高考数学一轮复习文档 学生用书 第9章.pdf

第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程最新考纲1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式及一般式）,了解斜截式与一次函数的关系.考向预测考情分析：直线方程单独考查较少，与圆的方程、圆锥曲线方程结合考查是高考的热点,各种题型都有.学科素养：通过直线的倾斜角、斜率、方程的求解考查数学运算的核心素养；通过直线 方程的综合应用考查直观想象的核心素养.积累必备知识基础落实赢得良好开端一、必记4个知识点1.直线的倾斜角定义两种情况范围：直线的倾斜角a的取值范围是：.2.直线的斜率条件公式直线的倾斜角0,且6/90。k=_ _ _ _ _ _ _ _直线过点A(%i,yi),B(X2,刃)且1W%2k=_ _ _ _ _ _ _ _直线 Ar+3 y+C=0(BW0)k=_ _ _ _ _ _ _ _3.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含直线%=%0斜截式不含垂直于入轴的直线两点式=不含直线和直线y 1302）截距式=1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面内所有直线都适用提醒“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距 离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.4.线段的中点坐标公式若点Pi,尸2的坐标分别为(为，yi),3,)，线段PPi的中点M的坐标为(%,y)则f c，“此公式为线段尸1尸2的中点坐标公式.二、必明2个常用结论1.直线倾斜角和斜率的关系(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率.(2)不是倾斜角越大，斜率攵就越大，因为攵=t an a,当。a越大，斜率左就越大，同样,时也是如此，但当a0,兀)且aW 时就不是了.2.特殊直线的方程直线过点尸1(阳，1)，垂直于入轴的方程为=为；(2)直线过点Pi(%i，yi),垂直于y轴的方程为y=yi；(3)y轴的方程为=0；(4)%轴的方程为y=0.三 必练3类基础题(一)判断正误1.判断下列说法是否正确(请在括号中打“或“义”).(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.()(2)过点M(a,b),N(b,a)(aW3的直线的倾斜角是45。.()(3)直线的倾斜角越大，斜率女就越大.()(4)经过点P(%o，泗)的直线都可以用方程yyo=Z(%一%o)表示.()(5)经过任意两个不同的点尸i(%i，yi),Pz(X2,竺)的直线都可以用方程(jyi)(%2-%i)=(%-xiX”-yi)表示.()(二)教材改编2.必修2-P95习题丁2改编直线/：%sin3()o+yc o s 150。+。=0的斜率为()A.3 B.5坦C.-百 D.-33.必修2196例4改编已知5c的三个顶点坐标为A(l,2),3(3,6),C(5,2),M 为A8的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为()A.2%+y-12=0 B.2x-y-12=0C.2%+厂8=0 D.2xy+8=0(三)易错易混4.(混淆倾斜角与斜率的关系)若直线=2的倾斜角为a,则a的值为().A.0 B.4.C.2 D.不存在5.(忽视斜率与就距对直线的影响)如果4CV0,且8CV0,那么直线Ar+8y+C=0 不经过第 象限.6.(忽视越距为0的情况)经过点尸(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为提升关键能力考点突破掌握类题通法 考点一直线的倾斜角与斜率基础性1.直线/：%+gy+1=0的倾斜角的大小为()A.30 B.60C.120 D.1502.设直线/的方程为X+yc o se+3=0(6R),则直线/的倾斜角a的取值范围是()A.0,K)B.M”c,。，引,。，9喏，引3.若点A(4,3),3(5,a),C(6,5)三点共线，则a的值为.4.直线/过点P(l,0),且与以A(2,1),8(0,百)为端点的线段有公共点，则直线/斜率的取值范围为.