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年 世纪金榜 圆您梦想 w w w.jb lOOO.c om高一数学竞赛培训教材(一)集合与容斥原理集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的 基础。对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深 化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用 集艘示空间的线面及其关系，冰吊面轨迹及其关系、表示方程豆)或不等式(组)的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。一、学习集合要抓住元素这个关键例 1.设 A=X I X=a 2+b 2,a、bZ,XI,X2WA,求证：X1X2 eAo分析：A中的元素是自然数，即由两个整数a、b的平方和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、25，n2,中任取两个(相同或不相同)数加起来得到的一个和数，本题要证明的是：两个这样的数 的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即(a 2+b 2)(c 2+d 2)=(M)2+(N)2,M.NGZ证明：设 Xl=a 2+b 2,X2=c 2+d 2,a、b、c、d Z.则 X1X2=(a 2+b 2)(c 2+d 2)(r C c=a 2c 2+b 2d 2+b 2c 2+a 2d2=a 2c 2+2a c b d+b 2d 2+b 2c 2-2b c a d+a 2d2=(a c+b d)2+(b c-a d)2又 a、b、c、dZ,故 a c+b d、b c-a d Z,从而 X1X2WA练习：1.设两个集合 S=x|x=12m+8 n,m,n Z,T=x|x=20p+16q,p,q Z.求证：S=T。2.设 M=a|a=x2-y2,x,y Z.求证：(1)一切奇数属于 M;(2)4k-2(k WZ)不属于 M;(3)M中任意两个数的积仍属于Mo3.已知函数 f(x)=x2+a x+b,a,b WR,且 A=x|j=f(x),B=x|x=f f(x).(1)求证：A-B;侬)若人=-1,3时，求集合 吠 一二、集合中待定元素的确定例 2.已知集合卜1=在，XY,lg(xy),S=0,|X|,Y),且 M=S,则(X+1/Y)+(X2+1/Y 2)+(X2002+1/Y 2002)的值等于().分析：解题的关键在于求出X和Y的值，而X和Y分别是集合M与S中的元素。这一类根据集合的关 系反过来确定集合元素的问题，要求我们要对集合元素的基本性质即确定性、异性、无序性及集合之间的 基本关系(子、全、补、交、异、空、等)有本质的理解，对于两个相等的有限集合(数集)，还会用到它们 的简单性质：(a)相等两集合的元素个数相等；(b)相等两集合的元素之和相等；(c)相等两集合的元素之 积相等.第1页(共37页)数学投稿咨询QQ：1114962912山东世纪金榜书业有限公司曲 世纪金榜 圆您梦想 w w w.jb lOOO.c om解：由M=S知，两集合元素完全相同。这样，M中必有一个元素为0,又由对数的性质知，0和负数 没有对数，所以XY W0,故X,Y均不为零，所以只能有lg(XY)=0,从而XY=LX,1,0,S=0,I X|,1/X).再由两集合相等知.l1 或 If.l,=T 1 1=M；法X=1时，M=1,1,0,S召0,1,1,这与同一个集合中3褛的互异性矛盾，故X=1不满足题目 要求：当 X=l 时，M=1,1,0,S=0,l,1,M=S,从而 X=-1 满足题目要求，此时 Y=-1,于 是 X2K+l+l/Y 2K+l=2(K=0,1,2,),X2K+1/Y 2K=2(K=1,2,)，故所求代数式的值为 0.练习：4.已知集合 A 二例,。2,。3,。4,。5,8=其中2M34M5 是正整数,集合Ao且。2 的。4%,并满足Ac 3=0,a 4,勾+。4=1。,若AdB中的所有元素之和为234,求分.容斥原理基 本公式：(1)c a rd(A U B)=c a rd(A)+c a rd(B)c a rd(A A B)；(2)c a rd(A U B UC)=c a rd(A)+c a rd(B)+c a rd(C)-c a rd(A C B)-c a rd(A Cl C)-c a rd(B Pl C)+c a rd(A A B C C)没麻同时参加三项比赛，问同时赢田径比赛和球类比赛的有多少问题：开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,?