寒假黄冈中学高三数学专题复习.doc

寒假黄冈中学高三数学专题复习

目录

直接证明、间接证明与数学归纳法
合情推理与演绎推理
合情推理与演绎推理
复数的概念及运算
平面向量的概念及运算
三角函数的性质

直接证明、间接证明与数学归纳法
一、选择题
1．用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容应是(　　)
A.＝ B.<
C.＝且< D.＝或<
解析：用反证法证明的第一步是假设结论不成立．假设>不成立，即≤成立．
答案：D
2．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：要使＋≥2，只要>0且>0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．
答案：C
3． 设S是至少含有两个元素的集合．在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)．若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是(　　)
A．(a*b)*a＝a B．[a*(b*a)]*(a*b)＝a
C．b*(b*b)＝b D．(a*b)*[b*(a*b)]＝b
解析：此题只有一个已知条件：a*(b*a)＝b.B中a*(b*a)＝b原式变为b*(a*b)＝a，成立，C中相当于已知条件中a替换为b，明显成立，D中，b*(a*b)＝a，原式变为(a*b)*a＝b成立．
答案：A
4．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是(　　)
A．|a－b|≤|a－c|＋|b－c| B．a2＋≥a＋
C．|a－b|＋≥2 D.－＜－
解析：A：|a－b|＝|(a－c)＋(c－b)|≤|a－c|＋|c－b|一定成立．
B：a2＋＝2－2，a2＋≥a＋⇔2≥＋2
⇔2－－2≥0⇔a＋≥2或a＋≤－1.
而a＋≥2或a＋≤－2.∴上式恒成立．
C：|a－b|≥0，而a－b∈R，∴不能使用均值不等式．
D：显然成立．
答案：C
二、填空题
5．已知函数f(x)＝ax＋2a＋1，当x∈[－1,1]时，f(x)有正值也有负值，则实数a的取值范围为________．
解析：由题意得f(x)＝ax＋2a＋1为斜率不为0的直线，由单调性知f(1)·f(－1)<0，
∴(a＋2a＋1)·(2a－a＋1)<0.∴－1<a<－.
答案：－1<a<－
6．如果函数f(x)的定义域为R，对于m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－6，且f(－1)是不小于5的正整数，当x>1时，f(x)<0.那么具有这种性质的函数f(x)＝________.(注：填上你认为正确的一个函数即可)
解析：令m＝n＝0，由f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－6得f(0)＝6，设f(x)＝ax＋6，
∵f(－1)＝－a＋6≥5.∴a≤1.
又知当x>1时，f(x)<0，∴a<0且f(1)＝a＋6≤0.
∴a≤－6 (a∈Z)．∴a＝－6，－7，－8…都符合要求．
答案：－7x＋6
7．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(n∈N)行，在这些数中非1的数字之和是________________．
1
1　　1
1　　2　　1
1　　3　　3　　1
1　　4　　6　　4　　1
……
解析：所有数字之和Sn＝20＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，除掉1的和2n－1－(2n－1)＝2n－2n.
答案：2n－2n
三、解答题
8．试证：当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．
证明：证法一：(1)当n＝1时，f(1)＝64，命题显然成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．
当n＝k＋1时，由于32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9
＝9(32k＋2－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)，
即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，∴n＝k＋1时命题也成立．
根据(1)、(2)可知，对于任意n∈N*，命题都成立．
证法二：(1)当n＝1时f(1)＝64
命题显然成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．
由归纳假设，设32k＋2－8k－9＝64m(m为大于1的自然数)，
将32k＋2＝64m＋8k＋9代入到f(k＋1)中得
f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k＋1)－9＝64(9m＋k＋1)，∴n＝k＋1时命题也成立．
根据(1)(2)知，对于任意n∈N*，命题都成立．
9．如下图所示，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点，求证：平面PAC⊥平面BDE.
证明：∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD.
又∵O是正方形的中心，∴BD⊥AC.
∵PO∩AC＝0，∴BD⊥平面PAC，
又BD⊂平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE.
10．已知数列{an}的前n项的和Sn满足Sn＝2an－3n (n∈N*)．
(1)求证{an＋3}为等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)数列{an}是否存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．
证明：(1)∵Sn＝2an－3n (n∈N*)，∴a1＝S1＝2a1－3，∴a1＝3.
又由得an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，
∴an＋1＋3＝2(an＋3)，∴{an＋3}是首项为a1＋3＝6，公比为2的等比数列．
∴an＋3＝6×2n－1，即an＝3(2n－1)．
(2)解答：假设数列{an}中存在三项ar，as，at (r<s<t)，它们可以构成等差数列．
由(1)知ar<as<at，则2as＝ar＋at，
∴6(2s－1)＝3(2r－1)＋3(2t－1)，即2s＋1＝2r＋2t，∴2s＋1－r＝1＋2t－r(*)
∵r、s、t均为正整数且r<s<t，∴(*)左边为偶数而右边为奇数，
∴假设不成立，即数列{an}不存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列．