反思感悟解决直线的倾斜角与斜率问题的方法数形结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的 单调性确定函数图象法根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可考点二直线的方程综合性例1(1)求过点A(l,3),斜率是直线=一4%的斜率的 21的直线方程；求经过点45,2),且在入轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程.听课笔记：反思感悟求解直线方程的两种方法直接法根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程待定系 数法设所求直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式)；由条件建立所求参数的方程(组)；解这个方程(组)求出参数；把参数的值代入 所设直线方程提醒(1)选用点斜式和斜截式时，要注意讨论斜率是否存在.(2)选用截距式时，要注意讨论直线是否过原点，截距是否为。(3)选用一般式Ax+8y+C=0确定直线的斜率时，要注意讨论8是否为0.【对点训练】根据所给条件求直线的方程：(1)直线经过点尸(4,1),且在两坐标轴上的截距相等；(2)直线过点(5,10),到原点的距离为5.考点三直线方程的综合应用综合性角度1直线过定点问题例2已知R,写出以下动直线所过的定点坐标；若直线方程为y=H+3,则直线过定点；若直线方程为y=H+3 A,则直线过定点；(3)若直线方程为=竹+3,则直线过定点.听课笔记：反思感悟1.直线过定点问题，可以根据方程的结构特征，得出直线过的定点坐标.2.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能 够看出“动中有定”.角度2与直线方程有关的多边形面积的最值问题例3过点P(4,1)作直线/分别交工轴，y轴正半轴于A,8两点.(1)当A03的面积最小时，求直线I的方程；(2)当|OA|十|O用取最小值时，求直线/的方程.听课笔记：一题多变(变问题)若例3中条件不变，求当|M|.|同|取得最小值时直线/的方程.反思感悟与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不 等式求解最值.(2)求直线方程：弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.(3)求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单 调性或基本不等式求解.【对点训练】已知直线/：Ax-y+l+2A=0(AR).(1)证明：直线/过定点；(2)若直线不经过第四象限，求2的取值范围；(3)若直线/交轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点3,ZSAOB的面积为5(0为坐标原 点)，求S的最小值并求此时直线/的方程.第九章平面解析几何第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程积累必备知识、1.(2)0,7T)Tt f A2.t a n 0 3.yyo=k(xxo)y=kx-b Ax+By+C=Q,A2+B20*2 24.三、1.答案：(1)X X(3)X(4)X(5)J聒 i x r j2.解析：c o s 150。=一 z,sin 30。=2,所以攵=一 皿垢=一3答案：AZT3.解析：由中点坐标公式得M(2,4),N(3,2),则如n=3T=-2,所在直线的方程为：y2=2(%3),即 2%+y8=0.答案：C4.解析：因为直线=2垂直于入轴，所以倾斜角a为答案：C5.解析：将Ax+8y+C=0化为y=一xAVA C 0,B C0,：.-B0.直线过一、二、四象限，不过第三象限.答案：三16.解析：当直线过原点时，方程为y=x.即%4丁=0.当直线不过原点时，设直 线的方程为X+=%,把点A(4,1)代入直线的方程可得左=5,故直线方程是+y5=0.答案：x4y=0 或 x+y5=0提升关键能力考点一L 理 立1.解析：由l：x+近y+l=0可得y=-ax-丁，所以直线1的斜率为k更T9立设直线1的倾斜角为a,则tan a 3,因为 0。忘01).又 a0,7i),.aG9由上知，倾斜角的范围是答案：c3.解析：依题意得AC=5-36=1,kAB=a-35T=Q-3,由于A,B,C三点共线,所以 a3=1,即 a=4.答案：41T-5=0.(2)当直线斜率不存在时，所求直线方程为5=0；当直线斜率存在时，设其为鼠则所求直线方程为y10=-x5),即履一y+(105%)=0.|10-5.3由点到直线的距离公式，得 匹=5,解得=.故所求直线方程为3%4y+25=0.综上可知，所求直线方程为15=0或3%4y+25=0.