只参加游泳一项比赛的有多少人？设人=参加游泳比赛的同学,B=参加田径比赛的同学,C=参加球类比赛的同学，则c a rd(A)=15,c a rd(B)=8,c a rd(C)=14,c a rd(A U BU C)=28,且 c a rd(A A B)=3,c a rd(A Pl C)=3,c a rd(A Pl B G C)=0,由公式 得28=15+8+14 3 3 c a rd(BAC)+0,即c a rd(B AC)=3,所以同时参加田径和球类比赛的共有 3人，而只参加游泳比赛的人有15 3 3=9(人)四、有限集合子集的个数例3.一个集合含有10个互不相同的两位数。试证，这个集合必有2个无公共元素的子集合，此两子 集的各数之和相等。第2页(共37页)数学投稿咨询QQ：1114962912山东世纪金榜书业有限公司个 世纪金榜 圆您梦想 w w w.jb lOOO.c om分析：两位数共有10,11,，99,计99 9=90个，最大的10个两位数依次是90,91,，99,其和为945,因此，由10个两位数组成的任意一个集合中，其任一个子集中各元素之和都不会超过 945,而它的非空子集却有2101=1023个，这是解决问题的突破口。解：已知集合含有10个不同的两位数，因它含有10个元素，故必有210=1024个子集，其中非空子 集有1023个，每一个子集内各数之和都不超过 90+91+-98+99=9450f min=f(-b/2a)=(4a c-b 2)/4a)f ma xa x f(p),f(q)f min=minf(p),f(q)f ma x=ma xf(p),f(q)c l0f ma.x=f(-b/2a)=(4a c-b 2)/4a)f min=minf(p),f(q)例L当x为何值时,函数f(x)=(x-a l)2+(x-a 2)2+(x-a n)2取最小值。解：V f(x)=(x2-2a lx+a l2)+(x2-2a 2x+a 22)+,+(x2-2a nx+a n2)=nx2-2(a l+a 2+a n)x+(a l2+a 22+a n2).,.当 x=(a l+a 2+a n)/n 时，f(x)有最小值.例2.已知xl,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0的两个实数根，xl2+x22的最大值是_.解：由韦达定理得：xl+x2=k-2,xlx2=k2+3k+5.xl2+x22=(xl+x2)2-2xlx2=(k-2)2-2(k2+3k+5=-k2T 0k-6=-(k+5)2+19.已知xl,x2是方程的两个实根，即方程有实数根，此时方程的判别式A20,即 =(k-2)2-4(k2+3k+5)=-3k2-16k-160 解得：-4 W k W-4/3,丁 k=-5 电-4,-4/3,设f(k)=-(k+5)2+19 则 f(-4)=18,f(-4/3)=50/918.当 k=-4 时，(xl2+x22)ma x=18.例3.已知f(x)=x2-2x+2,在x t,t+1上的最小值为g(t),求g(t)的表达式。解：f(x)=(x-l)2+l(1)当 t+ll 即 t l 时，g(t)=f(t)=t 2-2t+2g)=,i,ozi e.J-22+2,a1综合(1)、(2)、(3)得:例 4.(1)当 x2+2y2=l 时，求 2x+3y2 的最值；(2)当 3x2+2y2=6x 时，求 x2+y2 的最值。解:(1)由 x2+2y2=l 得 y2=l/2(l-x2),2x+3y2=2x+(3/2)(l-x2)=(-(3/2)(x-(2/3)2+(13/6)又 l-x2=2y22,，x2WL 1 WxW 1.,.当 x=2/3 时，y=(V 10)/6,(2x+3y2)ma x=16/3；当 x=-l 时，y=0,(2x+3y2)min=2(2)由 3x2+2y2=6x,得 y2=(3/2)x(2-x),代入 x2+y2=x2+(3/2)x(2-x)=T/2(x-3)2+9/2又 y2=(3/2)x(2-x)20,得 0WxW2.当 x=2,y=0 时,(x2+y2)ma x=4；当 x=0,y=0 时，(x2+y2)min=0 三、二次函数与二次方程第4页(共37页)数学投稿咨询QQ：1114962912 山东世纪金榜书业有限公司世纪金榜 圆您梦想w w w.jb lOOO.c om设 f(x)=a x2+b x+c(a W0)的二实根为 xl,x2,(xl x2),A=b 2-4a c,且a、0(a P)是预先给定的 两个实数。