《数学史选讲》课件.pdf

数学史概论在第一讲早期的算术与几何*第二讲古希腊数学上第三讲中国古代数学瑰宝&第四讲 平面解析几何的产生士第五讲微积分的诞生&第六讲近代数学两巨星&第七讲千古谜题在第八讲若干未决猜想的进展&埃及和巴比伦的数学&中国的早期数学纸草书纸草书是研究古埃及数学的主要来源也莱因德纸草书：最初发现于埃及底比斯古都废 墟，1858年为苏格兰收藏家莱因德购得，现藏 于伦敦大英博物馆.又称阿姆士纸草书，阿姆 士在公元前1650年左右用僧侣文抄录了这部纸 草书，据他加的前言知，所抄录的是一部已经 流传了两个世纪的著作.含84个数学问题.次莫斯科纸草书：又称戈列尼雪夫纸草书，1893 年由俄国贵族戈列尼雪夫在埃及购得，现存于 莫斯科博物馆.产生于公元前1850年前后，含 有25个数学问题.右古埃及的计算技术具有迭加的特征，乘 除法运算，往往用连续加倍来完成.由 于方法较为繁复，古埃及算术难以发展 到更高的水平.也相对于算术，古埃及的几何具有更高的 成就.古代埃及人留下了许多气势宏伟 的建筑，可以说明古埃及几何学的发 达.也埃及几何产生于土地测量，是一种实用 几何.也对面积、体积的计算，他们给出了一些 计算的法则，有准确的也有粗略的.在 莫斯科纸草书中有一个正四棱台体积的 计算所用的公式，用现在的符号表示是h 2 2V=一(a+ab+b)3这是埃及几何中最出色的成就之一.巴比伦的数学改六十进制位值制记数法。&长于计算，编制了许多数表：乘法表、倒数表、平方表、立方表、平方根表、立方根表、甚至有特殊的指数（对数）表。也能解二次方程。中国的早期数学改中国古代数学的起源可以上溯到公元前数千 年.史记中记载，夏禹治水，“左规矩，右准绳”.这可以看作是中国古代几何学的起 源.在殷商甲骨文中已经使用了完整的十进制 记数法，春秋战国时代又出现了十进位值制筹 算记数法.而战国时代的考工记、墨 经、庄子等著作中则探讨了许多抽象的 数学概念，并记载了大量实用几何知识.周易中的数学周易是中国古代专讲卜筮的书,也可以看作是古人探索自然的朴素的哲 学著作，约成书于殷商时期。周易 由易经和易传两部分组成，先 有易经，后有易传，两部分成 书的时间相距七八百年。易经包括 古代占卜的卦辞及爻辞，易传由 系辞、说卦等十篇文章组成，是对易经中卦辞及爻辞的解释。*卜筮是原始人类共有的社会现象。中国 古代常用龟甲和兽骨作为占卜工具，以 决定事情的吉凶。筮，是按一定的规则 得到特定的数字，并用它来预测事情的 吉凶。周礼称：“凡国之大事，先 筮后卜。”史记龟策列传则说：“王者决定诸疑，参与卜筮，断以蓍龟,不易之道也。”筮的工具起初是竹棍（以后出现的筹算数码则形成了中国古 代用竹棍表示数字的传统），后来改用 蓍草一一种有锯齿的草本植物。3在中国古代众多的儒、道典籍中，周 易是包含数学内容最丰富的著作，因 而对中国古代数学家产生了极大的影响。比如，刘徽在九章算术注的序中就 写道：“昔伏羲氏始作八卦，以通神明 之德，以类万物之情。作九九之数，以 合六爻之变。”实际上就把数学方法与周易中的六爻、八卦等内容联系起 来了。八卦乾一巽一离艮坤 震 坎兑乾(000)坤(111)震(011)艮(110)离(010)坎(101)兑(001)巽(100)改计算机的发明与周易中的八卦有着 十分密切的联系。众所周知，现代电子 计算机最基本的数学基础是二进制数。二进制符号是德国数学家莱布尼茨(Leibniz,16461716)发明的。莱布尼 茨于1679年撰写了二进制算术，阐述 了二进制理论。莱布尼茨自称，他之所 以会想到二进制数，就是因为受到了八 卦符号的启发。他还说：“可以让我加 入中国籍了吧”。太极图*周易中的另一重要概念是太极。周易中写道：“易有太极，是生两 仪，两仪生四象，四象生八卦。之太极即太一，这段话讲的是 八卦产生的原理，也试图解 I释天地造分，化成万物的原 禀二7 理。后经宋代陈技的发展，便有了太极图。周易中另一个与数学相关的内容是“河图 洛书”。周易中有“河出图，洛出书，圣 人则之”的记载。相传，上古伏羲氏时,洛阳 东北孟津县境内的黄河中浮出龙马，背负”河图,献给伏羲。伏羲依此而演成八卦，后为周 易来源。又相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛 河中浮出神龟，背驮洛书”，献给大禹。大禹 依此治水成功，遂划天下为九州。又依此定九 章大法，治理社会，流传下来收入尚书中,名洪范0也就是说，在古人看来，八卦与 九数实出于河图洛书。宋代陈技所作的“洛书图”（九宫图）OOOOOOOOO492357816数的概念的产生&数和形是数学最早的研究对象，考古研 究发现，人类在5万年前就已经有了一些 计数的方法。