1．对于任意实数a，b定义运算a*b＝(a＋1)(b＋1)－1，给出以下结论：①对于任意实数a，b，c，有a*(b＋c)＝(a*b)＋(a*c)；②对于任意实数a，b，c，有a*(b*c)＝(a*b)*c；③对于任意实数a，有a*0＝a，则以上结论正确的是________．(写出你认为正确的结论的所有序号)
解析：按新定义，可以验证a*(b＋c)≠(a*b)＋(a*c)，所以①不成立；
而a*(b*c)＝(a*b)*c成立，a*0＝(a＋1)(0＋1)－1＝a.所以正确的结论是②③.
答案：②③
2．已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0＝1，an＋1＝an·(4－an)(n∈N)．
证明：an<an＋1<2(n∈N)．
证明：证法一：用数学归纳法证明：
(1)当n＝0时，a0＝1，a1＝a0(4－a0)＝，所以a0<a1<2，命题正确．
(2)假设n＝k－1(k∈N*)时命题成立，即ak－1<ak<2.
则当n＝k时，ak－ak＋1
＝ak－1(4－ak－1)－ak(4－ak)＝2(ak－1－ak)－(ak－1－ak)(ak－1＋ak)
＝(ak－1－ak)(4－ak－1－ak)．
而ak－1－ak<0,4－ak－1－ak>0，所以ak－ak＋1<0.
又ak＋1＝ak(4－ak)＝ [4－(ak－2)2]<2.所以n＝k时命题成立．
由(1)(2)可知，对一切n∈N时有an<an＋1<2.
证法二：用数学归纳法证明：
(1)当n＝0时，a0＝1，a1＝a0(4－a0)＝，所以0<a0<a1<2；
(2)假设n＝k－1(k∈N*)时有ak－1<ak<2成立，令f(x)＝x(4－x)，f(x)在[0,2]上单调递增，所以由假设有：f(ak－1)<f(ak)<f(2)，
即ak－1(4－ak－1)<ak(4－ak)<×2×(4－2)，
也即当n＝k时，ak<ak＋1<2成立．所以对一切n∈N，有ak<ak＋1<2.
3． 已知函数f(x)＝x3＋ax＋b定义在区间[－1,1]上，且f(0)＝f(1)，设x1，x2∈[－1,1]且x1≠x2.
(1)求证：|f(x1)－f(x2)|<2|x1－x2|；
(2)若0<x1<x2≤1，求证：|f(x1)－f(x2)|<1.
证明：(1)由f(0)＝f(1)，得b＝1＋a＋b，解得a＝－1.故f(x)＝x3－x＋b，设x1，x2∈[－1,1]．
则|f(x1)－f(x2)|＝|x－x1－x＋x2|＝|x1－x2|·|x＋x1x2＋x－1|.
因为－1≤x1，x2≤1，则0≤x≤1,0≤x≤1，－1≤x1x2≤1，所以－1≤x＋x＋x1x2≤3，
当且仅当x1＝x2＝±1时，右边取等号．∵x1≠x2，∴右边等号取不到．
若x＋x＋x1x2＝－1，则x＋x＋(x1x2＋1)＝0.
∵x1x2＋1≥0，∴x1＝x2＝0且x1x2＋1＝0矛盾，∴左边等号也取不到．
所以两边等号均不成立．所以－1<x＋x＋x1x2<3.
所以－2<x＋x＋x1x2－1<2.所以|x＋x＋x1x2－1|<2，
即|f(x1)－f(x2)|<2|x1－x2|.
(2)因为f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝0，则x＝.由导数的知识容易验证，
当x＝时，[f(x)]min＝b－.又f(1)＝b，所以当x∈(0,1]时，b－≤f(x)≤b.
则b－≤f(x1)≤b，b－≤f(x2)≤b.因为x1≠x2，所以f(x1)≠f(x2)．所以－≤f(x1)－f(x2)≤.即|f(x1)－f(x2)|≤.又<1，所以|f(x1)－f(x2)|<1.

