初三数学综合训练题（五）.doc

初三数学训练题（五）

1． 商场销售两种品牌的衬衣，单价分别为每件30元，50元，一周内共销售出300件；为扩大衬衣的销售量，商场决定调整衬衣的价格，将种衬衣降价出售，种衬衣按原价出售，调整后，一周内种衬衣的销售量增加了20件，种衬衣销售量没有变，这周内销售额为12880元，求调整前两种品牌的衬衣一周内各销售多少件？(2006年广东省)

图6

2．如图6，已知矩形的边长．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，问：
（1）经过多少时间，的面积等于矩形面积的？
（2）是否存在时刻，使以为顶点的三角形与
相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
（肇庆市2006）

图12－1
A
B
C
D
2．探索
在如图12－1至图12－3中，△ABC的面积为a ．
  （1）如图12－1, 延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1=________（用含a的代数式表示）；
A
B
C
D
E
图12－2
  （2）如图12－2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2=__________（用含a的代数式表示），并写出理由；

D
E
A
B
C
F
图12－3

（3）在图12－2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，
FE，得到△DEF（如图12－3）．若阴影部分的面积为S3，
则S3=__________（用含a的代数式表示）．
发现
图12－4
D
E
A
B
C
F
H
M
G
像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图12－3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的_______倍．
应用
去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图12－4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m2？（2006年河北省）

3．如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
图13－1
A( G )
B( E )
C
O
D( F )
图13－2
E
A
B
D
G
F
O
M
N
C
（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

图13－3
A
B
D
G
E
F
O
M
N
C

4．小杰到学校食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多（设为a人，a > 8），就站到A窗口队伍的后面. 过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人.
（1）此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少（用含a的代数式表示）？
（2）此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队，且到达B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少，求a的取值范围（不考虑其他因素）. （江西省2006）

5．问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：
① 如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON = 60°，则BM = CN.
② 如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON = 90°,则BM = CN.
然后运用类比的思想提出了如下的命题：
③ 如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON = 108°，则BM = CN.
任务要求
（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（说明：选①做对的得4分，选②做对的得3分，选③做对的得5分）
（2）请你继续完成下面的探索：
① 如图4，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，问当∠BON等于多少度时，结论BM = CN成立？（不要求证明）
② 如图5，在五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，当∠BON = 108°时，请问结论BM = CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由. （江西省2006）
（1）我选 .
证明：

6．如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.
　　(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；
(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由. （2006年锦州市）

初三数学训练题（五）答案

1．解：设种品牌的衬衣有件，种品牌的衬衣有件．
　　依题意可得，
解得，

2．解：（1）设经过秒后，的面积等于矩形面积的，
则有：，即， （2分）
解方程，得． （3分）
经检验，可知符合题意，所以经过1秒或2秒后，的面积等于矩形面积的． （4分）
（2）假设经过秒时，以为顶点的三角形与相似，
由矩形，可得，因此有或（5分）
即　　　①，或　　②． （6分）
解①，得；解②，得 （7分）
经检验，或都符合题意，所以动点同时出发后，经过秒或秒时，以为顶点的三角形与相似． （8分）

3．探索 （1）a； ………………………………………………………………………（1分）
  （2）2a；………………………………………………………………………（2分）
理由：连结AD，∵CD=BC，AE=CA，
   ∴S△DAC = S△DAE = S△ABC = a，
∴S2=2a． ………………………………………………………………………（4分）
  （3）6a； ………………………………………………………………………（5分）
发现 7．………………………………………………………………………………（6分）
应用 拓展区域的面积：（72－1）×10=480（m2）． ……………………………（8分）
3．解：（1）BM=FN．  …………………………………………………………………（1分）
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．
又∵∠BOM=∠FON， ∴ △OBM≌△OFN ．
∴ BM=FN．…………………………………………………………（4分）
（2）BM=FN仍然成立．…………………………………………………………（5分）
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．
∴∠MBO=∠NFO=135°．
又∵∠MOB=∠NOF， ∴ △OBM≌△OFN ．
∴ BM=FN． ………………………………………………………（8分）
4．解：（1）他继续在A窗口排队所花的时间为
（分） …………………………………………3′
（2）由题意，得
. ………………………………………6′
解得 a > 20.
所以，a的取值范围为 a > 20. …………………………………9′
5.（1）选命题①
证明：在图1中，∵ ∠BON = 60°， ∴ ∠CBM +∠BCN = 60°. ……1′
∵ ∠BCN +∠ACN = 60°， ∴ ∠CBM =∠ACN. ……………2′
又∵ BC = CA， ∠BCM =∠CAN = 60°，
∴ △BCM ≌ △CAN. ……………………………………………3′
∴ BM = CN. ………………………………………………4′

选命题②
证明：在图2中，∵ ∠BON = 90°， ∴ ∠CBM +∠BCN = 90°.
∵ ∠BCN +∠DCN = 90°， ∴ ∠CBM =∠DCN. ……………1′
又∵ BC = CD， ∠BCM =∠CDN = 90°，
∴ △BCM ≌ △CDN. ………………………………………2′
∴ BM = CN. ……………………………………………………3′
选命题③
证明：在图3中，∵ ∠BON = 108°， ∴ ∠CBM +∠BCN = 108° …1′
∵ ∠BCN +∠DCN = 108°， ∴ ∠CBM =∠DCN. ……………2′
又∵ BC = CD， ∠BCM =∠CDN = 108°，
∴ △BCM ≌ △CDN. …………………………………………4′
∴ BM = CN. ………………………………………………………5′
（2）① 当∠BON = 时，结论BM = CN成立. ……………2′
② BM = CN成立.
证明：如图5，连结BD、CE.
在△BCD和△CDE中，
∵ BC = CD，∠BCD =∠CDE = 108°，CD = DE，
∴ △BCD ≌ △CDE.
∴ BD = CE，∠BDC =∠CED，∠DBC =∠ECD. ……………1′
∵ ∠OBC +∠OCB = 108°，∠OCB +∠OCD = 108°，
∴ ∠MBC =∠NCD.
又∵ ∠DBC =∠ECD = 36°，∴ ∠DBM =∠ECN. …………2′
∴ △BDM ≌ △ECN. …………………………………3′
说明：第（2）小题第②问只回答BM = CN成立，但未证明的，不给分.
6．(1)猜想：AF=BD且AF⊥BD.……1分
　　　 证明：设AF与DC交点为G.
　　　 ∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，
　　　 ∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，
　　 　∴∠BCD=∠ACF.
　　 　∴△ACF≌△BCD.
　　　 ∴AF=BD.……4分
　　　 ∴∠AFC=∠BDC.
　　　 ∵∠AFC+∠FGC=90°, ∠FGC=DGA，
　　 　∴∠BDC+∠DGA=90°.
　　 　∴AF⊥BD.……7分
　　 　∴AF=BD且AF⊥BD.
　　 　(2)结论：AF=BD且AF⊥BD.
　　 　图形不惟一，只要符合要求即可.
　　 　画出图形得1分，写出结论得1分，此题共2分.如：
　　 　①CD边在△ABC的内部时；　②CF边在△ABC的内部时.