1.当两根都在区间(a,0)内，方程系数所满足的充要条件a xlx20 时的充要条件是：0,a-b/2a 0,f(p)0当 a VO 时的充要条件是：0,a-b/2a 3,f(a)0,f(p)0,a-b/2a 0,a f(p)02.当两根中有且仅有一根在区间(a,B)内，方程系数所满足的充要条件xlp或a Vx2B9对应的函数f(x)的图象有下歹那种情形从四种情形得充要条件是：f(a)f(0)0 3.当两根都不在区间a,0 内方程系数所满足的充要条件e(1)两根分别在区间a 之外的两旁时Vxla 3 x2,对应的函数f(x)的图象有下列两种情形(2)两根分别在区间a,0 之外的同旁时Vxlx2a p或a 0 xlx2,对应函数f(x)的图象有下列四种情形第5页(共37页)数学投稿咨询QQ：1114962912山东世纪金榜书业有限公司世纪金榜 圆您梦想w w w.jb lOOO.c om嚼xlx20,-b/2a a,a f(a)部当B Vxl0,-b/2a p,a f(p)0 例5.如果方程(l-m2)x2+2mx-l=0的两个根一个小于零，另一个大于1,确定m的范围。解：令f(x)=(l-m2)x2+2mxT,根据题设条件,f(x)的图形是下列两种情形之一:贝ij(l-m2)f(0)0,(l-m2)f(l)0,(m2)(2m-m2)0 解得：-lm0例6.当k为什么实数时，关于X的二次方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个实根a和0分别满足0 a 1 和 10 0,且方程f(x)=0有两实根a,p,所以它的图 象是开口向上且与X轴相交于两点(a,0)、(p,0)的抛物线。由于0a 1,lp 2,可知在x0时，f(x)取正值；在a Vx0,f(l)=k2-2k-8 0解这三个不等式组成的不等式组，可得-2kT和3k4。11m练习：1.求所有的实数m,使得关于x的方程x+2 x+1 2%-1有且只有整数根.f(x)=-x2+2.若函数 2 2在区间b上的最小值为2a,最大值为2b,求区间a,b。3.已知方程x2+2px+l=0有一个根大于1,有一个根小于1,则p的取值为.四.二次函数与二次不等式一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间。解不等式与证明不等式成立，经常要 用到二次函数的极值性质、单调性、图象与x轴的位置关系等。例 7.若 a l,a 2,a n,b l,b 2,b n 都是实数,求证：(a lb l+a 2b2+a nb n)2W(a l2+a 22+第6页(共37页)数学投稿咨询QQ：1114962912 山东世纪金榜书业有限公司世纪金榜 圆您梦想w w w.jb lOOO.c om+a 2n)(b l2+b 22+b 2n)证明：构造二 次函数 f(x)=(a lx-b l)2+(a 2x-b 2)2+(a nx-b n)2=(a l2+a 22+a 2n)x2-2(a lb l+a 2b2+a nb n)x+(b l2+b 22+b 2n).当 a l2+a 22+a 2n WO 即 a l,a 2,，a n 不全为零时，显然有对 x e R,f(x)20,故 f(x)=O 的判别式：A=4(a lb l+a 2b2+a nb n)2-4(a l2+a 22+a 2n)(b l2+b 22+b 2n)0.即(a lb l+a 2b2+a nb n)20),方程 f(x)-x=0 的两个根 xl,x2 满足 0 xlx2Vl/a。(1)当 x(0,xl)时,证明 xf(x)xl(2)设函数f(x)的图象关于直线x=xO对称，证明：x0 xl/2o证明：欲证：x f(x)x,只须证：0 f(x)-x 0),/.f(x)-x=a(x-xl)(x-x2),式即：0Va(x-xl)(x-x2)xl-x Va 0,x(0,xl),xb x 0,a(xl-x)0,式两边同除以 a(xl-x)0,得：0 x2-x 1/a,即：xx2 1/a+x.这由已知条件：0Vxxlx2 1/a,即得：xx2(1/a)1/a+x,故命题得证。欲证x0 xl/2,因为统-b/2a,故只须证：xO-xl/曜b/2a-xl/2 0 由韦达定理，xl+x2=(-b-l)/a,(xl+x2)/2=-(b T)/2a,代入式，有(-(b/2a)-(xl/2)=(x2/2)-(l/(2a)0,即：x2 l/a由已知：0 xlx2l/a,命题得证。