高等数学_第二章 导数与微分课件.pdf

第二有 导数幺微分才由于艾立修wa：3Qt ia?nrasn&i as.第一节导数概念一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数可导性与连续的关系2导数概念的产生导数思想最早由法国数学家Fermat在研究 极值问题中提出.微分学的创始人(1601-1665)英国数学家Newton(1642-1727)德国数学家Leibniz(1646-1716)3一、引例1.变速直线运动的速设描述质点运动位置的函数为S=S(/)Sa)S(/o+A/)则从4到4+/的平均速度：S&+A/)S(/o)V-A/在4时刻的瞬时速度:lin/TO。）A/0AZ42.切线问题割线的极限位置一一切线位置若割线MN绕点M旋转 而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C 在点M处的切线.极限位置的含义:9(NMTQ5设 Nx,y).割线龙加的斜率为 itan cp ,N沿曲线c M、1f不，切线S的斜率为=tana=lim-八”。).t己 Ax=%Xf*0 x-XQ=Hm/Km+Ax)-/Im)A*一。A X6总结：瞬时速度：=lim SG+A/K/。).A/fO A/切线斜率：k=lim/U+A x)/U)-Ax共性：所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题加速度、电流强度、角速度、线密度等 7二、导数的定义定义 设p=/(方在飞的某邻域内有定义.若 lim 包=lim/(%)一/(%)存在，Ax Ax%x则称/(%)在0处可导，并记此极限为/(%)在次处的导数.,dy 必(%)记作 y 片曲，/(%o),dr%=%o dx%=司即 生=lim/(xo+A r)-/(xo)Ax-0 Ax-Ax8注释：1、若lim包不存在，则称/(%)在小点不可导;4rAx若lim包=8,不可导，也称导数为无穷大.心一 Ax2、导数的其它形式/(/)=独力-0/(%+万)-/(%)h/(须)=lim 0.X-M3、导数/(%)为因变量歹在点不处的变化率，它反 映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.9若/口)在开区间/内的每点处都可导，则称/(%)在开区 间/内可导此时，对于任一次/,都对应着一个确定的导数值.这样就构成了一个函数，此函数称为歹=/(6的导函数(简称导数).记作/(%),旦幺或也。dx dx即，y=lim/(+曲一/()，或/(力=1而/(+,)-/(4)4rf Ax ho h注意：/(%)=/)X-X10例1求/(%)=C(C为常数)的导数解/(*)-lim*+4)_/(*)=fto h o h即(O=o.按定义求导的一般步骤：(1)求增量 y=/(%+Ax)-/(%);(2)算比值包=/(%+A r)-/(%)；Ax Ar求极限=lim包.-Ax11例2 设/(jt)=sinjt,求(sin%)及(sinjt)，71 X4解(sin*)=lim，f osin(x+/)-sinxh1.，、=hmcos(x+-)-h0 2.h sm-3=cos x.n2(sin%)=cosx(sin%)X4=cos/订兀X42类似可得：(cos x)f=-sinx12例3求夕=/(协正整数)的导数.解(x)=lim(+W一炉，to h=+犷a。2!-nxnX即(/)=犷I更一般的，(/)=/(pet?)如：(4x y=,(1)=w2、x x x13例4求/(%)=，0/w 1)的导数.tx+h解）、鸵，=/加。.f。h即)=In a.特别地，（，）=，.14例5 求p=log(0Wl)的导数.解八题1 呜(*+4)Tog*hlog(l+)n x=lim-=limlog(l+),go h x xx1,1二-loge=-x xl na1 i即，(log 村=.特别地，(ln%)=.xna x15例6设/（%）存在，求lim力-o/(%+/)/(%4)2h的百 T-Iiimr/a0+m/（天）解：原式_脚-X-/(%一/)-4/)h1 Hm/（M+/）/（”。）