考点三例2解析：(1)当x=0时，y=3,所以直线过定点(0,3)；(2)直线方程可化为y=k(x+3),故直线过定点(-3,0)；(3)当y=0时，x=3,所以直线过定点(3,0).答案：(1)(0,3)(2)(-3,0)(3)(3,0)例3解析:设直线/：*因为直线/经过点P(4,l),所以 a=1.+-因为 、=122所以必216,当且仅当a=8,8=2时等号成立，所以当g=8,8=2时，ZSAOB的面积最小，此时直线/的方程为 8 z=l,即+4厂8=0.*+-C+4因为 b=l,40,b0,所以|OA|+|O3|=a+b=（a+。）”=5+;十竺b*29,当且仅当。=6,8=3时等号成立，所以当I0AI+I03 I取最小值时，直线/的方程为+2厂 6=0.一题多变解析：设A(d 0),8(0,与，则40,Q0,直线/的方程为、=1,所以 B h=1.|M|.|词尸记.丽=一(。-4,1)-(4,/71)=4(q4)+b 1=4a+。-17=(4。+8)5匚T=16+1-1722X4=8当且仅当a=b=5时取等号，此时直线Z的方程为X+厂5=0.对点训练解析：(1)证明：直线/的方程可化为1(%+2)+(1y)=0,x+2=0*|x=-2i-y=，解得 I v=i.I.无论左取何值，直线总经过定点(-2,1).(2)由方程知，当上#0时，直线在轴上的截距为一i+ak,在y轴上的截距为1+2限1+A要使直线不经过第四象限，则必须有l+2k l,解得20；当2=0时，直线为y=l,符合题意，故左的取值范围是0,+).解析：(3)由题意可知ZWO,再由/的方程，得A(W 0),3(0,1+2江依题意得芳V。.I 1+2k 0解得k0.S=2-oa-ob2 3X(2X2+4)=4,1 k-l+2k?l(4k+：+4)“=”成立的条件是20且4%=*,即=:Smin=4,此时直线I的方程为%-2y+4=0.第二节两直线的位置关系最新考纲。1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.考向预测考情分析：确定两条直线的位置关系，已知两条直线的位置关系求参数，求直线的交点 和点到直线的距离，对称问题，过定点的直线系问题是高考考查的热点.往往和圆锥曲线综 合起来.题型多为解答题.学科素养：通过两直线位置关系的判定及应用考查直观想象、逻辑推理的核心素养.积累必备知识基础落实赢得良好开端、必记3个知识点1.两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线小11,斜率分别为如kl平行k与22都不存在垂直k与攵2一个为零、另一个不存在注意在判断两条直线的位置关系时，容易忽视斜率是否存在，若两条直线斜率存在,则可根据条件进行判断，若斜率不存在，则要单独考虑.2.两条直线的交点方程组有唯一解直线/MX+5y+G=0与 C2=O 的公共点的坐标与方程组(2+8/+。=0,的解一 1人必+8少+。2=0的廨一对应方程组无解方程组有无穷多解3.三种距离公式三种距离条件公式两点间的 距离A(x,y)，B(xz,yi)AB=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _点到直线P(%o,yo)到直线 Ax-By-C=0 的距离为 dd=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _的距离两平行线 间的距离直线 Ar+3 y+G=0 到直线 Ax+3 y+C2=0 的 距离为dd=_二、必明2个常用结论1.两个充要条件(1)两直线平行或重合的充要条件直线Zi：Ai%+Sy+Ci=O与直线Z2：4冰+&旷+。2=0平行或重合的充要条件是4星 A2B10.(2)两直线垂直的充要条件直线/i：Aix+Biy+Ci 0 与直线 I2；Azx+&y+C2=0 垂直的充要条件是 AAz-BB2=0.2.六种常用对称关系(1)点(%,y)关于原点(0,0)的对称点为(一%,-).(2)点(%,y)关于入轴的对称点为(x,一y),关于y轴的对称点为(一,y).(3)点(%,y)关于直线y=%的对称点为(y,x),关于直线y=-%的对称点为(一y,一%).(4)点(%,y)关于直线的对称点为(2。一%,y),关于直线y=b的对称点为(%,2b-y).(5)点(%,y)关于点(a,份的对称点为(2a-%,2h-y).(6)点(%,y)关于直线%+y=Z的对称点为(2y,k-x),关于直线y=Z的对称点为(女+y,%江三、必练4类基础题(一)判断正误1.判断下列说法是否正确(请在括号中打“J”或“X”).(1)当直线/1和/2的斜率都存在时，一定有k产k2=lh.