现代人的研究认为，人类 数的概念的发展过程是，先有原始的数 感，再形成一一对应的计数方法，最后 通过集合的等价关系建立抽象的数的概 念。率I 记数符号的产生改易系辞中载：“上古结绳而治，后 世圣人易之以书契”。结绳记数，是指 在绳子上打一个结表示一个数或一件事,绳结的多少，根据事物多少而定。而所 谓的“书契”，就是刻划，“书”是划 痕，“契”是刻痕。古人常常在各种动 物骨头、金属、泥版上刻痕记数。如中 国殷商时期常将文字刻划在牛的肩胛骨 或龟甲上，故称甲骨文。，从刻划记数，人类很自然地过渡到刻出 数的符号，并进而创造出第一批数字。古代中国、古埃及、巴比伦等民族，均 在公元前5000年前后就有了记数符号。由 于古人用手指作为计数的参照物十分方 便，因而许多民族都不约而同地使用了 十进制计数法。当然也存在着少量的其 它进位制，如5进制、12进制、16进制、20进制、60进制等。2；公元前500年左右的战国时代，中国人创 造了具有十进位值制特征的筹算数码。右筹算数字的摆放方法规定，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，万位又用纵式，如此纵横相间，以免发 生误会。并规定用空位表示零。*到了 13世纪，中国数学家又明确地用0”表示零，从而使中国记数法完全位值化。&这是一个深远而又重要的思想，它今天 看来如此简单，以致我们忽视了它的真 正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一 切计算都提供了极大的方便，才使我们 的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的 两位人物阿基米德和阿波罗尼奥斯的天 才思想的关注时，我们更感到这成就的 律大。第二讲古希腊数学&希腊数学一般指从公元前600年至公元600年间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷 斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部 的数学家们所创造的数学。改希腊早期文明中心在雅典；公元前338年希腊诸 帮被马其顿控制，文明中心转到亚历山大城（埃及）；公元前30年左右，罗马帝国完全控 制希腊各国，文明中心转到罗马（意大利）。公元640年前后，阿拉伯民族征服东罗马，希腊 文明落下帷幕。古希腊数学与哲学的交织在古希腊早期的自然科学往往是与哲学交织在 一起的，古希腊的自然哲学乃是古代自然科 学的一种特殊形态，虽然有许多错误的东西,但也有不少合理的知识和包含着合理成分的 猜测.恩格斯说：“在希腊哲学的多种多样 的形式中，差不多可以找到以后各种观点的 胚胎、萌芽.因此，如果理论自然科学想要 追溯自己今天的一般原理发生和发展的历史,它就不得不回到希腊人那里去.”2古希腊数学表现出很强的理性精神，追 求哲学意义上的真理.在公元前3、4百 年的时候，他们的数学思想中就已经涉 及到了无限性、连续性等深刻的概念.也经过古埃及和巴比伦人长期积累数学知 识的萌芽时期以后，古希腊人把数学推 进到了一个崭新的时代.古希腊数学不 仅有十分辉煌的研究成果，而且提出了 数学的基本观点，建立数学理论的方法,给以后的数学发展提供了坚实的基础.泰勒斯确定了几条最早的几何定理改等腰三角形两底角相等也如果两个三角形有一边及这边上的两个 角对应相等，那么这两个三角形全等&直角彼此相等&两条直线相交时，对顶角相等泳圆的直径平分圆周Y 万物皆数&毕达哥拉斯学派认为世界万物都是数，最重要的数是1、2、3、4,而10则是理想 的数；相应地，自然界由点（一元）、线（二元）、面（三元）和立体（四元）组成。他们认为自然界中的一切都服从 于一定的比例数，天体的运动受数学关 系的支配，形成天体的和谐。理论算术（数论的雏形）也完全数、过剩数（盈数）、不足数（亏 数）分别表现为其因数之和等于、大于、小于该数本身（规定因数包括1但不包括 该数自身）。他们发现的前几个完全数 是6=1+2+3,28=1+2+4+7+14,496。而220和284则是一对亲和数，因为前者 的因数和等于284,后者的因数和等于 220o3后来，在数学中寻找完全数就成为 一项任务来研究.在前八千多正整数 中只有4个完全数,6、28、496、8128,第五个完全数在1538年才找 到：33550336,50年后发现第六个完 全数：8589869056.2005年发现第42 个梅审素数，从而有了第42个完全 数。几何成就使几何学从经验上升到理论的关键性贡 献应归功于毕达哥拉斯学派。