（三）抽屉原理在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：“13个人中至少有两个人出生在相同月份某校400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”；“2003个人任意分成200个小组，一 定存在一组，其成员数不少于11”。这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”。在解决这类 问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。合类问题相对来说涉及到的运簪少，依据的理论也不复杂，这皆理论称为“抽屉原理”。,（-）抽屉原理的基本形式定理1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多 1个元素，从而n个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。例1.已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图 1）。证明：至少有两个点之间的距离不大于2.分析：5个点的分布是任意的。如果要证明“在边长为1的等边三角形内（包括边界）有5个点，那 第7页（共37页）数学投稿咨询QQ：1114962912山东世纪金榜书业有限公司世纪金榜 圆您梦想w w w.jb lOOO.c om么这5个点中一定有距离不大于5的两点”，则顺次连接三角形三边中点，即三角形的三条中位线，可以分原等边三角形为4个全等的边长为5的小等边三角形，则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中（包括边界），其距离便不大于5。以上结论要由定理“三角形内（包括边界）任意两点间的距离不大于其最大边长”来保证，下面我碟受挹善产 辑们就替证明这个定理。图如图2,设BC是a ABC的最大边，P,M是a ABC内（包括边界）任意两点，连接PM,过P分别作AB、BC边的平行线，过M作AC边的平行线，设各平行线交点为P、Q；N,那么NPQN=NC,ZQNP=ZA因 自七夕方 陶%k 韶k为BCAB,所以NANNC,则NQNPNNPQN,而NQMP2 NQNPN NPQN（三角形的外角大于不相邻的内角），所以PQ2PM。显然BC2PQ,故BCNPM。由此我们可以推知，边长为5的等边三角形内（包括边界）两点间的距离不大于2 o说明：（1）这里是用等分三角形的方法来构造“抽屉”。类似地，还可以利用等分线段、等分正方形的方法来构造“抽屉”。例如“任取n+1个正数a i,满足0n,由抽屉原则，结论就是必然的了。给n以 具体值，就可以构造出不同的题目。例2中的n取值是50,还可以编制相反的题目，如：“从前30个自才能保证取出的数中能找到两个数，其中较大的数是较小的数的倍数？”（2）如下两个问题的结论都是否定的（n均为正整数）想一想，为什么？从2,3,4,，2n+l中任取n+1个数，是否必有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍？从1,2,3,，2n+l中任取n+1个数，是否必有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍？（3）如果将（2）中两个问题中任取的n+1个数增加1个，都改成任取n+2个数，则它们的结论是 肯定的还是否定的？你能判断证明吗？例3.从前25个自然数中任意取出7个数，证明：取出的数中一定有两个数，这两个数中大数不超过小数的1.5倍。第9页（共37页）数学投稿咨询QQ：1114962912 山东世纪金榜书业有限公司w w w.jb lOOO.c om世纪金榜 圆您梦想证明：把前25个自然数分成下面6组：1;2,3；4,5,6；7,8,9,10；11,12,13,14,15,1 营 17,18,19,20,21,22,23,因为从前25个自然数中任意取出7个数，所以至少有两个数取自上面第组到第组中的某同一 组，这两个数中大数就不超过小数的L5倍。说明：（1）本题可以改变叙述如下：在前25个自然数中任意取出7个数，求证其中存在两个数，hl它们相互的比值在L 内。显然，必须找出一种能把前25个自然数分成6（7-1=6）个集合的方法，g，I不过分类时有一个限制条件：同一集合中任两个数的比值在 L 内，故同一集合中元素的数值差不得 过用r这样，我们可以用如上一种牛耕的分类法：递推分类法：e从1开始，显然1只能单独作为1个集合1;否则不满足限制条件.