北师大版七年级数学培优题.docx

<p>七年级培优题
1、如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线 AB，AC，那么这两条对角线的夹角等于
度。
x + 2 + x -2 + x -1
2.。.
的最小值是_______
x
2
2 - 3 +1 = 0
=
x
x
3、已知
, 则
。
x
4
+ 3x +1
2
4,一个长方体的长、宽、高分别为 9cm, 6cm, 5cm，先从这个长方体上尽可能大的切下一个正方体，再从剩
余部分上又尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余部分上又尽可能大的切下一个正方体，那么
经过三次切割后剩余部分的体积为
5、如图，三角形 ABC 的面积为 1，BD∶DC=2∶1，E 为 AC 的中点，AD 与 BE 相交于 P，那四边形 PDCE 的面
积为
cm .
3
。
6、如图，已知梯形 ABCD，AD∥BC，∠B+∠C=90°，EF=10，E，F 分别是 AD，BC 的中点，则 BC－
AD＝________
7、如图，正方形 ABCD 的边长为 1，P 为 AB 上的点，
Q 为 AD 上的点，且△APQ 的周长为 2，
则∠PCQ=_______
8、在长方形内画一些直线，已知边上有三块面积分别为 13，35，49，图中的数据表示所在的小块面积，
则图中的阴影部分的面积为
。
9、如图，设 O 是等边三角形 ABC 内一点，
已知∠AOB=115°，∠BOC=125°，则以
OA，OB，OC 为边所构成的三角形的各内
角的度数分别为
。
| a | b | c |
abc
a
c
m =
+
+
n =
m + n
，那么 =_______
b
10、已知 、 、 都不等于零，且
，
a | b | c
| abc |
11 如果 a、b、c 满足 a+2b+3c=12，且 a +b +c =ab+ac+bc，则代数式 a+b +c =_______
2
2
2
2
3
12.如图，在长方形 ABCD 中，已知 AD=12、AB=5、BD=AC=13，P 是 AD 上任意一点，PE⊥BD、PF⊥AC，那么
PE+PF=_______ 【提示 长方形的对角线相等且互相平分】
13.在⊿ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，AB+BD=DC，求证 ∠B=2∠C

A
P
A
D
E
G
F
B
D
C
B
C
(6)
(10)
14、已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F，连接
DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG．
（1）直接写出线段 EG 与 CG 的数量关系；
（2）将图1 中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45º，如图2 所示，取DF 中点 G，连接EG，CG．
你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）将图 1 中△BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图 3 所示，再连接相应的线段，问（1）中
的结论是否仍然成立？
A
D
A
D
A
D
G
F
G
E
E
F
E
C
C
C
B
B
F
B
图 2
图 1
图 3
15、数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中
ÐAEF = 90 ，且 EF 交正方形外角ÐDCG
点．
的平行线 CF 于点 F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连 接 ME，则 AM=EC，
易证△AME ≌△ECF
AE = EF
，所以
．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边 BC 的中点”改为“点E 是边 BC 上（除B，
C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正
确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件
不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；
如果不正确，请说明理由．

F
D
D
A
A
D
A
F
F
B
B
E
C
G
E
C
G
B
C E G
图 1
图 2
图 3
Rt△ABC
AC = BC，∠C = 90°，D AB 边的中点，ÐEDF = 90°，
为
16、已知
中，
ÐEDF D
AC CB
、
E F．
（或它们的延长线）于 、
绕 点旋转，它的两边分别交
1
ÐEDF D
DE ^ AC E
于 时（如图 1），易证
S
+ S
= S
．
△ABC
当
当
绕 点旋转到
2
△DEF
△CEF
ÐEDF D
DE和AC
不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否
绕 点旋转到
S
S
S
成立？若成立，请给予证明；若不成立，
请写出你的猜想，不需证明．
、
、
又有怎样的数量关系？
△DEF
△CEF
△ ABC
A
A
A
D
D
E
D
F
C
E
B
B
C
B
F
C
F
E
图 3
图 1
图 2
△ABC
AB = BC = 2，ÐABC =120°， △ABC
将
B
绕 点 顺 时 针 旋 转 角
17 、 在
中 ，
a (0°&lt; a &lt; 90°) △A BC ，A B AC
E AC
1
得
交
于点 ，
分别交
1
1
1
1
AC、BC D、F
于
两点．
EA FC
与
（1）如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段
有怎样的数量关系？并证明
1
你的结论；
C
C
C
D
D
A
F
C
1
F
1
E
1
A
E
1
A
A
B
B