+八7g2h 一，二(%)+/)=/(*o)16单侧导数左导数：/（%）=lim/。）右导数：ZU)lim/(X)-/(Xo)力演 X Xq2面 X-=lim/(&)-/(%).一 Ax 5=1向/(Ax)-/(%).Axfo+Ax 定理：/（%）存在o/（%）与/E）存在且相等/（力在闭区间以句上可导是指：/（%）在开区间（区方）内可导，且/（）及/（,）都存在.17例7讨论/(%)=国在%=0处的可导性.解/(o)=丹仅70k加3=1，/(0)=1加/(+0一/()J 40-h即/(0)wN(0),y=/(%)在%=0点不可导.18三、导数的几何意义与物理意义1.几何意 义/(%)表示曲线y=/(%)在点”(%,/(题)处的切线的斜率，即，/(%o)=tana,(q为倾角).切线方程：9%=/(%)(1一/)法线方程：1尸盟二_7(*_/)/(*o)(/(M)wO)191 1例8求等边双曲线p=L在点J,2）处的切线的%2斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程.解由导数的几何意义，得切线斜率为才=/1=（一）1=2 1=.4 X x=2 X 42切线方程y2=4（x）5 即,4x+y 4=0.法线方程y-2=-x-BP,2%8p+15=0.4 2202.物理意义变速运动：路程对时间的导数为物体的瞬时速度.Ns dsM/）=hm=Arf o A/dt交流电路：电量对时间的导数为电流强度.=lim=收.so A/dt非均匀的物体：质量对长度（面积，体积）的导数为 物体的线（面，体）密度.四、可导与连续的关系定理 凡可导函数都是连续函数.证设/(%)在点用。可导，即，/(%)=妈由函数极限与无穷小的关系知：/(4)+a,其中，cc 0(Ax 0)Ax即，Ny=/(%)Ajr+aA%故，lim Ny-lim/(%)Ax+ocAx=0 Ajt0 Ajt-0/(%)在点不连续.22注意:1连续不一定可导.如小）=M 1乃丁/*）在I=0点连续，/但 z（o）=1,Z（o）=-1 5/.y=/（%）在=0点不可导.2、如果/（%）在%=不点不连续，则一定不可导.3、讨论分段函数在分段点的导数时应该用左、右导数.23.例9讨论/(%)=n)、0，解sin，是有界函数，/(0)=0=lim/(x)%0在%=0的连续性与可导性.x=0/.lim/(x)=limxsin =04-o 丁-o%./(%)在;0处连续.在x=0处，包=x(0+Ax)sin-0.0+Ax 1-muAx A x而limsin-不存在，故,4rf Ar/(%)在=0处不可导.lim包不存在.-Ar241 Vl x 例 10 已知/(%)=一；一 bx.x 0问：为何值时/(%)在=0点可导?解：可导一定连续，于是，/(0+)=/(0-)=/(0),故，lim(v+bx)-lim-=a.x-0+彳-0一 xmil v 1 a/1 x.x 1贝a lim-=lim-/=2一%(1+Jl 一%)2/在=o点可导O N(o)=N(o),25I,_l 而可二同/一/二则.5 一二%-o+x%-。+X1 y/X 1/八、/(%)-/(。)x 2/(O)=lim 八 八)-lim-0-x%一%二 lim-=lim-=-一 彳-一2(1_|：+)8由N(0)=/(0)可知：b=:O1 1即当=4=时，/(%)在%=0点可导.2 826例 11 设/(%)=X.%0解当%0时,/(%)二 lim ln(l+%+Ax)Tn(l+1)LO Ax1 Av=limln(l+)心-0 Ax 1+x1 Ar 1=lim-=-.Ar 1+x 1+x27当%=0时，/(0);lim(O 0Tn(l+O)二 hG hZ（o）-lim力o+lnl+(0+)-ln(l+0)=1,于是/(0)=1.h所以1,/5)=1J+xx 0 28例12问曲线歹=盯在何处有垂直的切线？在何处的 切线与直线歹1平行，并写出切线方程？