他们基本 上建立了所有的直线形理论，包括三角 形全等定理、平行线理论、三角形的内 角和定理、相似理论等。正多边形和正多面体右毕达哥拉斯学派掌握了正多边形和正多面体的 一些性质。他们发现，同名正多边形覆盖平面 的情况只有三种：正三角形、正方形、正六边 形，而且这些正多边形个数之比为6：4：3,边 数之比则为3：4：6o&毕达哥拉斯学派的另一项几何成就是正多面体 作图，他们称正多面体为“宇宙形”。三维空 间中仅有五种正多面体：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。正五边形与五角星也在五种正多面体中，除正十二面体外，每 个正多面体的界面都是三角形或正方形，而正十二面体的界面则是正五边形。改正五边形作图与著名的“黄金分割”有关。五条对角线中每一条均以特殊的方式被对 角线的交点分割。据说毕达哥拉斯学派就 是以五角星作为自己学派的标志的。勾股数3毕达哥拉斯数：2 22+1，2+2，2+2n+1“一般形式之一：（x2+y2=zx,rz 两两互素）2 2 2 2 x=2ab,y=a-b,z-a+b,，o,（,，）=/一奇一偶无理数的发现&毕达哥拉斯学派的信条是“万物皆数”，这里 的数实际上是指正的有理数。传说，毕达哥拉 斯学派成员希帕苏斯（Hippasus,公元前470年 左右）发现了“不可公度比”的现象，并在一 次航海时公布了他的想法，结果被恐慌的毕达 哥拉斯学派的其他成员抛进了大海。&项武义教授的一项研究认为，希帕苏斯首先发 现的是正五边形边长与对角线长不可公度。第一次数学危机也不可公度比的发现使毕达哥拉斯学派对 许多定理的证明都不能成立。&例：如果两个三角形的高相同，则它们 的面积之比等于两底边之比。新比例论&100多年后,欧多克斯（Eudoxus,408-355）提出了“新比例论”，才用回避的方法 暂时消除了“第一次危机”。改新比例定义：设A、B、C、D是任意四个 量，其中A和B同类（即均为线段、角或 面积），C和D同类，若对任意两个（正）整数m和n,mA与nB的大小关系，取决 于mC与nD的大小，则称A：B=C：Do柏拉图学园8柏拉图（Plato,公元前427-347年）是当时最著 名的希腊哲学家之一，虽然他不是数学家，但 热心于数学科学，在柏拉图学园的门口挂着牌 子：“不懂几何者免进”。值得注意的是，公 元前四世纪的重要数学工作几乎都是柏拉图的 朋友和学生做的。与柏拉图学园有联系的欧多 克斯（Eudoxus,公元前408355年）是这一时期 最大的数学家，他在几何学上的研究成果，后 来有些收入了欧几里得的几何原本。亚里士多德在亚里士多德（Aristotle,公元前384-322年）是柏拉图的学生和同事，相处达20年之 久,公元前335年成立了自己的学派，以 后曾是马其顿王亚列山大的老师。他是 古典希腊时期最伟大的思想家，他的一 些思想在数学史上影响很大。形式逻辑的建立也亚里士多德不象柏拉图那样只崇尚思辨,而是重视观察、分析和实验性的活动（如解剖）。亚里士多德是古希腊学者 中最博学的人，是古代百科全书式的自 然科学家，也是对近代自然科学影响最 大的古代学者。他的著作甚多，在自然 科学方面主要有物理学、论产生 和消灭、天论、气象学、动物的历史、论动物的结构等。形式逻辑的建立在亚里土多德创立了以三段论为中心的形式逻辑 系统。他认为科学需要归纳，由特殊的事例过 渡到一般命题，更需要用逻辑的推理由前提演 绎出它的推论。亚里士多德的逻辑学著作后来 被汇编为工具论，对阿基米德、欧几里得 等人的研究有重要影响。改古典希腊时期的希腊人已经掌握了大量初等几 何性质，加上亚里土多德建立了形式逻辑，这 些都为形成一门独立的初等几何的理论科学作 好了充分的准备。亚历山大时期的数学也从公元前330年左右到公元前30年左右，希腊数 学的中心从雅典转移到了埃及的亚历山大城。亚历山大帝国一分为三后，托勒密帝国统治希 腊埃及，其首都亚历山大城成为希腊文化的中 心。&托勒密一世曾经是亚里士多德的学生，他在执 政后修建了缪斯艺术宫，这实际上是一个大博 物馆，收藏的图书和手稿据说有5070万卷。当时的许多著名学者都被请到亚历山大里亚，用国家经费供养着。量分析的方法开始流行。天文学家阿利斯塔克（公元前310230）,通过对日、月、地的体 积和相对距离的观测和计算作出了日心说的猜 测。他通过测量角度推算出太阳直径比地球大 六、七倍，并断定小天体（地球等）应围绕大 天体（太阳）旋转。尽管他的计算很不精确，但思维方式是重要的。著名天文地理学家、数 学家埃拉托色尼（约公元前284192）根据太 阳在两个地方投影角之差，计算出地球的周长 是24662英里（现在算出的通过地球南北极的周 长为24819英里），他绘制了世界地图，并标明 了经纬线以及寒带、热带和温带。