()(2)如果两条直线与/2垂直，则它们的斜率之积一定等于一1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()(二)教材改编2.必修2-P109习题T3改编若直线mx3y2=0与直线(2m)x3 y+5=0互相平行，则实数力的值为()A.2 B.-1C.1 D.03.必修2T(n习题T2改编已知点(a,2)(a0)到直线/：%+3=0的距离为1,则。的值为()A.M B.2-银C.短一1 D.迎+1(三)易错易混4.(忽视斜率不存在的情况)若直线(3。+2)%+(14a)y+8=0与(5a2)%+(a+4)y7=0垂直，则a=.5.(忽视平行线间宗数的对应关余)直线2x+2y+l=0,%+y+2=0之间的距离是(四)走进高考6.2020全国卷HI点(0,-1)到直线=%(%+1)距离的最大值为()A.1显B.C.5 D.2提升关键能力考点突破掌握类题通法考点一两条直线的平行与垂直基础性1.-4-1直线/i：y=o r与直线，2：2 3=1平行，则。=（）A.B 一C.2 D.-22.2022上海市长宁区延安中学高三月考“。=一1”是“直线以+（2。-1+1=0和 直线3%+冲+3=0垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.经过直线2xy=0与+y6=0的交点，且与直线2x+y1=0垂直的直线方程 为（）A.x-2y8=0 B.x2y6=0C.%+2y10=0 D.%2y+6=0反思感悟由一般式确定两直线位置关系的方法考点二两直线的交点与距离问题综合性直线方程1：4x+3i y+G=W 0)，2：A2X-B2yC2=0)/与/2垂直的充要条件AA2BB2=0/1与L平行的充分条件=丰(A232c 2W 0)1与，2相交的充分条件#(A252 0)与12重合的充分条件=(A2&C2W O)角度1交点问题例1(1)已知点M(0,1),点N在直线-y+l=O上，若直线垂直于直线+2厂3=0,则点N的坐标是()A.(-2,-1)B.(2,3)C.(2,1)D.(-2,1)(2)经过两直线Q%-2y+4=0和加入+2=0的交点P,且与直线自3%4y+5=0垂直的直线I的方程为.听课笔记：反思感悟(1)求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到方 程组的解就可以写出交点的坐标.(2)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件 写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程.角度2距离问题例2(1)点(0,1)到直线3%4丁+1=0的距离为()2 3A.5 B.5C.5 D.1(2)已知直线Q=3%2,直线方6%2y+l=0,则6与七之间的距离为()渔 渔A.2 B.4瓜 瓜C.2 D.4(3)2022玉林市育才中学模拟入轴上任一点到定点(0,2)、(1,1)距离之和的最小值 是()A.蜴 B.2+银C.亚 D.V3+1听课笔记:反思感悟1.点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式.2.两平行线间的距离的求法(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的 距离；(2)利用两平行线间的距离公式.【对点训练】1.已知三角形的三个顶点A(2,4),3(3,-6),C(5,2),则3 c边上中线的长为()A.V10 B.2 5C.11 的 D.3 府2.当点尸(3,2)到直线W%一丁+12根=0的距离最大时，加的值为()A.M B.0C.-1 D.13.已知直线y=H+2A+l与直线=一%+2的交点位于第一象限，则实数攵的取值范围是.考点三对称问题应用性角度1点关于点对称例3过点P(0,1)作直线/使它被直线小2%+y8=0和七：%3丁+10=0截得的 线段被点P平分，则直线I的方程为.听课笔记：反思感悟 点关于点邪的求I昉法若点M(X1,%)和点N(x,y)关于点P(a,b)对称，则由中点坐标公式得f x=2a x5=力一为,进而求解.角度2点关于线对称例4已知直线/：2%3)，+1=0,点4一1,-2),则点A关于直线/的对称点4的 坐标为.听课笔记：反思感悟点关于直线对称的解题方法若两点尸1(%1,1)与P2(%2,2)关于直线/：Ax+5y+C=0对称，则由方程组a(i)+b()+c=o,(一a=1，112 勺 25 可得到点P1关于直线/对称的点尸2的坐标(X2,2)(其中 B#0,角度3线关于线对称例5直线2%+3=0关于直线一+2=0对称的直线方程是()A.x2y+3=0 B.x2y30C.%+2y+l=0 D.