解：因为 y=(vy=-L3V7故，火Lo=8，则在(0,0)处有垂直的切线)=0.1 1 1令得%=1,止匕时，夕=1.3行3故，在(1,1)与(-1)的切线与直线尸平行，且切线方程为：y-=(x1),即，-39+2=01p+l=(%+1),即，3P-2=03 29第二节困教的求导法则一、和、差、瓶、商的求导法则二、反法教的导教三、复合法教的求导法则y/8、初等函数的求导问题/，、和、差、积、商的求导法则定理1若(%),火力)在1处可导，则它们的和、差、积、商(分母不为零)缶处也可导，且(1)(力 心)=(%)/(%);(2)(%).%)=()玫%)+(%)/(%)；“叫二u(玫?一 了(”)(心)。0).可力)V(X)仅证(3)(,=(力一%)一(%)玫%)(心),)设/(%)=勺2(M%)。0),心)破*+/)破*)/(*)=lim/(/(*)=。*+，)痛，.o h，fo hHm,)w*)一 M*)W=+4)ao W*+hv(xh=limM*+/)-4*)p(x+/)-v(x)WX+/)0.在%（-1,1）时，(arcsin)=-=/.2一(smj)cosj 1-sin2 j即，(arcsin%)=/1一J1 /类彳以可得(arccos力=.a/1-x2 例7求歹=arctan%的导数.解：p=arctan%的反函数为=tan 在尸(-三二)内,%=tan/单调、可导，且(tan/)=sec2/w 0.1111故，(arctan x)f=-=-=-=-(tan y)sec2 P 1+tan2 y 1+x因此，类似可得(arctan x)f=1 l+x2(“ccot=-i i+f三、复合函数的求导法则 求下列函数的导数：1、f.2%y=In tan x y=e,p=sm-,1+x定理3若=g(%)在“可导，而夕=/()在点u-烈%)可导，则复合函数p=/g(%)在点可导，且导数为ax au ax即，复合函数对自变量求导，等于复合函数先 对中间变量求导，再乘以中间变量对自变量求导.链式法则证由于夕=/()在点可导，故，lim包=/()-o Az/因止匕，=/()+a(lim a=0)Az/八。即，Ny=/()A+aAr/Av r/、A Az/.,故，lim=+a4rf0 Ax 0 Ar Ax方,、-A 11.A=/()lim+lim a lim Ar0 Zx Ar0 Arf0 x=/()(%)证毕.推广 设歹二/()，=y=(x),则复合函数y=/仲吠(%)的导数为 dy _dy du dv dx du dv dx例8求/=In sin%的导数.解 因为夕=In，u-sin x,故，及=或.必=Lcos%=9=cot”dx du dx u sm%例9求p=tan(l+石)的导数.解：因为夕=tan，=1+G故，虫=也.包=s戋2.；=*sec2(l+我)dx du dx 2yIx 2v x例10求歹=(*+1)1。的导数.解 女=10(*+1)9.(*+1)，dx=10(/+1)9.2%=2OM*2+1)9.例11求解(/In 才)=In力口才）,=Xx(lnx+1)例 12 求 p=arctan Jl+sin 3的导数.解：包=-1(71+sin3xydx l+(Jl+siu3”)2112+sin3x2jl+sin3”(l+sin3”)12+sin3”2jl+sin3”cos3(3*)2+sin3”2，l+sin3”cos3*3*ln311J*+例13求p=ln孚上(2)的导数.vx-2解 因为歹=，ln(/+l)_，ln(%_2),3m，11c 1 _ x 1故，y；2%-2,.一,.、2 x2+l 3(%2)x+1 3(*-2).1Qin 例14求/=，的导数.解-1 1.1 1 1sin I sin-11.y9=e”(sin)=e cos(一)二一二 y.*Xsin-1*cos X例15设/(x)x,ln(l+x),%Q，求/(%)解当0时，/(x)=1,当力 0时,/(%)=11+x当%=0时，N(0)=lim(O+0Tn(l+O)=20一 hAlnl+(0+)-ln(l+0)1-=1h故，/（。）=1:/(%)=1,1x 0e例16 设/(%)=3%求/(%).X2.x解 当了1时，/(%)=2匹当=1时,/=lim/力2 a 2J-1=2h(1+02(2/3)-=00 h故，/不存在.-/(%)=2X2,x 1四、基本求导法则与导数公式1.