高三数学小题综合限时练（十）.doc

(限时：40分钟)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.在复平面内，复数6＋5i，2＋4i(i为虚数单位)对应的点分别为A、C.若C为线段AB的中点，则点B对应的复数是(　　)
A.－2＋3i B.4＋i
C.－4＋i D.2－3i
解析　∵两个复数对应的点分别为A(6，5)、C(2，4)，C为线段AB的中点，∴B(－2，3)，即其对应的复数是－2＋3i.故选A.
答案　A
2.如图，设全集U为整数集，集合A＝{x∈N|1≤x≤8}，B＝{0，1，2}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为(　　)
A.3 　　　 .4
C.7 　　　 .8
解析　依题意，A∩B＝{1，2}，该集合的真子集个数是22－1＝3.故选A.
答案　A
3.对具有线性相关关系的变量x、y，测得一组数据如下表：
x
2
4
5
6
8
y
20
40
60
70
80
根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为＝10.5x＋，据此模型来预测当x＝20时，y的估计值为(　　)
A.210 B.210.5
C.211.5 D.212.5
解析　依题意得x＝(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y＝(20＋40＋60＋70＋80)＝54，回归直线必过中心点(5，54)，于是有＝54－10.5×5＝1.5，当x＝20时，y＝10.5×20＋1.5＝211.5.故选C.
答案　C
4.已知实数x、y满足不等式组若z＝x－y，则z的最大值为(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
解析　作出不等式组
所对应的可行域(如图所示)，变形目标函数为y＝x－z，平移直线y＝x－z可知，当直线经过点(3，0)时，z取最大值，代值计算可得z＝x－y的最大值为3.故选A.
答案　A
5.二项式的展开式中中的第二项的系数为－，则x2dx的值为(　　)
A.3 B.
C.3或 D.3或－
解析　∵二项式的展开式中的第二项为T1＋1＝C·(ax)2·＝
－·a2x2，∴－a2＝－，即a＝±1，当a＝1时，x2dx＝－2＝＋＝3；当a＝－1时，x2dx＝－2＝－＋＝.故选C.
答案　C
6.下列命题中是真命题的为(　　)
A.“存在x0∈R，x＋sin x0＋ex0＜1”的否定是“不存在x0∈R，x＋sin x0＋ex0
＜1”
B.在△ABC中，“AB2＋AC2＞BC2”是“△ABC为锐角三角形”的充分不必要条件

C.任意x∈N，3x＞1
D.存在x0∈，sin x0＋cos x0＝tan x0
解析　“存在x0∈R，x＋sin x0＋ex0＜1”的否定是“对任意的x∈R，x2＋sin x＋ex≥1”，即A为假命题.
∵AB2＋AC2＞BC2，∴由余弦定理得cos A＝＞0，∵0＜A＜π，∴A为锐角，但未必是△ABC为锐角三角形；反之，若△ABC为锐角三角形，则0＜A＜，∴cos A＞0，即AB2＋AC2＞BC2.
∴“AB2＋AC2＞BC2”是“△ABC为锐角三角开”的必要不充分条件，即B为假命题.当x＝0时，30＝1，即C为假命题.
∵sin x＋cos x＝
＝sin，∴命题转化为∃x0∈，
sin＝tan x0，
在同一直角坐标系中分别作出y＝sin与y＝tan x在上的图象，观察可知，两个函数的图象在存在交点，即∃x0∈，sin＝tan x0，即D为真命题.故选D.
答案　D
7.阅读如图所示的程序框图，输出结果s的值为(　　)

A. B.
C. D.
解析　由程序框图知，s＝1，n＝1＜4；
s＝1×cos ，n＝2＜4；
s＝cos ·cos ，n＝3＜4；
s＝cos ·cos ·cos ，n＝4；
s＝cos ·cos ·cos ·cos ，n＝5＞4，输出S ，结束程序.
而s＝