欧几里得与几何原本8欧几里得（约公元前330260）,应托勒密一 世之邀到亚历山大，成为亚历山大学派的奠基 人。欧几里得系统地整理了以往的几何学成就,写出了 13卷原本，欧几里得的工作不仅为 几何学的研究和教学提供了蓝本，而且对整个 自然科学的发展有深远的影响。爱因斯坦说：“西方科学的发展是以两个伟大的成就为基础的，那就是：希腊哲学家发明形式逻辑体系（在欧几里得几何学中），以及通过系统的实 验发现有可能找到因果关系（在文艺复兴时 期）。“公理化方法&公理化方法：从一些基本的概念和公理 出发，利用纯逻辑推理的方法，把一门 学科建立成演绎系统的方法。后来的许 多著作都仿照这种格式写成，如牛顿的 自然哲学的数学原理等。几何原本的影响改几何原本对后来数学思想有重要影 响。其一：公理化思想；其二：几何直 观与严格逻辑推理的结合使欧几里得几 何长期被认为是最正宗的数学知识，笛 卡儿在发明了解析几何后仍坚持对每一 个几何作图给出综合证明，牛顿在第一 次公开他的微积分发明时也要对这一算 法作出几何解释；其三：导致非欧几何 的诞生。阿基米德的数学成就改阿基米德（Archimedes,公元前287212）出生于 西西里岛的叙拉古，曾在亚历山大跟欧几里得 的学生学习过，离开亚历山大后仍与那里的师 友保持联系，他的许多成果都是通过与亚历山 大学者的通信而保存下来的。因此，阿基米德 通常被看成是亚历山大学派的成员。阿基米德的著作很多，内容涉及数学、力学及 天文学等。穷竭法”与“平衡法”穷竭法是安蒂丰首先使用，并被古希腊数学家 普遍用来证明面积和体积的方法。穷竭法可以 用来严格证明已经猜想出来的命题，但不能用 来发现新的结果。&阿基米德发明了求面积和体积的“平衡法”，求出面积或体积后再用“穷竭法”加以证明。阿基米德“平衡法”与“穷竭法”的结合是严 格证明与创造技巧相结合的典范。球的体积也阿基米德用“平衡法”推导了球体积 公式。刻在阿基米德墓碑上的几何图 形代表了他所证明的一条数学定理：以球的直径为底和高的圆柱，其体积 是球体积的3/2,其表面积是球面积的 3/2 o*阿基米德的“平衡法”，将需要求积的 量分成一些微小单元，再与另一组微小 单元进行比较，而后一组的总和比较容 易计算。因此，“平衡法”实际上体现 了近代积分法的基本思想，是阿基米德 数学研究的最大功绩。但是，“平衡法”本身必须以极限论为基础，阿基米德意 识到了他的方法在严密性上的不足，所 以他用平衡法求出一个面积或体积后，必再用穷竭法加以严格的证明。用平衡法求球的体积&球切片体积7i x(2R x)-Ax为锥切片体积 2.n x Ax&柱切片体积兀Rkx在左力矩=4%人2%-Ax左力矩=4义右力矩锥切 球的片右力矩=iR.x用平衡法求球的体积泳将球、圆锥、圆柱均完全分割成厚度为x的薄片，并将所有球与圆锥的薄片都 挂到P点，圆柱薄片都留在原处。&左力矩和二（球体积+锥体积）X2R右力矩和二柱体积XR&（球体积+锥体积）X2R=4X柱体积XR为球体积=2 X柱体积一锥体积*与欧几里得相比，阿基米德可以说是一位应用 数学家。在论浮体中论述了浮力原理、在论平面图形的平衡或其重心中论述了杠杆 原理。曾设计了一组复杂的滑车装置，使叙拉 古国王亲手移动了一只巨大的三桅货船，他说:“给我一个支点，我可以移动地球”。在保卫 叙拉古的战斗中发明了许多军械如石炮、火镜 等。后被罗马士兵杀害，死时75岁。传说曾下 令不要杀死阿基米德的罗马主将马塞吕斯事后 特意为阿基米德建墓。可波罗尼奥斯与圆锥曲线论“阿波罗尼奥斯（Apollonius,公元前262-190）出生于小亚细亚（今土尔其一带），年 轻时曾在亚历山大城跟随欧几里得的学 生学习，后到小亚细亚西岸的帕加蒙王 国居住与工作，晚年又回到亚历山大。&阿波罗尼奥斯的主要数学成就是在前人 工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲 线理论，编著圆锥曲线论。圆锥曲线论全书共8卷，含487个命题。在阿波罗尼奥斯之 前，希腊人用三种不同圆锥面导出圆锥曲线，阿波罗尼奥斯则第一次从一个对顶圆锥得到所 有的圆锥曲线，并给它们以正式的名称：亏曲 线、齐曲线、盈曲线（李善兰翻译时取意译名 椭圆、抛物线、双曲线）。&圆锥曲线论可以说是希腊演绎几何的最高 成就。几何学的新发展要到17世纪笛卡儿等人 的解析方法出现后才得以来临。&阿波罗尼奥斯用统一的方式引出三种圆锥曲线 后，便展开了对它们性质的广泛讨论，内容涉 及圆锥曲线的直径、公辗直径、切线、中心、双曲线的渐进线、椭圆与双曲线的焦点以及处 在不同位置上的圆锥曲线的交点数等。圆锥 曲线论中包含了许多即使按今天的眼光看也 是很深奥的问题。