= 30°
BC DA
1
（2）如图 2，当a
时，试判断四边形
的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求 ED 的长．
18、点 C 为线段 AB 上一点，△ACM, △CBN
都是等边三角形，线段 AN,MC 交于点 E，
BM,CN 交于点 F。求证：
N
N
F
E
E
C
B
B
A
C
（1）AN=MB.
O
M
F
（2）△CEF 为等边三角形。
A
（3）将△ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转一定角度，其他条件不变，（1）中的结论是否依
然成立？(只回答不证明)，
（4）AN 与 BM 相交所夹锐角是否发生变化，（只回答不证明)。
ÐBCA
19、直线 CD 经过
的顶点 C，CA=CB．E、F 分别是直线 CD 上两点，且
ÐBEC = ÐCFA = Ða ．
（1）若直线 CD 经过ÐBCA的内部，且 E、F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：
ÐBCA = 90 ,Ð = 90
BE - AF
&gt; &lt;
（填“ ”，“ ”或
①如图 1，若
“ = ”号）；
a
，则 EF
0 &lt; ÐBCA&lt;180
②如图 2，若
，若使①中的结论仍然成立，则 Ða 与ÐBCA 应满足的
关系是
；
（2）如图 3，若直线 CD 经过ÐBCA的外部，Ða = ÐBCA，请探究 EF、与 BE、AF 三
条线段的数量关系，并给予证明．
B
B
B
E
A
F
D
F D
E
E
C
C
F
C
A
A
D
图 1
图 2
图 3

F
D
D
A
A
D
A
F
F
B
B
E
C
G
E
C
G
B
C E G
图 1
图 2
图 3
Rt△ABC
AC = BC，∠C = 90°，D AB 边的中点，ÐEDF = 90°，
为
16、已知
中，
ÐEDF D
AC CB
、
E F．
（或它们的延长线）于 、
绕 点旋转，它的两边分别交
1
ÐEDF D
DE ^ AC E
于 时（如图 1），易证
S
+ S
= S
．
△ABC
当
当
绕 点旋转到
2
△DEF
△CEF
ÐEDF D
DE和AC
不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否
绕 点旋转到
S
S
S
成立？若成立，请给予证明；若不成立，
请写出你的猜想，不需证明．
、
、
又有怎样的数量关系？
△DEF
△CEF
△ ABC
A
A
A
D
D
E
D
F
C
E
B
B
C
B
F
C
F
E
图 3
图 1
图 2
△ABC
AB = BC = 2，ÐABC =120°， △ABC
将
B
绕 点 顺 时 针 旋 转 角
17 、 在
中 ，
a (0°&lt; a &lt; 90°) △A BC ，A B AC
E AC
1
得
交
于点 ，
分别交
1
1
1
1
AC、BC D、F
于
两点．
EA FC
与
（1）如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段
有怎样的数量关系？并证明
1
你的结论；
C
C
C
D
D
A
F
C
1
F
1
E
1
A
E
1
A
A
B
B

