可得KS方程的非标准有限差分格式为：n+1(1+2aR,-6yR)u+(4yR4-2R,-aR,)um-+(4yR+2BR,-R,)um+I u(R,-yR.)um-2+(-R,-yR)u+21+R,um-R,um-12非非标准有限差分格式的稳定性定理1根据非标准有限差分法，当m,当0 u1时,有0 u1。证明：根据、R、R、R、R 4的定义，有RR2、R、R 4，为了证明u*0，需要非标准有限差分格式,即式(5)的分子和分母同时满足：将不等式相加，可得：1+2R2+3R,-6R4+4R4-2R,-R2+4yR4+2R-R2+R,-R4-R,-R4+1-R=2-R,+3R,0由不等式（d）、（f),再由不等式(b）、（c),可知0，Rz4R4综上可得：此时可保证u0。用式(7)的分子减去一部分分母的项可得：(1+2R,-6yR4-Ri)u+(4yR4-R,-2R,+Ri)um-+(4yR4-R+2R3)u+(R,-R4)um-2+(-R,-Ra)um+2 1+2R-6yR4-R+4yR4-R2-2R+R,+4yR4-R2+2R,+R,-R4-R,-R41因此u1成立，所以不等式(7)成立时，定理1成立，稳定性得证。m1+R,u-R,um-11+2R,+3R,-6R4 0R,-3BR;21-R,00R2 4yR41+2R,+3R,-6R4 04yR4-2R,-R,04yR4+2R,-R,0R,-R4 0-BR,-R4 01-R,um-1 1-R,01+2R2+3R,-6R4 0R,-3R,21-R,00LR4yR4(4)(5)成立时，给定n，对于任意的(a)(b)(c)(d)(e)(f)(6)(7)(8)第3期3楼数值试验与结果分析对于KS方程,用非标准有限差分法进行数值计算，空间方向求解区间设为【2 0,2 0】，空间和时间步长设为h=0.5,T=0.0001。针对具体例子给出数值试验：47例：设参数=一1853ztanh57624%）5B3576用Matlab软件进行编程计算,给出M=1000时的非标准有限差分解,并与真实解u(x,t）进行比较，结果见图1，图中实线表示真实解，圆圈表示数值解。从图1中可以看出，数值解全部落在真实解的实线上。图2 给出了数值解与真实解的绝对误差图。0.00-0.5-1.0-1.5F-2.0F-2.5-20-15-10-505101520图1非标准差分法数值解与真实解的对比0.0160.0140.0120.010F0.0080.0060.0040.0020.000-20-15-10图2 非标准差分法的局部截断误差在区间 0,5上,数值解与真实解以及绝对误差的数据对比见表1，可以看出绝对误差最大为 1.5 10*2。由此可知，经过多步计算后,该方法仍然能够保持一个相对合理的误差。张继红，等：非标准有限差分法求解Kuramoto-Sivashinsky方程12，真实解,其中,z=x+4结论本文采用非标准有限差分法对KS方程进行数值求解，证明了该方法的稳定性。通过数值试验，将数值解与真实解进行对比,结果表明，即使经过多步运算，该方法还能保持相对合理的绝对误差,这验证了该方法数值结果的稳定性。但是也要注意到,在求解过程中,为保持方法的数值稳定性,对其方程本身的参数、也给出了一些限制条件,同时对时间和空间步长进行了一定的限制。用非标准有限差分法数值求解高阶非线性偏微分方程，数值结果证明了该方法的有效性和可行性。今后需要进一步研究的内容还很多，比如在保持计算精度与稳定性的前提下，如何确定最佳时间和空间步长，是否可以找到更加适用于KS方程的非标准有限差分法等。参考文献：1SIVASHINSKY G I.Nonlinear analysis of hydrodynamicinstability in laminar flames-I.Derivation of the basic e-quationsJ.Acta Astronaut,1977,4(11/12):1176-5101520X111表1M=1000对应的数值解、真实解及绝对误差数值解绝对误差0-0.292 3710.5-0.369 6481.0-0.457 8491.5-0.5558562.0-0.661 9652.50.774 0203.0-0.889 6013.5-1.006 2204.0-1.121 5004.51.233 3505.0-1.340 0401206.2 KURAMOTO Y.Diffusion-induced chaos in reactionssystems J.Progress of Theoretical Physics Supple-ment,1978(64):346-367.3DABBOURA E,SADAT H,PRAX C.A moving leastsquares meshless method for solving the generalizedKuramoto-Sivashinsky equation J.Alexandria Engi-neering Journal,2016,55(3):2783-2787.4张俊，范馨月Kuramoto-Svashinsky方程的数值方法真实解0.281 6540.357 494-0.444 482-0.541 579-0.647 130-0.758 996-0.874.737-0.991 8211.107 8201.220 570-1.328 2701.0710-21.2210-21.341021.4310-21.4810-21.5010-21.491021.44 10-21.3710-21.2810-21.1810-2112J.东北师大学报（自然科学版），2 0 15,47(2)：45-52.5 AKRIVIS G D.Finite difference discretization of theKuramoto-Sivashinsky equation J.Numerische Math-ematik,1992,63(1):1-11.6 CHOO S.Finite element schemes for generalized Cahn-Hilliard and Kuramoto-Sivashinsky equations J.J.Appl.Math.Comput.,2006,21:531-538.7CUETO F L,PERAIRE J.A time-adaptive finite volumemethod for the Cahn-Hilliard and Kuramoto-SivashinskyequationsJ.Journal of Computational Physics,2008,227(24):9985-10017.