一、选择题

1．由>，>，>，…若a>b>0，m>0，则与之间大小关系为(　　)
A．相等 B．前者大 C．后者大 D．不确定
答案：B
2．自然数按下表的规律排列
1　　2　　　5　　10　　17
|　　　|　　|　　|
4 — 3　　6　 　11　　18
　　　　|　　 |　　 |
9 — 8　—　7　　12　　19
　　　　　　　　　|　　|
16—15— 14 — 13　　20
　　　　　　　　　　|
25—24— 23 — 22 — 21
则上起第2 007行，左起第2 008列的数为(　　)
A．2 0072 B．2 0082 C．2 006×2 007 D．2 007×2 008
解析：经观察可得这个自然数表的排列特点：
①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；
②第一行第n个数为(n－1)2＋1；
③第n行从第1个数至第n个数依次递减1；
④第n列从第1个数至第n个数依次递增1.
故上起第2 007行，左起第2 008列的数，应是第2 008列的第2 007个数，即为[(2 008－1)2＋1]＋2 006＝2 007×2 008.
答案：D
3．下列推理是归纳推理的是(　　)
A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
解析：从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理．
答案：B
4．如下图所示，把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，试求第七个三角形数是(　　)

A．27 B．28 C．29 D．30
解析：a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，a4＝a3＋4，∴an－an－1＝n，
∴an＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝，∴a7＝＝28.
答案：B
二、填空题
5．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A中元素之间的一个关系“～”满足以下三个条件：
(1)自反性：对于任意a∈A，都有a～a；
(2)对称性：对于a，b∈A，若a～b，则有b～a；
(3)传递性：对于a，b，c∈A，若a～b，b～c，则有a～c，
则称“～”是集合A的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)．请你再列出三个等价关系：________.
答案：答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．
6．设正数数列{an}前n项和为Sn，且存在正数t，使得对所有自然数n，有＝，则通过归纳猜想可得到Sn＝________.
解析：令n＝1，则＝，∴S1＝a1＝t.令n＝2，则＝，则a2＝3t.
∴S2＝4t.同理S3＝9t.归纳Sn＝n2t.
答案：n2t
7．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如下图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是________．

答案：S＋S＋S＝S
三、解答题
8．已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝.通过观察上述两个不等式的规律，请写出一个一般性的命题，并给出证明．
解答：一般性的命题为：sin2α＋sin2(60°＋α)＋sin2(120°＋α)＝.
证明如下：
左边＝＋＋
＝－[cos 2α＋cos(120°＋2α)＋cos(240°＋2α)]
＝－[cos 2α＋cos 120°cos 2α－sin 120°sin 2α＋
cos 240°cos 2α－sin 240°sin 2α]＝＝右边．
所以命题得证．
9．如下图所示，点P为斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.