%+2厂1=0听课笔记：反思感悟线关于线对称的解题方法求直线/1关于直线/对称的直线，2,有两种处理方法：在直线/1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关 于直线/的对称点，再用两点式写出直线/2的方程；(2)设点P(x,y)是直线/2上任意一点，其关于直线/的对称点为yi),根据点关于 直线对称建立方程组，用,y表示出1,yi,再代入直线/i的方程，即得直线b的方程.【对点训练】1.点(1,2)关于直线+2=0的对称点是()A.(1,0)B.(0,1)C.(0,-1)D.(2,1)2.2022青铜峡市高级中学月考已知直线/与直线2%3+4=0关于直线x=l对称，则直线/的方程为()A.2%+3 y8=0 B.3%-2y+l=0C.%+2y-5=0 D.3%+2y7=0微专题31直线系方程的灵活应用 思想方法在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行 直线系，垂直直线系和过两直线交点的直线系.直线系方程的常见类型平行于已知直线AX+8y+C=0的直线系方程是：Ax+8y+2=0(2是参数且2W0;(2)垂直于已知直线Ar+3 y+C=0的直线系方程是：&一出十2=0是参数)；(3)过两条已知直线/i：Ai%+3 iy+G=0和/2：A2x+&y+Q=0的交点的直线系方程是：Ai%+8iy+G+2(A2%+82y+C2)=0QR,但不包括 Z2).一平行直线系例1求与直线3%+4y+l=0平行且过点(1,2)的直线/的方程.解析：由题意，可设所求直线方程为3%+4y+C=0(C#l),又因为直线/过点(1,2),所以 3 X1+4X2+C=O,解得 C=-l l.因此，所求直线方程为3%+4y11=0.二、垂直直线系由于直线4%+8y+G=0与4亦+&、+。2=0垂直的充要条件为AA2+3/2=0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系.可以考虑用直线系方程求解.例2求经过点A(2,1),且与直线2%+y10=0垂直的直线/的方程.解析：因为所求直线与直线2%+y10=0垂直，所以设该直线方程为2y+G=0,又直线过点A(2,1),所以有22X1+G=O,解得G=0,即所求直线方程为2y=0.三、过两直线交点的直线系例3经过两条直线2%+3 y+l=0和3 y+4=0的交点，并且垂直于3%+4y7=0 的直线方程为.(2x+3y+l=0.x 3y+4=0.解析：方法一由方程组 解得x=7 I尸即两直线交点为 3.所求直线与直线3%+4y-7=0垂直,所求直线的斜率为k=由点斜式得所求直线方程为y=3/即以一3+9=0.方法二由垂直关系可设所求直线方程为4x-3+m=0,2x+3y+1=0.x3y+4=0.3由方程组 可解得两直线交点为 3 代入4x3y+m=0,得机=9,故所求直线方程为4%3 y+9=0.方法三由题意可设所求直线方程为(2%+3 y+l)+2(x3 y+4)=0,即(2+2)%+(33 2)y+1+42=0,又.所求直线与直线3 x+4y7=0垂直，.3(2+2)+4(3 32)=0,.2=2,代入式得所求直线方程为4x3 y+9=0.答案：4%3+9=0名师点评1,本例3法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直关系求出斜 率，由于交点在y轴上，故采用斜截式求解；法三则采用了过两直线Aix+5y+Ci=0与 4冰+82丁+。2=0的交点的直线系方程：AiX+5y+G+4A+&y+C2)=0,直接设出过两 直线交点的方程，再根据垂直条件用待定系数法求解.2.与直线Ax+3)，+C=0平行的直线系方程为Ax+By+G=0(GWO；与直线Ax+为+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay-Ci=0.变式训练已知直线/i：蛆+8y+=0与82x+my1=0互相平行，且办之间的距离为 由,求直线6的方程.第二节两直线的位置关系积累必备知识1.k=k2 kkz=,-13.J【药一句尸一 5一九)2J H+岸 5+.三、1.答案：(1)X X(3)V(4)V2.解析：两直线平行，其系数满足关系式-3根=3(2根)，解得根=1.答案：C3.解析：由题意知 停=1,所以|。+1|=银，又。0,所以。=银一1.答案:C4.解析：由两直线垂直的充要条件，得(3 a+2)(5a-2)+(l-4a)(a+4)=0,解得：a=0 或 a=1.答案：。或15.解析：直线2%+2y+l=0,%+y+2=0之间的距离即直线2%+2y+l=0,2x+2y+4=0之间的距离dK-H初钟=答案:6.