大连交通大学学报8JUDDIN M,HAQ S,ISLAM S.A mesh-free numericalmethod for solution of the family of Kuramoto-Sivashin-sky equations J.Applide Mathematics and Computa-tion,2009,212(2):458-469.9MICKENS R E,CUMEL A B.Construction and anlaysisof a non-standard finite differences scheme for the Bur-gers-Fisher equation J.Journal of Sound and Vibra-tion,2002,257(4):791-797.10 张艳敏.非标准有限差分法求解一类Burgers-Fisher方程 J.沈阳大学学报（自然科学版），2 0 19,31(6):525-528.第44卷A Nonstandard Finite Difference Method for Solving Kuramoto-Sivashinsky EquationZHANG Jihong,LI Yongfei,LUAN Shuhan,WANG Jiexin(School of Science,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China)Abstract:A nonstandard finite difference scheme for nonlinear fourth-order Kuramoto-Sivashinsky(KS)e-quation is presented,and the stability of the nonstandard diference scheme of KS equation is proved.Numeri-cal experiments are carried out to compare the absolute errors between the numerical solution and the real solu-tion,which verifies the effectiveness of the method.Keywords:Kuramoto-Sivashinsky equation;fourth order nonlinear partial differential equation;nonstandardfinite difference method;stability(上接第10 8 页）Image Super-Resolution Reconstruction Based on Multi-Branch andResidual Attention CombinationSHI Weiguo,WANG Jiayi(School of Automation and Electrical Engineering,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028 China)Abstract:Aiming at the problems of incomplete feature mapping and easy loss of mapped features in image su-per-resolution reconstruction,an image super-resolution reconstruction algorithm is proposed based on multibranch residual attention mechanism fusion.The algorithm introduces multi branch architecture in the deepfeature mapping part to increase the network width.The residual structure including attention fusion mecha-nism is introduced into each branch to focus on learning different feature information,which improves the abil-ity of feature extraction.Then,the information of multiple branch mappings is superimposed in the nonlinearmapping output layer to fuse the feature information further and promote the transmission of parameters.Theexperiment results show that the algorithm is superior to other ones in objective evaluation index and subjectiveimage effect with effective improvements of the detail definition of the reconstructed image.Keywords:image super-resolution reconstruction;residual network;attention mechanism;multi branch ar-chitecture