能与2同属于一个集合的数 只有3,于是2,3为一集合。如此依次递推下去，使若干个连续的自然数属于同一集合，其中最大的数3_不超过最小的数的亍倍，就可以得到满足条件的六个集合。（2）如果我们按照（1）中的递推方法依次造“抽屉”，则第7个抽屉为26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39；第 8 个抽屉为：40,41,42,，60；第 9 个抽屉为：61,62,63,，90,91；.例4.在坐标平面上任取五个整点（该点的横纵坐标都取整数），证明：其中一定存在两个整点，它们的簪中点仍是整点。,“/（%+打）-+勺分析与解答：由中点坐标公式知，坐标平面两点（xl.yl）.（x2,y2）的中点坐标是 亍=。欲%+七+%使亍万一都是整数，必须而且只须xl与x2,yl与y2的奇偶性相同。坐标平面上的任意整点按照横 纵两个坐标的奇偶性考虑有且只有如下四利I（奇数、奇数），（偶数，偶数），（奇数，偶数），（偶数，奇数）以此构造四个“抽屉”，则在坐标平面上任取五个整点，那么至少有两个整点，属于同一个“抽屉”因此它们连线的中点就必是整点。说明：我们可以把整点的概念推广：如果（xl,x2,-xn）是n维（元）有序数组，且xl,x2,-xn中 的每一个数都是整数，则称（xl,x2,-xn）是一个n维整点（整点又称格点）。如果对所有的n维整点按 每一个xi的奇偶性来分类，由于每一个位置上有奇、偶两种可能性，因此共可分为2X2XX2=2n个类。第10页（共37页）数学投稿咨询QQ：1114962912 山东世纪金榜书业有限公司世纪金榜圆您梦想w w w.jb lOOO.c om这是对n维整点的一种分类方法。当n=3时，23=8,此时可以构造命题：”任意给定空间中九个整点，求 证它们之中必有两点存在，使连接这两点的直线段的内部含有整点”。例5.在任意给出的100个整数中，都可以找出若干个数来（可以是一个数），它们的和可被100整除。分析：本题也似乎是茫无头绪，无从下手，其关键何在？仔细审题，它们的“和”能“被100整除”应是做文章的地方。如果把这100个数排成一个数列，用Sm记其前m项的和，则其可构造SI,S2,S100 共1维个和数。讨论这些“和粪Q被100除所得的余数。注意至也SI,S2,-S100共有100个数，一个 数被100除所得的余数有0,1,2,99共100种可能性。“苹果”数与“抽屉”数一样多，如何排除“故 障”？证明：设已知的整数为a l,a 2,-a lOO考察数列a l,a 2,-a lOO的前n项和构成的数列SI,S2,-S100o如果SI,S2,-S100中有某个数可被100整除，则命题得证。否则,即SI,S2,S100均不能被100整除，这样，它们被100除后余数必是1,2,，99中的元素。由抽屉原理I知，SI,S2,-S100中必有两个数，它们被100除后具有相同的余数。不妨设这两个数为 Si,Sj loo I（%+1+%+2+A+小+叼）。命题得证。说明：有时候直接对所给对象作某种划分，是很难构造出恰当的抽 屉的。这时候，我们需要对所给对象先作一些变换，然后对变换得到的 对象进行分类，就可以构造出恰当的抽屉。本题直接对a n进行分类是 很难奏效的。但由a n构造出Sn后，再对Sn进行分类就容易得多.另外，对Sn按模100的剩余类划分时，只能分成100个集合，而(in）/U）当n能整除m时，至少仁个集合含有m/n个元素；_（2）当n不能整除m时，则至少有一个集合含有至少m/n+l个元素，（m/n表示不超过 的最大整数）定理2也可叙述成：把mXn+1个元素放进n个集合，则必有一个集合中至少放有m+1个元素。例7.9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为 2:3。证明：这9条直线中至少有3条通过同一个点。证明：设正方形为ABCD,E、F分别是AB,CD的中点。设直线L把正方形ABCD分成两个梯形ABGH 和CDHG,并且与EF相交于P.梯形ABGH的面积：梯形CDHG的面积=2:3,EP是梯形ABGH的中位线，PF是 梯形CDHG的中位线，由于梯形的面积=中位线X梯形的高，并且两个梯形的高相等（AB=CD）,所以梯形 ABGH的面积：梯形CDHG的面积=EP:PF,也就是EP:PF=2:3.