(1)求证：CC1⊥MN；
(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EFcos∠DFE.
拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．
证明：(1)∵PM⊥BB1，PN⊥BB1，∴BB1⊥平面PMN.∴BB1⊥MN.
又CC1∥BB1，∴CC1⊥MN.
(2)在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1SACC1A1cos α.
其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所组成的二面角.
∵CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角的平面角为∠MNP.
在△PMN中，PM2＝PN2＋MN2－2PN·MNcos∠MNP⇒
PM2·CC＝PN2·CC＋MN2·CC－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，
由于SBCC1B1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，
SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，∴有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1·cos α.
10．(1)找出三角形和空间四面体的相似性质；
(2)并用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质．
①三角形的两边之和大于第三边．
②三角形的中位线等于第三边的一半，并且平行第三边．
③三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心．
④三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r(r为内切圆半径)．
解答：三角形和四面体有下列共同性质．
(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形．
(2)三角形可以看作平面上一条线段外一点及这条线段上的各点所形成的图形；四面体可以看作三角形外一点与这个三角形上各点的连线所围成的图形．
根据三角形的性质可以推测空间四面体有如下性质.
三角形
四面体
三角形的两边之和大于第三边
四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
三角形的中位线等于第三边的一半，并且平行于第三边
四面体的中位面的面积等于第四个面面积的，且平行于第四个面
三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心
四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心
三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r(r为三角形内切圆的半径)
四面体的体积为V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r，S1，S2，S3，S4为四个面的面积，r为内切球的半径

1．已知整数的数对列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则第60个数对是(　　)
A．(3,8) B．(4,7) C．(4,8) D．(5,7)
解析：观察可知横坐标和纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，依此类推和为n＋1的数对有n个，多个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由＝60⇒n(n＋1)＝120，n∈Z，n＝10时，＝55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，
所以第60个数对是(5,7)．
答案：D
2．一机器狗每秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器狗以前进3步然后再后退2步的规律移动．如果将此机器狗放在数轴的原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长，令P(n)表示第n秒时机器狗所在位置的坐标，且P(0)＝0，那么下列结论中错误的是(　　)
A．P(3)＝3 B．P(5)＝1 C．P(101)＝21 D．P(103)<P(104)
解析：P(3)＝3，P(5)＝1显然是正确的，机器狗的规律是5秒前进一步，故P(100)＝20，那么P(101)＝21，即第101秒正好是前进一步，错误的只有D.
答案：D

复数的概念及运算
一、选择题
1．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：＋(1＋i)2＝－＋i，则复数对应的点在第二象限．
答案：B
2．若复数(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为(　　)
A．2 B．4 C．－6 D．6
解析：＝＝，根据已知条件a＝－6.
答案：C
3．()2等于(　　)
A.＋i B．－－i C.－i D．－＋i
答案：D
4．()2 005等于(　　)
A．i B．－i C．22 005 D．－22 005
解析：原式＝()2 004()＝i.
答案：A
二、填空题
5．若z∈C，且(3＋z)i＝1(i为虚数单位)，则z＝________.
解析：∵(3＋z)i＝1，∴3＋z＝－i.∴z＝－3－i.
答案：－3－i
6．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
解析：＝＝＝，根据已知条件a＝.
答案：
7．已知复数z1＝1－i，z1·z2＝1＋i，则z2＝________.
解析：由z1·z2＝1＋i知：z2＝＝＝i.
答案：i
三、解答题
8．计算下列各式：
(1)i2 000＋(＋i)8－()50；(2)(－i)6.
解答：(1)原式＝i4×500＋[2(1＋i)2]4－()25＝1＋(4i)4－i25＝257－i.
(2)由ω＝－＋i，∴－i＝－ω.原式＝[－(－＋i)]6＝(－＋i)6＝1.
9．已知＋＝2n，求最小正整数n.
解答：原等式可化为＋＝2n，
即[(1＋i)2]n(1＋i)＋[(1－i)2]n·(1－i)＝2·2n，(2i)n(1＋i)＋(－2i)n(1－i)＝2·2n，
2n·in(1＋i)＋2n(－i)n(1－i)＝2·2n，∴in[(1＋i)＋(－1)n(1－i)]＝2.
若n＝2k(k∈N*)，则i2k[(1＋i)＋(1－i)]＝2，∴i2k＝1，∴正整数k的最小值为2，
∴正整数n的最小值为4，若n＝2k－1(k∈N*)．则i2k－1[(1＋i)－(1－i)]＝2·i·i2k－1，
故2i2k＝2，∴i2k＝1，∴正整数k的最小值为2，
∴正整数n的最小值为4.∴对于n∈N*时，最小正整数为3.
10．试分析方程x2－(4－2i)x＋3－2i＝0是否有实根？并解方程．
解答：设x0是方程x2－(4－2i)x＋3－2i＝0的实根，则x－(4－2i)x0＋3－2i＝0.
整理得(x－4x0＋3)＋(2x0－2)i＝0，则解得x0＝1.
根据根与系数的关系，方程的两解分别为1,3－2i.