常数和基本初等函数的导数公式(C)=0(2)(/)，=炉t(3)(/)=axna(4)(，)=产1(5)(log,幻=一 xin a(7)(sin x)f=cos)(8)(cos%)=-sin x(9)(tan x)f=sec2%(10)(cotx)r=-csc2 X(11)(sec%)，=secxtanx(6)(lnx)f=-(12)(cscx)f=-cscxcotx(13)(arcsin x)f=/2a/1-x2(15)(arctan x)f=11+x2(14)(arccosx)1Jl-I2(16)(arccot%)，-1+x2.函数的和、差、积、商的求导法则3.反函数的求导法则4.复合函数的求导法则利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.思考题暴函数在其定义域内().(1)必可导；(2)必不可导；(3)不一定可导;思考题解答正确地选择是（3）2例/（X）=*（-00,4-00）在x=0处不可导，Q）X=X2 （-00,4-00）在定义域内处处可导，（2）x思考题若 在不可导，在可导，且，贝！J 在处（）.（1）必可导；（2）必不可导；（3）不一定可导;思考题解答正确地选择是(3)例/()=11在=。处不可导，取=x)=sinx在x=0处可导，/U(x)l=|sinx|在*=0处不可导，(1)x 取=双*)=/在l=0处可导，/!鼠%)1=1/|=/在*=0处可导，x第三节高阶导教一、高阶导教的定义二、高阶导教求法率例56一、高阶导数的定义问题：变速直线运动的加速度.设描述质点运动位置的函数为$=(/)则瞬时速度为乂/)=(/)而加速度0/)是玫/)对/的变化率，故，(/)=(/)=($)这种导数的导数()叫做S对/的二阶导数.57定义若/(%)的导函数/(%)在了处可导，即，(/(功=lim/(%+、)-/(%)存在,LO Ax则称(/(%)为/(%)在处的二阶导数.记作/(%),入。或学2 ax dx二阶导数的导数称为三阶导数记作58一般地，/(%)的-1阶导数的导数称为/(，)的阶导数.记作尸3,一,会或笑二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.相应地，/(%)称为零阶导数;/(%)称为一阶导数.59高阶导数求法举例1.直接法：由高阶导数的定义逐步求高阶导W1/(%)=arctan%,求/(0),/(。).解1/二01/二后2%(1+x2)2/=(7rv)r 二(1+X)(1+X)/(。)=一2：一(1+x2)2=。；/(。)=含”(1+1)60例2设夕二i。(Q0,求J.解 y=OLTa-1X=(0Lra_1)=a(a-1)jra-2j/n=(a(a-l)xa2 y=a(a-l)(a-2)xa3了()=a(a 1)(a +1)“。一(n 1)若a为自然数，则/=儿/D=()=0.问题：一个5次多项式的6阶导数是什 么？注意：求n阶导数时，求出-3或4阶后，不要急于 合并，分析结果的规律性，写出n阶导数。例 3 设 y=ln(l+%求下叱解=17/=Q+*)3/4)=(1+*)23!(1+*)4一)=(一 1尸(一1(1+*)(之心0!=1)62例4设了=$近,求了叫7T解/=cos*=sin(x+-)2“71 7C 71 71y-cos(jr+)=sin(x+)=sin(x+2)2 2 2 2y-cos(x+2 )=sin(x+3)2 2严=sin(x+/7-)类似可得(cos X)(/7)=COS(X+77-)六si皿的阶导数？产=5（3%+吟）632.高阶导数的运算法则：设（%）和玫%）均具有阶导数，则（1）Q，严=W）*）（2）（。产二。（）（）=（）N+（T）V+（g J（一2）-+加1）I）小为/）+.+铲）kn=E）/）莱布尼兹公式二064例 5 设7=I2c2,求 20).解 设(%)=储,乂%)=*,则由莱布尼兹公式知产。)=(人产。)./+20(/严).,)，20(20-1)2!(3”)(18).(%2)+0=22*./+202”,2%+型产 2%”.2!=2202x(x2+20 x+95)653.间接法：利用已知的高阶导数公式，通过四则 运算，变量代换等方法，求出n阶导数.