新北师大版八年级数学上册全册教案.pdf

第一章勾股定理1.探索勾股定理（第1课时）一、学生起点分析八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力.在小学，他们已学习了 一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识 和能力还远远不够.部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股 定理”.此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作 交流能力和探究能力有待加强.二、教学任务分析本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级（上）第一章勾股定理第一节 第1课时.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用.本节是直角三角形相关知识的延续，同时也 是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性.止匕外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值.为此本节课的教学目标是：1.用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映 的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用.2.让学生经历观察一猜想一归纳一验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般 的思想方法.3.进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧 密联系.4.在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的 研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习.三、教学过程设计第1页本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探索发现 勾股定理；第三环节：勾股定理的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业.第一环节：创设情境，引入新课内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标:会标中央的图案是一个与勾股定理有关的图形，数学家曾建议 用勾股定理的图来作为与外星人联系的信号.今天我们就来一同 探索勾股定理.(板书课题)意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育.TH效果：激发起学生的求知欲和爱国热情.第二环节：探索发现勾股定理i.探究活动一内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形：问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？学生通过观察，归纳发现：结论1以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边 长的正方形的面积.意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边.通过 对特殊情形的探究得到结论1,为探究活动二作铺垫.效果：1.探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；2.通 过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望.2.探究活动二内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？(1)观察下面两幅图：第2页（2）填表:（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.（学生可能会做出多种方法，教 师应给予充分肯定.）A的面积（单位面积）B的面积（单位面积）C的面积（单位面积）左图右图学生的方法可能有：方法一：如图1,将正方形C分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，Sc=4x1x2x3+1=13.2方法二：如图2,在正方形C外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减 去四个直角三角形的面积，喧备m方法三：如图3,正方形C中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如A图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，B-D-（4）分析填表的数据，你发现了什么？第3页学生通过分析数据，归纳出：结论2以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的 正方形的面积.意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角 形的性质.由于正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C的面积计算这一难点后得出结论2.3.议一议内容：（1）你能用直角三角形的边长一 b,c来表示上图中正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度.2中 发现的规律对这个三角形仍然成立吗？勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用。，b,c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么/+/=,.2.数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形 z中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，勾股定 勾理因此而得名.（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）h一股、意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.效果：1.让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力；2.通 过作图培养学生的动手实践能力.第三环节：勾股定理的简单应用内容：例题 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下，树顶落在离树根24m处.大树在折断之前高多少？（教师板演解题过程）练习：1.基础巩固练习：求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：第4页2.生活中的应用：小明妈妈买了一部29in(74 cm)的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有 58 cm长和46 cm宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这是为什 么吗？意图：练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识.效果：例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生用数学的意识.运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.第四环节：课堂小结内容：教师提问：1.这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？2.对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流.在学生自由发言的基础上，师生共同总结：1.知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用J 0,C分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么Y+b2=c2.方法：(1)观察一探索一猜想一验证一归纳一应用；(2)割、补、拼、接法.3.思想：(1)特殊一一般一特殊；(2)数形结合思想.意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动.效果：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总 结的意识.第五环节：布置作业第5页内容：布置作业：1.教科书习题LL了扩展学生的知识面；作业3是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进 一步认识勾股定理的前提条件.效果：学生进一步加强对本课知识的理解和掌握.五、教学设计反思（一）设计理念依据 学生是学习的主体 这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用 学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习.教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点.（二）突出重点、突破难点的策略为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过 几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直 角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而 得到勾股定理.第一章勾股定理1.探索勾股定理（第2课时）第6页一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的 基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的 直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证.学生活动经验基础：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过 程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流 的能力；学生在七年级七巧板及图案设计的学习中已经具备了一定的拼图活动经 验.