这说明，直线L通过EF上一个固定的点P,第12页（共37页）数学投稿咨询QQ：1114962912山东世纪金榜书业有限公司中 世纪金榜 圆您梦想 w w w.jb lOOO.c om这个点把EF分成长度为2:3的两部分。这样的点在EF上还有一个，如图上的Q点（FQ：QE=2:3）。同 样地，如果直线L与AB、CD相交，并且把正方形分成两个梯形面积之比是 2:3,那么这条直线必定通过 AD、BC中点连线上的两个类似的点（三等分点）。这样，在正方形内就有4个固定的点，凡是把正方形面 积分成两个面积为2：3的梯形的直线，一定通过这4点中的某一个。我们把这4个点看作4个抽屉，9条 直线看作9个苹果，由定理2可知，9=4X2+1,所以，必有一个抽屉内至少放有3个苹果，也就是，必有 三用射线要通过一个点。./说明：本例中的抽屉比较隐蔽，正方形两双对边中点连线上的 4个三等分点的发现是关键，而它的发现源于对梯形面积公式S梯形二中位线X梯形的高的充分感悟。例8.910瓶红、蓝墨水，排成130行，每行7瓶。证明：不论怎样排列，红、蓝墨水瓶的颜色次序 必定出现下述两种情况之一种：1.至少三行完全相同；2.至少有两组（四行），每组的两行完全相同。证明：910瓶红、蓝墨水，排成130行，每行7瓶。每行中的7个位置中的每个位置都有红、蓝两种 可能，因而总计共有27=128种不同的行式（当且仅当两行墨水瓶颜色及次序完全相同时称为“行式”相同.任取130行中的129行，依抽屉原理可知，必有两行（记为A,“行式”相同。在除A、B外的其余耀行中若有一行P与A（B）喏式”相同，则P,A,B满足噬少有三行完全相同”；在其余（除A,B外）的128行中若没有与A（B）行式相同者，则128行至多有127种不同的行式，依抽屉原则，必有两 行（不妨记为C、D）行式相同，这样便找到了（A,B）、（C,D）两组（四行），每组两行完全相同。（四）函数的性质应用一、指数函数与对数函数函数y=a x（a 0,且a Wl）叫做指数函数。它的基本情况是：1）定义域为全体实数（-8,+8）2）值域为正实数（0,+8）,从而函数没有最大值与最小值，有下界，y03）涉关系为二一映射，从而存曜函数 一对数函数。4）单调性是：当a l时为增函数；当0al时，为减函数。5）无奇偶性，是非奇非偶函数，但y=a x与y=a-x的图象关于y轴对称，y=a x与y=-a x的图象关于x轴对 称；y=a x与y=log a x的图象关于直线y=x对称。6）有两个特殊点：零点（0,1）,不变点（1,a）7）抽象性质：f（x）=a x（a 0,a#l）,f（x+y）=f（x）f（y）,f（x-y）=f（x）/f（y）函数y=log a x（a 0,且a Wl）叫做对数函数，它的基本情况是：1）定义域为正实数（0,+8）2）值域为全体实数（-8,+OO）第13页（共37页）数学投稿咨询QQ：1114962912山东世纪金榜书业有限公司w w w.jb lOOO.c om个 世纪金榜 圆您梦想3)对应关系为一一映射，因而有反函数指数函数。4)单调性是：当a l时是增函数，当时是减函数。5)无奇偶性。但y=log a x与y=log(l/a)x关于x轴对称,y=log a x与y=log a(x)图象关于y轴对称,y=log a x 与y=a x图象关于直线y=x对称。6)有特殊点(1,0),(a,1)7)池豫运算性质 f(x)=log a x(a 0,.Wl),f(x y)=f(x)+f(y),将/y)=f(x)-f(y)二、例题例 1.若 f(x)=(a x/(a x+J a),f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+-+f(1000/1001)分析：和式中共有1000项，显然逐项相加是不可取的。需找出f(x)的结构特征，发现规律，注意到1/1001+1000/1001=2/1001+999/1001=3/1001+998/1001=-1,而 f(x)+f(b x)=(a x/(a x+J a)+(a l-x/(a l-x+V a)=(a x/(a x+J a)+(a/(a+a x,J a)=(a x/(a x+J a)+(J a)/(a x+J a)=(a x+J a)/(a x+J a)=l规律找到了，这启示我们将和式配对结合后再相加：原:式=f l001)+f(1000/1001)+f(2/01)+f(999/1001)+-+f(501001)+f(501/1001)=(1+1+-+1)5000 个=500(1)取a=4就是1986年的高中数学联赛填空题：设f(x)=(4x/(4x+2),那么和式 f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+-+f(1000/1001)的值二。