常用高阶导数公式(1)4(0)(2)(，)()二炉(3)(sinA)()=S sin(/fcr+77)(4)(cos红)()=kncos(?h*+77-)(In 产二(一 1尸仁义JC1(6)(3)()=(i)77Krx a xa)66例 6 设 p=sin6%+cos6%,求 p().解 7=(sin2 x)3+(cos2 x)3=(sin2 x+cos2 Ar)(sin4 x-sin2 atcos2 x+cos4 x)=(sin2 x+cos2 x)2-3sin2 xcos2 x1 3：2”.3 l-cos4;r=1 sin lx=i-4 4 2=5+3coS4.8 8故，y=.4.cos(4+67例7.如何求下列函数的n阶导数(1)1 X1+%1y-3%+22+x解(1)%T+/)=2(-1)(l+%)+i11 1(2)y=(I_2)(%1)x2 x11168思考题 设/(%)=(/3+2)cos 土,16则/)(2)=4?2 JT Y 提示：/(%)=(X-2)/z(x-1)77 cos io2/)(%)=!(%_i)cos lo十.共项，均含（*-2）的因子69第四节隐函数及参教方程求导一、隐身教的导教 二、对教求导法 三、参教方程求导 0、相关变化率70一、隐函数的导数显函数：写成夕=/(%)形式的函数隐函数：若变量元和了满足一个方程尸也刃=0,在 一定条件下，当力取某区间的任一值时，相 应地总有满足方程的唯一P值存在，则称方 程广(%/)=0在该区间确定了 一个隐函数.隐函数的显化：把一个隐函数化成显函数如 x+y-i=o 歹=W一%问题：隐函数不易显化或不能显化如何求导？如+xr2=sin x 如何求?dx隐函数求导法则：方程户(%/)=0的两端同时对力求导！注意：要将少视为力的函数乂分方程中关于7的函数要视为了的复合函数.72例1求由方程+，的导数条苧W=0所确定的隐函数解方程两边对求导,解得,包=0dxdy ex-y dx x+ey由原方程知力=0,7=0,.J*一.$4一+,73例2设曲线。的方程为/+，=3邛 求过右上点（；,学 的切线方程，并证明曲线C在该点的法线通过原点.解 方程两边对力求导，34+3/j/=3y+3 W*-y3 3（及）2/一%-2 y 一%3 3(R3 3切线方程：/-彳=-彳），即，x+y-3=0.2 2/3 3法线方程 y-5二力一不：即,/=x74例3已知p=l+%,求且 加解：两边对力求导/=以+*477=，-x ey 1-y（2-仍一八y）八,二（2-尸）一，（一八 2y_（2-方JL_)2-J 4(3-7)(2 J)375例4设149+4=1,求在点(0,1)处的值.解方程两边对力求导得4，一尸犷+”=0(1)将方程两边再对了求导得12*-2 J-个+122 3)2+”3 J，=0(2)将1=0,7=1代入得/户0=;j=i 41 1再将=o,夕=1及人句=:代入得 y+厂一记 片1 4 尸176:、对数求导法如何求下面函数的导数?(1)尸(X+1)/X 1 0+4)2/c、sin%Q)歹二%方法：先在方程两边取对数，然后利用隐函数 的求导方法求出导数.对数求适用范围:导法多个函数相乘和哥指函数(%)心)的情形77例5设了二(%+1),1(x+4)2x,求乂解等式两边取对数得上式两边对力求导得In y-ln(x+1)+-ln(x-1)-21n(x+4)-x 3y x+1 3(x-1)*+4y=-+-1(%+4)2，x+1 3(1)x+478例6设少二/口乂）。），求y解 等式两边取对数得In 7=sin X In*上式两边对屋导得1，1-1-y-cos a:-In sin y x1/.y=歹(cos%-In%+sin x-)xsinxr i SIH-*(cosx lnx+-)X79三、由参数方程所确定的函数的导数若参数方程,;二;2确定P与工间的函数关系，则 称此关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数.例如=，222/彳2%y=r=（一）2 4消去参数t2问题：消参困难或无法消参如何求导?80在参数方程中,|设了=以/）具有单调连续的反函数，=犷1（力,则歹=巩犷1（切再设=。（/p=w（/）都可导,且仪/）=0,由复合函数及反函数的求导法则得81若；r=。