解析：方法一点(0,1)到直线=网%+1)的距离为1=题=匹，注意到N+l 2k,于是2(R+l)2R+2A+l=|k+l|2,当且仅当左=1时取等号.*+1|即IbHl W VP+T 短，所以d=匹W 显,故点(0,1)到直线y=4(%+1)距离的最大值为 啦.方法二 由题意知，直线/：y=-x+l)是过点P(l,0)且斜率存在的直线，点。(0,-1)到直线I的最大距离在直线I与直线PQ垂直时取得，此时k=l,最大距离为。|=答案：B提升关键能力考点一31.解析：直线L：2 3=1的斜率为4=a因为直线h：y=ax与直线12：2 3=1平行，所以a=2,答案：D2.解析：若直线q%+(2ql)y+l=0和直线3x+冲+3=0垂直，则 3 a+a(2a1)=0,解得 q=0 或 q=1,则q=1是直线o x+(2al)y+1=0和直线3%+ay+3=0垂直”的充分不必要 条件.答案：At2xy=0|i=2+y6=0,解得|y=4,即交点为p(2,4),设与直线2x+y-1=0垂直的直线方程为x-2y-m=0,把点P(2,4)代入2y+/=0,即28+机=0,解得m=6,即所求直线方程为2y+6=0.答案：D考点二例1解析：(1)因为点N在直线y+l=0上，所以可设点N的坐标为(%o,xo+1).根据经过两点的直线的斜率公式，得kMN=+2y3=0,直线%+2y3=0 的斜率=一=2,解得沏=2.因此点N的坐标是(2,3).ft 2y+4=0 x+y-2=O 得、=.因为直线MN垂直于直线工2 f-1)壮2,所以如nX 1力=一1,即、|x=0(y=2即P(0,2).因为所以直线/的斜率4=一 3,所以直线/的方程为y2=一x,即 4%+3 y6=0.答案：(1)B(2)4%+3r-6=0例2解析：(1)点(0,1)到直线3%4y+l=0的距离为d=循F可=5=1.1+*瓜(2)直线/i的方程可化为6x2y4=0,则/i与b之间的距离d=(3)X轴上任一点到定点(0,2)、(1,1)距离之和的最小值，就是求解(0,2)关于1轴的对 称点，连接对称点与(1,1)的距离即可，因为。2)关于x轴的对称点为(0,-2),所以 7(1-OP+(1+2P=V10.即入轴上任一点到定点(0,2)、(1,1)距离之和的最小值是 收.答案：(1)D(2)D(3)C对点训练1.解析：设边5c的中点为。(%,y).345-6-H因为 3(3,-6),C(5,2),所以=2=4,y=2=2,即 0(4,2),所以 A=J(2-4+(4+2)，=2 的.答案：B2.解析：直线如一y+1-2m=0过定点。(2,1),所以点尸(3,2)到直线如一丁+1 2m=0的距离最大时，PQ垂直该直线,2-3即吐 3T=-机=.答案：C(y=k x+2k+1,_ 1，2J.用半忻：田力柱组 7-,解得交点坐标为篇为又交点位于第一象限,解得一k 1yb=x+2.由点 PQo,次)在直线 2%+3=0 上，.2。-2)一(x+2)+3=0,即 2y+3=0.答案：A对点训练1.解析：设点A(l,2)关于直线+y2=0的对称点是8(a,b),则有三=】苧+?2=0 ,解得f a=0 l b=l故点(1,2)关于直线+y2=0的对称点是(0,1).答案：B2.解析：直线2%3 y+4=0取两点(1,2),(-2,0),其关于=1对称的点为(1,2),0-2 2 2(4,0)在直线/上，故斜率为 二=一 3即方程为y0=V-4),即2x+3 y-8=0.答案：A微专题Q 直线系方程的灵活应用变式训练8角翠析：/2!m=4.pn=-4.n*-2 或 t n*2.当m=4时，直线1的方程为4x+8y+=0,把b的方程写成4%+8y2=0,值国=书,解得=一22或=18.故所求直线的方程为2x+4yl l=0或2x+4y+9=0.当根=4时，直线/i的方程为4%8y=0,把h的方程写成4%8y2=0两送=书,解得”=一18或=22.故所求直线的方程为2x4y+9=0或2%4y11=0.答案：2x-4y+9=0 或 2%4厂 11=0 或 2x+4厂 11=0 或 2x+4y+9=0第三节圆的方程,最新考纲，1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.考向预测考情分析：求圆的标准方程、一般方程，圆心到直线的距离，与圆有关的轨迹、最值问 题仍是高考考查的热点，题型将以选择与填空题为主，也可能出现在解答题中.学科素养：通过求圆的标准方程及利用圆的方程求最值，考查数学运算、直观想象的核 心素养.积累必备知识基础落实赢得良好开端一、必记2个知识点1.圆的定义及方程定义平面内与_的距离等于_的点的集合(轨迹)标准方程_(r 0)圆心：_,半径：_一般方程_(D2+E2-4F 0)圆心：_,半径：_2.