(2)上题中取a=9,则f(x)=(9x/(9x+3),和式值不变也可改变和式为求 f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+f(n-l)/n).(3)设f(x)=(l/(2x+J 2),利用课本中推导等差数列前n项和的方法，可求得 f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)的值为。32.510g25等于：()膏 膏(A)1/2(B)(l/5)101og 25(C)101og 45(D)101og 52解:V51og 25=(10/2)log 25=(101og 25)/(21og 25)=(1/5)X 101og 25.选(B)例 3.试比较(122002+1)/(122003+1)与(122003+1)/(122004+1)的大小。解：对于两个正数的大小，作商与1比较是常用的方法，记122003=a 0,则有(122002+1)/(122003+1)4-(122003+1)/(122004+1)=(a/12)+1)/(a+1)(12a+l)/(a+l)=(a+12)(12a+l)/(12(a+1)2)=(12a 2+145a+12)/(12a 2+24a+12)1故得：(122002+1)/(122003+1)(122003+1)/(122004+1)例 4.已知/(w+8 五+4(a,b 为实数)旦 f(lg log 310)=5,则 f(lg lg 3)的值是()第14页(共37页)数学投稿咨询QQ：1114962912 山东世纪金榜书业有限公司世纪金榜 圆您梦想w w w.jb lOOO.c om(A)-5(B)-3(C)3(D)随 a,b 的取值而定解：设 lg log 310=t，则 Ig lg 3=lg(l/log 310)=-lg log 310=-t而 f(t)+f(-t)=(a s ini+b 转+4)+W7+4)=(a s in t+匕 班+4)+(-a s inf-2?/+4)=8.f Qt)=8-f(t)=8-5=3说明：由对数换底公式可推出 log a b log b a=(lg b/lg a),(Ig a/lg b)=1,即 log a b=(l/log b a),因而,口 5 五了)=a s inx+8 7x+4,s in r+h Vr=g(r),、，lg log 310与lg lg 3是一对相反数。设 中的部分，则g(x)为奇函数，g(t)+g(-t)=O o这种整体处理的思想巧用了奇函数性质使问题得解，关键在于细致观察函数式结 构特征及对数的恒等变形。例 5.已知函数 y=(10 x-10-x)/2)(XeR)(1)求反函数y=f-l(x)(2)判断函数y=f-l(x)是奇函数还是偶函数分析：(1)求y=(10 x-10-x)/2的反函数首先用y把x表示出来，然后再对调x,y即得到y=f T(x)；(2)判断函数y=f T(x)的奇偶性要依据奇函数或偶函数的定义，看当 XWR时是否有f(-x)=-f(x)或(f(-X)+f(x)=0)或 f(-x)=f(x)恒成立。解：(1)由 y=(10 xT 0-x)/2)(XWR)可得 2y=10 x-10-x,设 10 x=t,上式化为：2y=t-t-l 两边乘 t,得 2yt=t 2-l 整理得：t 2-2yt-l=0,解得：一，士不由于t=ioxo,故将，历0,a Wl)(1)求f(x)的定义域(2)判断f(x)的奇偶性并给以证明;第15页(共37页)数学投稿咨询QQ：1114962912山东世纪金榜书业有限公司B 世纪金榜 圆您梦想 w w w.jb lOOO.c om(3)当a l时，求使f(x)0的x取值范围；(4)求它的反函数f-1(x)解：(1)由对数的定义域知(l+x)/(l-x)0解这个分式不定式，得：(x+1)(xT)0,T Vx0 log a(l+x)/(l-x)log a l,因为 a l,所以由对数函数的单 调性知(l+x)/(l-x)1,考虑由(1)知 xVl,l-x0,去分母，得：l+xl-x,x0 故：0 1,当x(0,1)时函数f(x)0(4)由 y=log a(l+x)/(l-x)得：(l+x)/(x)=a y 应 用会比 分比定 理得：(1+x)+(1-x)/(1+x)-(1-x)=(a y+1)/(a y-1)即:(2/2x)=(a y+1)/(a y-1)/.x=(a y-l)/(a y+l)交换 x,y 得：y=(a x-l)/(a x+D),它就是函数 f(x)=log a,(1+x)/(l-x)的反函 数 f l(x)即 f-1(x)=(a x-1)/(a x+D)1 7.