第5卷中关于定点到圆锥曲 线的最长和最短线段的探讨，实质上提出了圆 锥曲线的法线包络即渐屈线的概念，它们是近 代微分几何的课题。第3、4卷中关于圆锥曲线 的极点与极线的调和性质的论述，则包含了射 影几何学的萌芽思想。罗马时期的数学成就&海伦（Heron,前1世纪一公元1世纪）推导出求 三角形面积的海伦公式。&托勒密（Ptolemy约100170）的地球中心学说。托勒密利用大量的观察资料，进行浩繁的计算，写出八卷本的大综合论，详细论述了太阳 系和宇宙以地球为中心的学说。在托勒密的地 心说中，行星是绕着一种数学上的点（本轮中 心）运动的，而这些点又位于均轮上围绕地球 运转。托勒密的地心说虽然不反映宇宙的实际 结构，但是依据上述的数学图解却比较完满地 解释了当时所观测到的行星运动情况。山托勒密将圆周分成360度，角的度量采用 60进制，还应用托勒密定理（圆内接四 边形中，两条对角线长的乘积等于两对 对边长乘积之和）造出了一张正弦表。“梅涅劳斯（Menelaus,约公元1世纪）的 球面学是球面三角学的开山之作。也该时期希腊数学的一个重要特征是突破 了以几何学为中心的传统，使算术和代 数成为独立的学科。丢番图(Diophantus)的算术用纯分析的途径处理数论与 代数问题(包括不定方程)，可以看作 是希腊算术与代数的最高成就。丢番图的墓志铭&关于丢番图的生平没有什么记载，大约 公元250年前后活动于亚历山大城，他活 了84岁则可以从他的墓志铭中算出：丢 番图的童年占一生的1/6,此后过了一生 的1/12开始长胡子，再过一生的1/7后结婚,婚后5年生了个孩子，孩子活到父亲一半 的年龄，孩子死后4年父亲也去世了。数学汇编改该时期的最后一位重要数学家是帕波斯（Pappus,约公元300-350）,著作数学 汇编是一部总结前人成果的典型著作，在数学史上有特殊的意义，有许多古代 希腊数学的宝贵资料就是因为有数学 汇编的记载才得以保存下来。第三讲中世纪的中国数学改从公元前后至公元14世纪，先后经历了3 次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝 时期及宋元时期，其中宋元时期达到了 中国古典数学的顶峰。周髀算经改周髀算经是我国最早的数学著作，系统地记载了周秦以来适应天文需要而 逐步积累的科技成果。该书的主要内容 是周代传下来的有关测天量地的理论和 方法。&周髀算经也是中国最古的算书，成 书确切年代没有定论，一般认为在公元 前2、3世纪。周髀算经中的勾股定理改周公问商高关于计算的问题，商高答曰:“数之法出于圆方，圆出于方，方出于 矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为 勾广三，股修四，径隅五。”*荣方与陈子的一段对话中，则包含了勾 股定理的一般形式。陈子曰：“若求邪 至日者，以日下为勾，日高为股。勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日，”赵爽注周髀算经&周髀算经主要以文字形式叙述了勾 股算法。中国数学史上最早完成勾股定 理证明的数学家，是公元3世纪三国时期 的赵爽。九章算术改九章算术成书于公元前后，是我国 最重要、影响最深远的一本数学著作。后世不少人，如刘徽、祖冲之、李淳风 等人均对九章算术作过注。特别是 刘徽的注，加进了不少自己的精辟见解,阐述了重要的数学理论。九章算术注 是九章算术得以流芳百世的重要补 充和媒介。对九章算术的评价在日本数学家小苍金之助把九章算术说成是 中国的几何原本。吴文俊教授也认为，九章算术和刘徽的九章算术注，在数 学的发展历史中具有崇高的地位，足可与希腊 的几何原本东西辉映，各具特色。A 1968年德国沃格尔（Vogel）把九章算术 译成德文出版时加的评论认为：“在古代算术 中，包含如此丰富的246个算题，现存的埃及 和巴比伦算题与之相比，真望尘莫及。以希腊 而论，所保存的古算题为我们所熟知者，也属 于希腊化时代。”第一章“方田”讲述有关平面图形（土地田亩）面积的计算方法，包 括分数算法，38个问题。提出了各 种多边形、圆、弓形等的面积公式;分数的通分、约分和加减乘除四则 运算的完整法则。后者比欧洲早 1400多年。切一今有田广十五步，从十六步，问为田 几何？答曰：一亩。何二又有田广十二步，从十四步，问为田 几何？答曰：一百六十八步。方田术曰：广从步数相乘得积步，以亩 法二百四十步除之，即亩数，百亩为一 倾。&五今有十八分之十二，问约之得 几何？答曰：三分之二。句六又有九H一分之四十九，问约 之得几何？答曰：十三分之七。8约分术曰：可半者半之，不可半 者，副置分母子之数，以少减多,更相减损，求其等也，以等数约 之。