= 30°
BC DA
1
（2）如图 2，当a
时，试判断四边形
的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求 ED 的长．
18、点 C 为线段 AB 上一点，△ACM, △CBN
都是等边三角形，线段 AN,MC 交于点 E，
BM,CN 交于点 F。求证：
N
N
F
E
E
C
B
B
A
C
（1）AN=MB.
O
M
F
（2）△CEF 为等边三角形。
A
（3）将△ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转一定角度，其他条件不变，（1）中的结论是否依
然成立？(只回答不证明)，
（4）AN 与 BM 相交所夹锐角是否发生变化，（只回答不证明)。
ÐBCA
19、直线 CD 经过
的顶点 C，CA=CB．E、F 分别是直线 CD 上两点，且
ÐBEC = ÐCFA = Ða ．
（1）若直线 CD 经过ÐBCA的内部，且 E、F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：
ÐBCA = 90 ,Ð = 90
BE - AF
&gt;&lt;
（填“ ”，“ ”或
①如图 1，若
“ = ”号）；
a
，则 EF
0 &lt; ÐBCA&lt;180
②如图 2，若
，若使①中的结论仍然成立，则 Ða 与ÐBCA 应满足的
关系是
；
（2）如图 3，若直线 CD 经过ÐBCA的外部，Ða = ÐBCA，请探究 EF、与 BE、AF 三
条线段的数量关系，并给予证明．
B
B
B
E
A
F
D
F D
E
E
C
C
F
C
A
A
D
图 1
图 2
图 3

F
D
D
A
A
D
A
F
F
B
B
E
C
G
E
C
G
B
C E G
图 1
图 2
图 3
Rt△ABC
AC = BC，∠C = 90°，D AB 边的中点，ÐEDF = 90°，
为
16、已知
中，
ÐEDF D
AC CB
、
E F．
（或它们的延长线）于 、
绕 点旋转，它的两边分别交
1
ÐEDF D
DE ^ AC E
于 时（如图 1），易证
S
+ S
= S
．
△ABC
当
当
绕 点旋转到
2
△DEF
△CEF
ÐEDF D
DE和AC
不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否
绕 点旋转到
S
S
S
成立？若成立，请给予证明；若不成立，
请写出你的猜想，不需证明．
、
、
又有怎样的数量关系？
△DEF
△CEF
△ ABC
A
A
A
D
D
E
D
F
C
E
B
B
C
B
F
C
F
E
图 3
图 1
图 2
△ABC
AB = BC = 2，ÐABC =120°， △ABC
将
B
绕 点 顺 时 针 旋 转 角
17 、 在
中 ，
a (0°&lt; a &lt; 90°) △A BC ，A B AC
E AC
1
得
交
于点 ，
分别交
1
1
1
1
AC、BC D、F
于
两点．
EA FC
与
（1）如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段
有怎样的数量关系？并证明
1
你的结论；
C
C
C
D
D
A
F
C
1
F
1
E
1
A
E
1
A
A
B
B

= 30°
BC DA
1
（2）如图 2，当a
时，试判断四边形
的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求 ED 的长．
18、点 C 为线段 AB 上一点，△ACM, △CBN
都是等边三角形，线段 AN,MC 交于点 E，
BM,CN 交于点 F。求证：
N
N
F
E
E
C
B
B
A
C
（1）AN=MB.
O
M
F
（2）△CEF 为等边三角形。
A
（3）将△ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转一定角度，其他条件不变，（1）中的结论是否依
然成立？(只回答不证明)，
（4）AN 与 BM 相交所夹锐角是否发生变化，（只回答不证明)。
ÐBCA
19、直线 CD 经过
的顶点 C，CA=CB．E、F 分别是直线 CD 上两点，且
ÐBEC = ÐCFA = Ða ．
（1）若直线 CD 经过ÐBCA的内部，且 E、F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：
ÐBCA = 90 ,Ð = 90
BE - AF
&gt;&lt;
（填“ ”，“ ”或
①如图 1，若
“ = ”号）；
a
，则 EF
0 &lt; ÐBCA &lt;180
②如图 2，若
，若使①中的结论仍然成立，则 Ða 与ÐBCA 应满足的
关系是
；
（2）如图 3，若直线 CD 经过ÐBCA的外部，Ða = ÐBCA，请探究 EF、与 BE、AF 三
条线段的数量关系，并给予证明．
B
B
B
E
A
F
D
F D
E
E
C
C
F
C
A
A
D
图 1
图 2
图 3</p>