点与圆的位置关系点M(x(),yo)与圆(xa+(y一的位置关系：(1)若 M(x0,yo)在 圆外，则(2)若M(xo,yo)在圆上，则.(3)若M(xo，yo)在圆内，则.二、必明2个常用结论1.以A(xi，yD，B(X2,yz)为直径端点的圆的方程为(x-xi)(xX2)+(yyD(yy2)=0.2.二元二次方程表示圆的条件对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时易忽视D2+E2-4F 0这一条件.三 必练4类基础题(一)判断正误1.判断下列说法是否正确(请在括号中打“或“X”).(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)方程x?+y2=a2表示半径为a的圆.()(3)方程 x2+y2+4mx2y+5m=0 表示圆.()(4)方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是 A=CW0,B=0,D2+E2-4AF 0.()(二)教材改编2.必修2尸124A组Ti改编圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标和半径分别是()A.(2,3),3 B.(-2,3),近C.(-2,-3),13 D.(2,-3),V133.必修2尸124A组A改编圆C的圆心在x轴上，并且过点A(-l,1)和B(l,3),则 圆C的方程为.(三)易错易混4.(错用点与圆的位置关余)若点(1,1)在圆(xa)2+(y+a)2=4的内部，则实数a的取值范围是()A.-l a l B.0 al 或 aV-l D.a=45.(忽略方程中变量的取值范围)已知点P(x,y)为圆x?+y2=l上的动点，则x?+4y的 最大值为.(四)走进高考6.天津卷在平面直角坐标系中，经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.提升关键能力考点突破掌握类题通法考点一求圆的方程基础性1.2022赤峰二中检测已知圆心在x轴上，半径为 遍的OC位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则。C的方程是()A.(X V10)2+y2=5B.(x+书+y2=5C.(x+亚+y2=5D.x2+(y+V)2=52.以点(1,一1)为圆心，且与直线xy+2=0相切的圆的方程为()A.(x+l+(y1)2=2B.(x-l)2+(y+l)2=2C.(x+l)2+(y-l)2=8D.(x-l)2+(y+l)2=83.若直线 1：mx+ny+3=0 始终平分圆 C：x22x+y2+3 y 1=0,则 2m3 n=()A.-6 B.-3C.3 D.64.已知圆 x?+y22mx(4m+2)y+4m2+4m+l=0(mW0)的圆心在直线 x+y7=0 上，则该圆的面积为(),A.4乃 B.27r C.兀 D.2反思感悟求圆的方程的两种方法直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a,b,i的方程组，从而求出a,b,r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D,E,F的方程组，进而求出D,E,F的值.提醒解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.考点二 与圆有关的最值问题综合性角度1借助几何性质求最值例1已知实数x,y满足方程x?+y24x+l=o.y(1)求,的最大值和最小值；(2)求y-x的最大值和最小值；求x2+y2的最大值和最小值.听课笔记：一题多变(变问题)若例1中条件不变，求P(x,y)到直线3 x+4y+12=0的距离的最大值和最小 值.反思感悟与圆有关的最值问题的三种几何转化法形如(i=1形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t=ax+by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m=(xa/+(ybp形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值 问题.角度2建立函数关系求最值例2(1)若点P为圆x2+y2=l上的一个动点，点A(-l,0),B(l,0)为两个定点，则|PA|+|PB|的最大值为()A.2 B.2 蜴C.4 D.42022山东潍坊模拟设点P(x,y)是圆/+。一3尸=1上的动点，定点A(2,0),B(-2,0),则 ra.