第二章“粟米”讲述有关粮食交换中的 比例问题。书中的“今有术”给出比例 式中已知三数求第四数的方法，欧洲迟 至15世纪才出现。&第三章“衰分”讲述配分比例和等差、等比等问题。改第四章“少广”讲述由田亩面积求边长,由球体积求经长的算法，这是世界上最 早的多位数开平方、开立方法则的记载。它奠定了中国在高次方程数值解法方面 长期领先世界的基础。开方术也今有积五万五千二百二十五步，问为方 几何？答曰：二百三十五步。*开方术曰：置积为实，借一算步之，超 一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除，除已，倍法为定法。其复除，折法而下。复置借算步之如初，以复议 一乘之。所得副之，以加定法，以除，以所得副从定法。复除折下如前。*第五章“商功”讲述各种土木工 程中的体积计算。我国自远古以 来，对筑城、挖沟、修渠等土建 工程积累了丰富的经验，创造了 许多有关土方体积计算和估算的 方法，本章即为经验和方法的理 论总结，诸如长方体、台体、圆 柱体、锥体等体积的计算公式都 与现在一致，只是圆周率取3,误 差较大。改第六章“均输”讲述纳税和运输 方面的计算问题，实际上是比较 复杂的比例计算问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包 括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比 例理论。西方直到15世纪末以后 才形成类似的全套方法。改第七章“盈不足”讲述算术中盈亏问题 的解法。这也是处于世界领先地位的成 果，传到西方后，影响极大。盈不足术 实际上是一种线性插值法。该方法通过 丝绸之路传入阿拉伯国家，受到特别重 视，被称为“契丹算法”。后来传入欧 洲，13世纪意大利数学家斐波那契的算经一书中专门有一章讲“契丹算 法”。改第八章“方程”讲述线性方程组的解 法，还论及正负数概念及运算方法。采用分离系数的方法表示线性方程组,相当于现在的矩阵;解线性方程组时 使用的直除法，与矩阵的初等变换一 致。这是世界上最早的完整的线性方 程组的解法。在西方，直到17世纪才 由莱布尼兹提出完整的线性方程的解 法法则。这一章还引进和使用了负数,并提出了正负术正负数的加减法 贝U。这是世界数学史上一项重大的成 就。方程术例题&今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下 禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾 二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、中、下禾实一秉各几何？李文林在数学史教程中指出：“对负数的认识是人类数系扩充的重 大步骤。如果说古希腊无理量是演绎 思维的发现，那么中算负数则是算法 思维的产物。中算家们心安理得地接 受并使用了这一概念，并没有引起震 撼和迷惑。”&国外首先承认负数的是7世纪印度数学 家婆罗门及多，欧洲16世纪时韦达等 数学家的著作还回避使用负数。勾股术改第九章“勾股”在周髀算经中 勾股定理的基础上，形成了应用问 题的“勾股术”，从此它成了中算 中重要的传统内容之一。提出了 勾股数问题的通解公式，在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了 这个公式的几种特殊情况，直到3 世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比九章算术晚约3个世纪To刘徽的数学成就在刘徽的九章算术注包含了他本人的 许多创造，其中最突出的成就是“割圆 术”和求积理论。&若设圆面积为S。，内接正n边形边长为I”，面积为s*I L I-2工 oo 2 3 欧拉曾计算出Y的近似值为0.577218,但到现 在也没有能够判断Y是有理数还是无理数。第五公设（平行公设）区第五公设：若一直线落在两直线上所构成的同 旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长,它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。也在欧氏几何的所有公设中，唯独这条公设显得 比较特殊，它的叙述不像其它公设那样简洁、明了，当时就有人怀疑它不像是一个公设而更 像是一个定理，并产生了从其它公设和定理推 出这条公设的想法。欧几里得本人对这条公设 似乎也心存犹豫，并竭力推迟它的应用，一直 到卷I命题29才不得不使用它。