，y=/还二阶可导，乙d dy d 乂3=d区(4出 dx dx dx d(/)dt(p(/)dx二L(/)i=/(/)“(/),(/(/)_ 山3 生一“2(/)/sdt即 必=，(/)“(/)，(/)“(/)dR“1/)82例8求摆线;；7（1-cos/）dydy 二 _ zsinZ-dx 包 一COS/dt.n r sm 故，逮l dxtF 1-cos-2当/=生时,X 7（1）?2 2切线方程：y-ax-即 y=x+0(Ax 0).Ax从而 =/()Ar+a-(Ar)=/(/)Ax+域Ax),/(%)在点不可微.95由上述定理可知：可导O可微，且/=/(%).于是，dy=/(%)Ax通常把自变量力的增量Ar称为自变量的微分,记作dx,即，dx-Ax因此，dy-f(x dx ，=/(x).ax故，导数也叫“微商”.96例1求夕=/当=2,Ax=0.02时的微分解/dy-.i=3,4 a百0.02|Ax=0.02=0.24.974.微分的几何意义当州是曲线的纵坐标 增量时，放就是切线 纵坐标对应的增量.当M很小时，在点的附近，切线段 必可近似代替曲线段4w在局部范围内用线性函数代替非线性函数，在几何 上就是局部用切线段近似代替曲线段。非线性函数的局部线性化98二、微分公式与运算法则dy=fxdx求法：计算函数的导数，乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式/6)=0&sin x)=cos xdxr或tan x)=sec xdx&sec x)=sec xtan xdx或%)=从/一1办&cos%)=sin xdxr&cot x)=-esc xdx/esc x)=-esc xcot xdx99In adx1&log,x)=-dxxl na1/arcsin x)=/dx Vl-x21/arctan x)=-dx1+x力(，)=exdx1(7(ln x)=dxx&arccos x)=-1 dx1x)=-万 dx1+x2.函数和、差、积、商的微分法则v-dudvd(uv)=vd*udvd(Cu)=Cdu“、vdu-udv/)二iV V100例 2 设 p=ln(x+J),求 dy.解,.e y=1+2M22，x+ex 1+2:=二必例3设p=J-3%COSJ5求办解 dy-cos at-/3-3)+3 3”嫉cos*),.(3-3)，=-33 3”,(cos*)=-sinx.：.砂=。0”(一33-3*)d+3-3*.(_加*)血=-3 3”(3cos x+sin xdx.101微分形式的不变性设歹=/(%)有导数(1)若r是自变量时，dy=f(mdx(2)若r是中间变量时，即,是另一变最的可导函数x=0(/),则砂=/*(x)(ps,/夕=(/)或，dy-f(x dx.结论：无论力是自变量还是中间变量，y=/(%)的微分形式总是砂=/(1)药102例4设歹=sin(2)+l),求欧.解 dy-cos udu(=2%+1)=cos(2x+1/2*+1)=cos(2x+l)2血=2 cos(21+1)血.103例5 p=浮血ng,求dy.解arct an xe41-/)(/-2),1-jt2 例6在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立.4)=cos(2)”(sinx2)=()&).解(1),:/sinoo/)=co cos 袖/.cosa)4=4sin(o/)=4?(sin(D/);(D 0:.必一5加(0/+0=COS(O必(0嫉 sin jt2)2xcos xdx=4xVxcosx2,:./sinx2)=(4xVxcosx2105小结微分学所要解决的两类问题：函数的变化率问题 导数的概念1函数的增量问题 微分的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学，叫做微分学.导数与微分的联系:可导O可微.106思考题因为一元函数 在的可微性与可导性是等价的，所以有人说“微分就是导 数，导数就是微分”，这说法对吗？107思考题解答说法不对.从概念上讲，微分是从求函数增量引 出线性主部而得到的，导数是从函数变化 率问题归纳出函数增量与自变量增量之比 的极限，它们是完全不同的概念.108