＝＝＝cos ＝.故选C.
答案　C
8.已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝(　　)
A. B.
C. D.
解析　由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF2|＝2，|PF1|＝4，又|F1F2|＝2c＝2，∴cos ∠F1PF2＝＝.故选B.
答案　B
9.已知定义在R上的函数f(x)满足条件：
①对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)；
②对任意的x1、x2∈[0，2]且x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)；
③函数f(x＋2)的图象关于y轴对称.
则下列结论正确的是(　　)
A.f(7)＜f(6.5)＜f(4.5) B.f(7)＜f(4.5)＜f(6.5)
C.f(4.5)＜f(6.5)＜f(7) D.f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)
解析　由函数f(x＋2)的图象关于y轴对称，得f(2＋x)＝f(2－x)，又f(x＋4)＝f(x)，∴f(4.5)＝f(0.5)，f(7)＝f(3)＝f(2＋1)＝f(2－1)＝f(1)，f(6.5)＝f(2.5)＝f(2＋0.5)＝f(2－0.5)＝f(1.5)，由题意知，f(x)在[0，2]上是增函数，∴f(4.5)＜f(7)＜f(6.5).故选D.
答案　D
10.已知在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，△ABC的面积等于，则b的取值范围为(　　)
A.[2，) B.[，)
C.[2，6) D.[4，6)
解析　∵A、B、C成等差数列，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，即B＝60°.
∵S＝acsin B＝acsin 60°＝ac＝，
∴ac＝4.
法一　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 60°＝a2＋c2－ac，又△ABC为锐角三角形，∴a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，∵b2＝a2＋c2－ac，∴b2＋c2＜(a2＋c2－ac)＋(a2＋b2)，整理得2a＞c，且b2＋a2＜(a2＋c2－ac)＋(b2＋c2)，整理得2c＞a，∴＜a＜2c，＜a2＜2ac，又ac＝4，∴2＜a2＜8，b2＝a2＋c2－ac＝a2＋－4，2＜a2＜8，∴令a2＝t∈(2，8)，则b2＝f(t)＝t＋－4，2＜t＜8，∵函数f(t)在(2，4)上单调递减，在(4，8)上单调递增，
∴f(t)∈[4，6)，即4≤b2＜6，∴2≤b＜.故选A.
法二　由正弦定理＝＝，得ac＝·
sin Asin C⇒4＝b2sin Asin(120°－A)，
即b2＝＝
＝＝＝，
∵30°＜A＜90°，∴30°＜2A－30°＜150°，1＜sin(2A－30°)＋≤，∴≤b2＜，即4≤b2＜6，∴2≤b＜.故选A.
答案　A
11.点P是底边长为2，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则·的取值范围是(　　)
A.[0，2] B.[0，3]
C.[0，4] D.[－2，2]

解析　如图所示，设正三棱柱的内切球球心为O，则·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2，由正三棱柱底边长为2，高为2，可得该棱柱的内切球半径为OM＝ON＝1，外接球半径为OA＝OA1＝，对三棱柱上任一点P到球心O的距离的范围为[1，]，∴·＝2－2＝2－1∈[0，4].故选C.
答案　C
12.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx＋2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是(　　)
A.－ B.－
C.－ D.－
解析　∵圆C的方程可化为(x－4)2＋y2＝1，∴圆C的圆心为(4，0)，半径为1，由题意设直线y＝kx＋2上至少存在一点A(x0，kx0＋2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴存在x0∈R，使得|AC|≤1＋1成立，即|AC|min≤2，∵|AC|min即为点C到直线y＝kx＋2的距离≤2，解得－≤k≤0，即k的最小值是－.故选A.
答案　A
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)
13.曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为________.
解析　法一　∵y＝1－＝，∴y′＝＝，
∴y′|x＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，∴所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
法二　由题意得y＝1－＝1－2(x＋2)－1，
∴y′＝2(x＋2)－2，∴y′|x＝－1＝2，
所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
答案　y＝2x＋1
14.如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为________.
解析　由题中茎叶图可得甲、乙两组同学成绩的平均数都是92，方差分别是，，∴方差较小的那组同学成绩的方差是.
答案　
15.在等比数列{an}中，若a5＋a6＋a7＋a8＝，a6a7＝，则＋＋＋＝________.

解析　由等比数列的性质知a5a8＝a6a7，∴＋＋＋＝＋＝＝×＝.
答案　
16.关于函数f(x)＝2sin (x∈R)，有下列命题：
①y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称；
②y＝f(x)的图象关于点对称；
③若f(x1)＝f(x2)＝0，可得x1－x2必为π的整数倍；
④y＝f(x)在上单调递增；
⑤y＝f(x)的图象可由y＝2sin 2x的图象向右平移个单位得到.
其中正确命题的序号有________.
解析　对于①，y＝f(x)的对称轴是2x－＝kπ＋，(k∈Z)，即x＝＋，当k＝－1时，x＝－，即①正确；对于②，y＝f(x)的对称点的横坐标满足2x－＝kπ，(k∈Z)，即x＝＋.即②不成立；对于③，函数y＝f(x)的周期为π，若f(x1)＝f(x2)＝0，可得x1－x2必为半个周期的整数倍，即③不正确；对于④，y＝f(x)的增区间满足－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，∴－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即④成立；对于⑤，y＝2sin 2＝2sin≠f(x)，即⑤不正确.
答案　①④