对第五公设的证明&历史上第一个宣称证明了第五公设的是 古希腊天文学家托勒密（约公元150）,后来普洛克鲁斯指出托勒密的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条 直线与已知直线平行。改替代公设：过直线外一点有且只有一条 直线与已知直线平行。几何原理中的家丑改从公元前3世纪到18世纪，证明第五公设 的努力始终没有中断。但每一种“证明”要么隐含了另一个与第五公设等价的假 定，要么存在其它形式的错误。而且，这类工作中的大多数对数学思想的进展 没有多大现实意义。18世纪中叶，达朗 贝尔把平行公设的证明问题称为“几何 原理中的家丑”。有意义的进展改意大利数学家萨凯里(G.Saccheri)在欧几里 得无懈可击(1733)一书中，从著名的“萨 凯里四边形”出发来证明平行公设。在四边形ABCD中，AD=BC,NA二NB且为直角。不用平行公设易证NC=ND。D-1c(1)直角假设：NC和ND是直角|(2)钝角假设：NC和ND是钝角人 B(3)锐角假设：NC和ND是锐角&萨凯里首先由钝角假设推出了矛盾，然后考虑 锐角假设，在这一过程中获得了一系列新奇的 结论：如三角形内角和小于两直角；过直线外 一点有无数条直线与已知直线平行等。萨凯里 认为它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾 而判断锐角假设是不真实的。而直角假设则是 与平行公设等价的。8 1763年,德国数学家克吕格尔(G.S.K Iugel)在 其博士论文中首先指出萨凯里的工作实际上并 未导出矛盾，只是得到了似乎与经验不符的结 论。克吕格尔是第一位对平行公设是否可以由 其它公设加以证明表示怀疑的数学家。高斯建立非欧几何在最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容、而且 可以用来描述物质空间的是高斯。他从1799年 开始意识到平行公设不能从其它公设推导出来,并从1813年起建立了一种使第五公设在其中不 成立的新几何学。他起先称之为“反欧几里得 几何，最后改称为“非欧几里得几何”。但 高斯没有发表过任何有关非欧几何的文章，只 在跟朋友的一些通信中提及，他在给一位朋友 的信中说：“如果公布自己的这些发现，黄 蜂就会围着耳朵飞，并会引起波哀提亚人 的叫嚣”。勇敢的罗巴切夫斯基在非欧几何的三位发明人中，罗巴切夫斯基最早、最 系统地发表了自己的研究成果，并且也最坚定地宣传 和捍卫自己的新思想。他于1826年在喀山大学发表了 演讲“简要论述平行线定理的一个严格证明”，而后 又于1829年发表了论几何原理的论文，这是历史 上第一篇公开发表的非欧几何文献，但由于是用俄文 发表在喀山通讯上的而未引起数学界的重视。1840年用德文出版的平行理论的几何研究引起高 斯的关注，这使他在1842年成为德国哥廷根科学协会 会员。&非欧几何理论公开后，许多人群起攻之，说新几何是“荒唐的笑语”，是“对有 学问的数学家的嘲讽”等。面对种种攻 击，罗巴切夫斯基表现得比高斯更有勇 气。一直到1855年，当他已是一位双目失 明的老人时，还口述发表了著作泛几 何学，坚信自己新几何学的正确性。非欧几何的发展与确认&德国数学家黎曼(B.Riemann,1826-1866)于 1854 年发展了罗巴切夫斯基等人的思想而建立了一 种更广泛的几何学一黎曼几何。为19世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱因和法国数学家庞加莱等人先 后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模 型，从而揭示出非欧几何的现实意义。至此，非欧几何才真正获得了广泛的理解。第七讲千古谜题、乂 3 7 2 7 八 一ax+bx+ex+a=0 J7令x=yb/3a)。令x=y+z,则3 3y+z+(3yz-p)(y+z)=q o3二夕歹+9（消次项，则上式成立，即13 3y+z=q3 3 3y z=(2/3)r 3 3I y+z=q若yz=p/32 3解方程 t-qt+(p/3)=0得（2）2一（巴）3,所以三次方程的一个根是2 32（卡尔达诺公式）虚数的出现改在使用卡尔达诺公式解三次方程的时候，人们 接触并大量使用了形如 匕 的数，却始终 不承认它们是真正的数，为此笛卡尔还特别称 这种数为“虚数”，意思是虚无而不存在的数。1777年欧拉用，表示石，1788年韦塞尔建立了 复平面，将复数对应一个由原点出发的向量。1811年高斯提出可用复平面里的点表示复数，1831年阐述了复数加法与乘法的几何意义。