1．已知a，b∈R，且2＋ai，b＋i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根，那么p，q的值分别是(　　)
A．p＝－4，q＝5 B．p＝－4，q＝3 C．p＝4，q＝5 D．p＝4，q＝3
答案：A
2．对于非零实数a、b，以下四个命题都成立：
①a＋≠0；②(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；③若|a|＝|b|，则a＝±b；④若a2＝ab，则a＝b.
那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是________．
答案：②④

平面向量的概念及运算

(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：
①＋＝＋；②＋＝＋；③－＝＋.其中正确的有(　　)
A．0个　　　　B．1个　　　　C．2个　　　　D．3个
【解析】　①式的等价式是－＝－，左边＝＋，右边＝＋，不一定相等；②式的等价式是－＝－，＋＝＋＝成立；③式的等价式是－＝＋，＝成立，故选C.
【答案】　C
2．(2008年辽宁高考)已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则等于(　　)
A．2－ B．－＋2
C.－ D．－－
【解析】　方法一：如图，
∵2＋＝0，
∴＝－，
∴＝＋＝－
＝－(－)＝2－.
方法二：∵2＋＝0，
∴2(－)＋(－)＝0
∴2－2＋－＝0，
∴＝2－.
【答案】　A
3．(2010年福鼎模拟)O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足：＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则直线AP一定通过△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
【解析】　由＝＋λ(＋)，得－＝λ(＋)，
即＝λ(＋)，
∴△ABC中BC的中线在直线AP上，
故直线AP一定通过△ABC的重心．
【答案】　C
4．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则(　　)
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0
【解析】　∵四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，即－＝－，
又∵＝a，＝b，＝c，＝d，
∴b－a＝c－d，即a－b＋c－d＝0.
【答案】　B
5．(2010年柳州模拟)已知O为△ABC内一点，且＋＋2＝0，则△AOC与△ABC的面积之比是(　　)
A．1∶2 B．1∶3
C．2∶3 D．1∶1
【解析】　设AC的中点为D，
则＋＝2，
∴＋＋2＝2＋2＝0，
∴＝－，
即点O为AC边上的中线BD的中点，
∴＝.
【答案】　A
6．(2010年正定模拟)已知向量a、b、c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于(　　)
A．a B．b
C．c D．0
【解析】　∵a＋b与c共线，
∴a＋b＝λ1c①
又∵b＋c与a共线，
∴b＋c＝λ2a②
由①得：b＝λ1c－a.
∴b＋c＝λ1c－a＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a，
∴即，∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.
【答案】　D
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.
【解析】　由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，
∴ ，解得.
【答案】　－
8．(2010年厦门模拟)过△ABC的重心G作一直线分别交AB、AC于D、E，若＝x，＝y，xy≠0，则＋的值为________．