已知x2-2x+log a(a 2-a)等有一正根和一负根，求实数需范围。解：方程有一正根一负根的充分必要条件是：log a(a 2-a)0,a l,a 2-a=a(a-l)0,可得 a l，从而由 log a(a 2-a)0=log a l 得：a 2-a V 1,a 2-a T 1-、0,b 0),求使 y 为负值的 x 的取值范围解：V(1/2)1,要使 y1,即 a 2x+2(a b)x-b 2x 0b 2x(a/b)2x+2(a/b)x-1 0-(a/b)x 2+2(a/b)x+1+点X0)+i-、/+1-/)0 一(a功 m T 当 a b 0 1,1帆 I,V3-：.,xlog G 近 T),2 当 b a 0 时,0Va/b 0 时，xR。(五)数列方法总结,=11.数列a n前n项和Sn与通项a n的关系式：a n=-S,-2 22.求通项常用方法作新数列法作等差数列与等比数列.第16页（共37页）数学投稿咨询QQ：1114962912山东世纪金榜书业有限公司世纪金榜 圆您梦想w w w.jb lOOO.c om叠加法.最基本形式是：a n=(a n a n 1+(a n 1+a n 2)+-+(a 2 a l)+a l.归纳、猜想法.3.数列前n项和常用求法重要公式+n=2 n(n+1)112+22+n2=6 n(n+l)(2n+l)113+23+n3=(l+2+n)2=4 n2(n+1)2等差数列中 Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比数列中 Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn.裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即 a n=f（n+l）-f（n）,然后累加时抵消中间的许 多项.隔错项相消法并项求和法例题1.等差数列a n的前m项的和为30,前2m项的和为100,则它的前3nl项的和为n(n-1)解法一：将 Sm=30,S2m=100 代入 Sn=na l+2 d,得:ma+四二2/=30 40解得4=当 m210 20Q=-1-J,m m/.S3m=3ma1+解法二：由等差数列a n）的前n项和公式知，Sn是关于n的二次函数,即 Sn=An2+Bn（A、B 是常数）.2 ma1+22M2*3=100E将 Sm=30,S2m=100 代入,7Am+Bm=30A(2m)2+5-2m=100“20A=-2 m10B=m,.S3m=A(3m)2+B 3m=210解法三：根据等差数列性质知：Sm,S2m Sm,S3m S2m也成等差数列,从而有：2(S2m Sm)=Sm+(S3m得-S2m)S3m=3(S2m Sm)=210第17页（共37页）数学投稿咨询QQ：1114962912山东世纪金榜书业有限公司w w w.jb lOOO.c om世纪金榜 圆您梦想解法四：令 m=l 得 Sl=30,S2=100,得 a l=30,a l+a 2=100,A a l=30,a 2=70a 3=70+(70-30)=110S3=a l+a 2+a 3=2101rr2 72.已知函数 f(x)=-4(x-2).求f(x)的反函数f-1(x);c _l r设 a l=l,+1=f-1(a n)(n WN*),求 a n;(3)设Sn=a l2+a 22+a n2,b n=Sn+l Sn是否存在最小正整数m,使得对任意nWN*,有b n0,/.a n=V4n 3|4+二，即 y=f-1(x)=(x0)m 25 25 25(3)b n=Sn+l-Sn=a n+12=4/1+1,由 b n 4+l,设 g(n)=4+l,.，g(n)=4+l 在 nN*上是m减函数，g(n)的最大值是g(l)=5,/.m5,存在最小正整数m=6,使对任意nN*有b n 25成立.1，昼、已知a n是各项不同的正数簧数列，又Ig a K lg a 2、lg a 4 妒差数列.设b n=,n=l,2,3,(I)证明b n为等比数列；7(II)如果数列b n前3项的和等于24,求数列a n的首项a l和公差d.。解：(I)V Ig a i.Ig a 2、lg a 4 成等差数列,2.,.21g a 2=lg a l+lg a 4,即 a2=a l,a 2 设等差数列a n的公差为 d,则(a l+d)2=a l(a l+3d