复 数的直观解释及其应用价值才使得这种数逐渐 被接受。&沪;I 卡尔达诺的贡献改其实，卡尔达诺本人已经接触到了虚数，并且 认识到复根是成对出现的，而且三次方程有三 个根，四次方程有四个根。在此基础上，荷兰 人吉拉德(15931632)在代数新发现(1629)一书中又作出进一步推测：对于n次多 项式方程，如果把不可能的根(复数根)考虑 在内，并包括重根，则应有n个根，这就是“代数基本定理”。当然，吉拉德没有给出证 明，19世纪初，高斯证明了这一定理。卡尔达 诺还发现了三次方程的根与系数的关系，这种 关系后来由韦达、牛顿等人作出系统阐述，故 称韦达定理。*1831年7月伽罗瓦被关进监狱。1832年3月法国霍乱病流 行，伽罗瓦被假释。出狱后不久，伽罗瓦便死于一场决 斗。改决斗前夜，他通宵达旦地奋笔疾书自己的数学成果。他 写道：“我在解析学中，创造出了许多新成果，我 想把这些没有解决的问题全部解决，展现在人们的面前。当写到没有时间了的时候，心里感到非常难受。”在遗书的主要内容，从数学方面看都是重要成果。他提出 了群（置换群）的概念，用群的理论彻底解决了根式求 解代数方程的问题。还可以推出倍立方体、三等分角尺 规作图的不可能性。在伽罗瓦去世后14年（1846年），法国数学家刘维尔在其 主编的数学杂志上首次发表了伽罗瓦的两篇遗作，伽罗瓦工作的意义才逐渐被人们所认识。第十三章13.10若干著名未决猜想的进展&庞加莱猜想(1904)：在一个三维空间内，假如每一条封闭 的曲线都能收缩到一点，那么这个空 间一定是一个向球。*广义庞加莱猜想：n维情形庞加莱猜想三维电脑模型亨利庞力口莱(18541912)&亨利庞加莱(Jules Henri Poincare)*简介 右家庭&童年多病 才华初展&求学生涯&大学研究&不幸辞世庞加莱猜想的进展*1960年，斯梅尔（美）证明了庞加莱猜想对于五 维或者五维以上的情形都是对的。3T980年，弗里德曼（美）宣告证明了四维庞加莱 1猜想。*2000年初美国克雷数学研究所选定了七个“千 年大奖问题”，庞加莱猜想是其中之一。浙江籍著名数学家2姜立夫(18901978),浙江平阳人。1918年获哈佛 大学博士学位。1919年南开大学成立，次年，姜立夫 到南开大学任教，是南开大学数学系唯一的台柱。他 逐年根据学生情况轮流开设各门主要课程，由于他的 博学多才，使南开大学能保证较高的教学质量，培养 了一批我国数学界的卓越人才，如刘晋年、江泽涵、陈省身、孙本旺、吴大任等。抗日战争期间，他任教 于西南联大，抗战胜利后，被委任为当时的中央研究 院数学研究所所长。1949年，姜立夫被迫将数学研究 所的图书运往台湾，不久，他摆脱羁绊毅然回到祖国 大陆，并一直任教于中山大学。浙江籍著名数学家右陈建功(18931971),浙江绍兴人。先后三次留学 日本并于1929年获日本东北帝国大学理学博士学位，成为第一位在日本取得这一荣誉的外国数学家。随后,他婉言谢绝了藤原教授的苦苦挽留，毅然回国，担任 浙江大学数学系主任。此后，先后在浙江大学、复旦 大学、杭州大学任教，担任过杭州大学副校长、中国 科学院数学研究所研究员、中国数学会副理事长等职 务。陈建功是中国函数论学科的奠基人，开拓了我国 研究单叶函数论、复变函数逼近论以及拟似共形映照 的三个方向。他一生中培养了数十名研究生，其中程 民德、夏道行、越民义、龚升等都是很有成就的数学 家。浙江籍著名数学家*苏步青(19022003),浙江平阳人。1927年毕业 于日本东北帝国大学数学系，后入该校研究院，获 理学博士学位。放弃在日本任教授的机会回国后，受聘于浙江大学数学系。1952年到复旦大学任教，历任教务长、副校长、校长等职。1983年起任复旦 大学名誉校长。1955年当选为中国科学院数学物理 学部委员，兼任学术委员会常委，专长微分几何，创立了国内外公认的微分几何学派。苏步青在科学 业绩上成绩斐然，在培养人才和数学教育方面的贡 献同样令人称道。他的许多学生，如谷超豪、胡和 生、张素成、白正国等都是国内外知名的学者。浙江籍著名数学家4陈省身(19112004),浙江嘉兴人。1934年获清华大学 硕士学位，1936年获德国汉堡大学科学博士学位。随后转往巴 黎跟随嘉当研究微分几何，并迅速进入微分几何研究的前沿。1943年应美国数学界领袖维布伦之邀，到普林斯顿高级研究所 工作。二战结束后回到上海，主持中央研究院数学研究所的工 作。1949年迁往美国，在芝加哥大学接替了E.P.Lane的教授职位,1960年到加利福尼亚大学伯克利分校工作直到1980年退休。陈 省身最重要的贡献是认识到嘉当的联络的几何学思想与纤维丛 理论有密切的关系，从而把微分几何推进到大范围的情形。他 发现的示性类一被称为“陈类”