【解析】　如图，题目中未说明是什么直线，可取特殊直线，令直线与BC平行，
则＝，＝，
∴x＝y＝，∴＋＝＋＝3.
【答案】　3
9．如图，||＝1，||＝，||＝2，
∠AOB＝∠BOC＝30°，用，表示，则＝________.
【解析】　作的相反向量，过C作CD∥OB交直线OA′于D，作CE∥OD交直线OB于E，
则＝＋，

在△OCE中，CE＝2，OE＝2，
∴＝2＝－2，＝2.
∴＝－2＋2.
【答案】　－2＋2
三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)
10．设i、j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且＝－2i＋mj，＝ni＋j，＝5i－j，若点A、B、C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m、n的值．
【解析】　＝－＝(n＋2)i＋(1－m)j，
＝－＝(5－n)i＋(－2)j.
∵点A、B、C在同一条直线上，∴∥，
即＝λ，
∴(n＋2)i＋(1－m)j＝λ[(5－n)i＋(－2)j]，
∴，解得或.

11．如图，已知在▱ABCD中，AH＝HD，BF＝MC＝BC，设＝a，＝b，试用a、b分别表示、、.

【解析】　＝＋＋＝b＋a＋＝a＋b－b＝a＋b，
＝＋＋
＝＋＋
b－a＋(－b)＝－b－a，
＝＋＝＋＝a＋b.
12．设a、b是不共线的两个非零向量．
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，
求证：A、B、C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值；
(3)设＝ma，＝nb，＝αa＋βb，其中m、n、α、β均为实数，m≠0，n≠0，若M、P、N三点共线，
求证：＋＝1.
【解析】　(1)证明：∵＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
而＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2，
∴与共线，且有公共端点B，
∴A、B、C三点共线．
(2)∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ，使得
8a＋kb＝λ(ka＋2b)⇒(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0
∵a与b不共线，
∴⇒8＝2λ2⇒λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.
(3)证明：∵M、P、N三点共线，∴存在实数λ，使得＝λ，
∴＝＝a＋b.
∵a、b不共线，∴
∴＋＝＋＝1.

三角函数的性质
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的(　　)

【解析】　∵y＝是偶函数，排除A，
当x＝2时，y＝>2，排除D，
当x＝时，y＝＝>1，排除B.
【答案】　C
2．(2010年石家庄模拟)已知在函数f(x)＝sin 图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x2＋y2＝R2上，则f(x)的最小正周期为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】　∵x2＋y2＝R2，∴x∈[－R，R]．
∵函数f(x)的最小正周期为2R，
∴最大值点为
相邻的最小值点为，
代入圆方程，得R＝2，∴T＝4.
【答案】　D
3．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)图象的相邻的两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是(　　)
A．0 B．1
C．－1 D.
【解析】　由题意知T＝，由＝得ω＝4，
∴f(x)＝tan 4x，∴f＝tan π＝0.
【答案】　A
4．(2010年郑州模拟)已知函数f(n)＝cos (n∈N)，则的值为(　　)
A．1 B．cos
C. D．2
【解析】　函数f(n)的周期为10，
且f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(10)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 003)
＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝cos ＋cos ＋cos ，
又f(11)＋f(22)＋f(33)＝cos ＋cos ＋cos ＝cos ＋cos ＋cos ，
∴原式＝1.
【答案】　A
5．函数f(x)＝2cos2x－2sinx－1的最小值和最大值分别为(　　)
A．－3,1 B．－2,2
C．－3， D．－2，
【解析】　f(x)＝2cos2x－2sinx－1
＝1－2sin2x－2sinx＝－2(sinx＋)2＋，
∵－1≤sinx≤1，
∴当sinx＝－时，f(x)max＝，
当sinx＝1时，f(x)min＝－3.
【答案】　C
6．(2010年烟台模拟)车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin(其中0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的(　　)
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
【解析】　由－＋2kπ≤≤＋2kπ得
－π＋4kπ≤t≤π＋4kπ，k∈Z，
当k＝1时，3π≤t≤5π.
【答案】　C
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________，函数y＝sin的单调递增区间为________．
【解析】　(1)要使函数有意义必须有，
即，
解得(k∈Z)，
∴2kπ<x≤＋2kπ，k∈Z，
∴函数的定义域为
(2)由y＝sin得y＝－sin，
由＋2kπ≤x－≤π＋2kπ，得π＋3kπ≤x≤＋3kπ，k∈Z，故函数的单调递增区间为
(k∈Z)．
【答案】　
(k∈Z)
8．(1)已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．
(2)(2010年上海模拟)已知x＝－是方程3tan(x＋α)＝的一个解，α∈(－π，0)，则α＝________.
【解析】　(1)由题意知≤，T＝，∴2ω≥3，ω≥，
∴ω的最小值等于.
(2)由已知得3tan＝，即tan＝，
∴α－＝＋kπ，k∈Z，
即α＝＋kπ，k∈Z，
又α∈(－π，0)，∴α＝－π.
【答案】　(1)　(2)－π
9．对于函数f(x)＝，给出下列四个命题：
①该函数是以π为最小正周期的周期函数；
②当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1；
③该函数的图象关于x＝＋2kπ(k∈Z)对称；
④当且仅当2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤.其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上)