词的最大值为听课笔记:反思感悟建立函数关系式求最值根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调 性等方法求最值.【对点训练】1.已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C：x2+y2-2y=0上的动点，则4ABP 的面积的最小值为()A.6 B.C.8 D.2.设点P(x,y)是圆：(x3)2+y2=4上的动点，定点A(0,2),B(0,一2),则|记十明的最大值为.考点三与圆有关的轨迹方程综合性例3已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(l,1)为圆内一点，P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若NPBQ=90。，求线段PQ中点的轨迹方程.听课笔记：反思感悟求与圆有关的轨迹问题的四种方法I直接法 T 直接根据题设给定的条件列出方程求解|定上法卜T 根据圆的定义列方程求解|几何法|利用圆的几何性质，得出方程代入法(相关点法)找出要求的点与已知点的关系,代入已知点满 足的关系式【对点训练】1.2022六盘山高级中学测试已知圆C：x2+y2+4x=0的圆心和圆上两点A,B构成 等边三角形，则AB中点M的轨迹方程是()A.(x+2+(y+1尸1B.(x+l)2+(y+l)2=3C.(x+l)2+y2=2D.(x+2+y2=32.2022江苏南通高三测试在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：(x 1+丫2=1,点B(3,0),过动点P引圆A的切线，切点为T.若PT=MPB,则动点P的轨迹方程为()A.x2+y2 14x+18=0 B.x2+y2+14x+18=0 C.x2+y2-10 x+18=0 D.x2+y2+10 x+18=0第三节圆的方程积累必备知识、1.定点定长(Xa)2+(y)2=产(a,b)r x2+y2+Dx+Ey+F=GS-孑 VD2+2-4F2.(l)(xoa)2+(yo)2r2(2)(xo-4)2+(yo方)2=产(3)(X0g)2+(yob)2 V/三、1.答案：(1 X(3)X(4)V-V1)2+E2-4F2.解析：由公式可知圆心坐标为(-2,-2),半径r=2,解得圆心坐标为(2,-3),半径r=V13.答案：D3.解析：设圆心坐标为C(a,0),因为点A(1,1)和3(1,3)在圆C上，所以|CA|=|C3|,即 V(a+iy+l=V(a-iy+9,解得 4=2,所以圆心为 C(2,0),又|CA|=j Q+iy+i=m,所以圆。的半径为 m,所以圆c的方程为(%2)2+2=10.答案：(x2)2+y2=i04.解析：因为点(1,1)在圆内，所以(1a)2+(l+a)2V4,即一IVaVl.答案：A5.解析：因为点尸(%,y)为圆/+y2=l上的动点，所以2+4卜=1尸+4y=-。-2)2+5.因为y1,1,所以当y=l时，/+你取得最大值4.答案：46.解析：方法一根据题意画出图形如图所示，结合图形知经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆，其圆心为(1,0),半径为1,则该圆的方程为(%l)2+y2=l.即 x2-y22x0.方法二 设所求圆的方程为 x2-y2-Dx-Ey+F=0(D2-E24F 0),由已知条件可得F=O.12+12+D+E+F=O 22+2D+F=O,解得rD=-2*E=O、F=O.所以所求圆的方程为2+y2%=0.答案：x2+.y22x=0提升关键能力考点一1.解析：设圆心为C(q,0)(aV0),由题意书，所以a=Vio.圆方程为(%+亚+y2=5.答案：C2.解析：因直线与圆相切，所以圆的半径等于点(1,1)到直线y+2=0的距离，即r=d=2 啦，则所求圆的方程为(%1)2+。+1)2=8.答案：D(13.解析：由C：/2%+产+3厂i=o得圆心C ”,因为直线平分圆，所(1.,-以直线必过圆心 2,则加一+3=0,则2加一3n6.答案：A4.解析：圆的方程可化为(m)2+(j2ml)2=m2(m:0),其圆心为(根，2m+1).依题意得，17=0,解得m=2,，圆的半径为2,面积为4.答案：A考点二例1解析：原方程可化为(%2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心，逐为半径的圆.(1),的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设、=鼠即丁=气.当直线y=与圆相切时，斜率左取最大值或最小值，此时 匹=遮.解得攵y=第(如图1).所以的最大值为 由,最小值为一解析：(2)y-x可看作是直