【解析】　画出f(x)在一个周期[0,2π]上的图象．
由图象知，函数f(x)的最小正周期为2π，在x＝π＋2kπ(k∈Z)和x＝π＋2kπ(k∈Z)时，该函数都取得最小值－1，故①②错误，由图象知，函数图象关于直线x＝π＋2kπ(k∈Z)对称，在2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤.故③④正确．
【答案】　③④
三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)
10．已知函数y＝f(x)＝log|sin x|.
(1)求其定义域和值域；
(2)判断奇偶性；
(3)判断周期性，若是周期函数，求周期；
(4)写出单调区间．
【解析】　(1)由|sinx|＞0得sinx≠0，
∴x≠kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的定义域为，
∵0＜|sinx|≤1，
∴log|sinx|≥0，
∴函数f(x)的值域是[0，＋∞)．
(2)∵f(－x)＝log|sin(－x)|＝log|－sinx|
＝log|sinx|＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数．
(3)∵f(x＋π)＝log|sin(x＋π)|＝log|－sin x|
＝log|sin x|＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为π的周期函数．
(4)函数y＝|sinx|的单调递增区间为(kπ，＋kπ](k∈Z)，
单调递减区间为[－＋kπ，kπ)(k∈Z)，
∴函数f(x)＝log|sinx|的单调递增区间为[－＋kπ，kπ)(k∈Z)，单调递减区间为(kπ，＋kπ](k∈Z)．
11．(2010年娄底模拟)设函数f(x)＝cos ωx(sin ωx＋cos ωx)，其中0<ω<2.
(1)若f(x)的周期为π，求当－≤x≤时，f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的图象的一条对称轴为x＝，求ω的值．
【解析】　f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋
＝sin＋.
(1)因为T＝π，所以ω＝1.
当－≤x≤时，2x＋∈，
所以f(x)的值域为.
(2)因为f(x)的图象的一条对称轴为x＝，
所以2ω＋＝kπ＋(k∈Z)，
ω＝k＋(k∈Z)，
又0<ω<2，所以－<k<1，又k∈Z，
所以k＝0，ω＝.
12．已知a＞0，函数f(x)＝－2asin(2x＋)＋2a＋b，当x∈[0，]时，－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间．
【解析】　(1)∵x∈[0，]，
∴2x＋∈[，]，
∴sin(2x＋)∈[－，1]，
∴－2asin(2x＋)∈[－2a，a]，
∴f(x)∈[b,3a＋b]，又－5≤f(x)≤1.
∴，解得.
(2)f(x)＝－4sin(2x＋)－1，
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ得
－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
由＋2kπ≤2x＋≤π＋2kπ得
＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为[＋kπ，π＋kπ](k∈Z)，
单调递减区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．

第 - 27 - 页 共 27 页