二、教学任务分析本节课是八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的 内容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理 解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识 和能力，为后面的学习打下基础.为此本节课的教学目标是：1.掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证 过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.3.在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题是本节课的重点.三、教学过程本节课设计了七个教学环节：（一）复习设疑，激趣引入；（二）小组活动，拼图验证;（三）延伸拓展，能力提升（四）例题讲解，初步应用；（五）追溯历史，激发情感；（六）回顾反思，提炼升华；（七）布置作业，课堂延伸.第一环节：复习设疑，激趣引入内容：教师提出问题：（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理,第7页对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三 角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生 兴趣.效果：通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望.第二环节：小组活动，拼图验证.内容：活动1：教师导入，小组拼图.教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全 等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）活动2：层层设问，完成验证一.学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：a b图1 图2在此基础上教师提问：（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再 4人小组交流）；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书（a+b）-4XLab+c?.并得到c）2从而利用图1验证了勾股定理.活动3：自主探究，完成验证二.教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算 的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？（学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二）第8页意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验 证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问引导下 完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.设计活动3,让学生利用另一个拼图 独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.效果：学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重 点内容之一，并突破了本节课的难点.第三环节延伸拓展，能力提升L议一议:观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足ab2=c22.一个直角三角形的斜边为20cm，且两直角边长度比为3:4,求两直角边的长。意图：在前面已经讨论了直角三角形三边满足的关系，那么锐角三角形或钝角三角 形的三边是否也满足这一关系呢？学生通过数格子的方法可以得出：如果一个三角形不 是直角三角形，那么它的三边a,A,c不满足/+后=通过这个结论，学生将对直角三角 形三边的关系有进一步的认识，并为后续直角三角形的判别打下基础。第四环节：例题讲解 初步应用内容：例题：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米 处，过了 20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？意图：（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）体会勾股定理的应用价值.效果：学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题并顺利解 决.第五环节：追溯历史激发情感活动内容：由学生利用所搜集的与勾股定理相关的资料进行介绍.第9页国内调查组报告：用图2验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学家赵爽在为 周髀算经作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图.2002年的数学家 大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既 标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！ICM 2002 Satollile CenfertnceU2的SWraer 1“ChitAug 30-Sep 1.2002国际调查组报告：勾股定理与第一次数学危机.约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理（勾股定理），若正方形边长 是1,则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏 学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推 翻的威胁，第一次数学危机由此爆发.据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海.不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文irrational 原义就是“不可比”.第一次数学危机一直持续到19世纪实 数的基础建立以后才圆满解决.我们将在下一章学习有关实数的知识.趣闻调查组报告：勾股定理的总统证法.在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏 黄昏的美景他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地 谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨.由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想 搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上 画着一个直角三角形于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下 的难题.他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给 出了简洁的证明方法.1876年4月1日，他在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理 第10页的这一证法.1881年，这位中年人一伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾 股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.说明：这个环节完全由学生来组织开展，教师可在两天前布置任务，让部分同学收集 勾股定理的资料，并在上课前拷贝到教师用的课件中便于展示，内容可灵活安排.意图：（1）介绍与勾股定理有关的历史，激发学生的爱国热情；（2）学生加强了对数 学史的了解，培养学习数学的兴趣；（3）通过让部分学生搜集材料，展示材料，既让学生 得到充分的锻炼，同时也活跃了课堂气氛.效果：学生热情高涨，对勾股定理的历史充满了浓厚的兴趣，同时也为中国古代数学 的成就感到自豪.也有同学提出：当代中国数学成就不够强，还应发奋努力.有同学能意识 这一点，这让我喜出望外.第六环节：回顾反思提炼升华内容：教师提问：通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.目的：（1）归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；（2）教师了解学生对本 节课的感受并进行总结；（3）培养学生的归纳概括能力.效果：由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性，所以学生谈的收获很多，包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想，学生对勾股定理的历史的感悟及对勾 股定理应用的认识等等.第七环节：布置作业，课堂延伸内容：教师布置作业1.习题 1.2 1,2,32.上网或查阅有关书籍，搜集至少1种勾股定理的其它证法，至少1个勾股定理的应 用问题，一周后进行展评.意图：（1）巩固本节课的内容.（2）充分发挥勾股定理的育人价值.六、教学设计反思1.设计说明勾股定理作为“千古第一定理”其魅力在于其历史价值和应用价值，因此我注意充分 第11页挖掘了其内涵.特别是让学生事先进行调查，再在课堂上进行展示，这极大地调动了学生,既加深了对勾股定理文化的理解，又培养了他们收集、整理资料的能力.勾股定理的验证 既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，我设计了拼图活动，先让学 生从形上感知，再层层设问，从面积（数）入手，师生共同探究得到方法1,最后由学生 独立探究得到方法2.这样学生较容易地突破了本节课的难点.2.教学建议如果学生的程度较好可以按照本教学设计进行教学，并且可以把分层练习中“知识拓 展”作为课堂教学内容.如果学生程度稍差，可以舍弃第三环节以及第五环节中的（2）（3）两个问题.而把分层练 习中“基础训练”作为课堂过关使用.第一章勾股定理2.一定是直角三角形吗一、学生知识状况分析学生已经了勾股定理，并在先前其他内容学习中已经积累了一定的逆向思维、逆向研 究的经验，如：已知两直线平行，有什么样的结论？反之，满足什么条件的两直线是平行？因而，本课时由勾股定理出发逆向思考获得逆命题，学生应该已经具备这样的意识，但具 体研究中，可能要用到反证等思路，对现阶段学生而言可能还具有一定困难，需要教师适 时的引导。二、学习任务分析本节课是北师大版数学八年级（上）第一章勾股定理第2节。教学任务有：探索勾股 定理的逆定理，并利用该定理根据边长判断一个三角形是否是直角三角形，利用该定理解 决一些简单的实际问题；通过具体的数，增加对勾股数的直观体验。本节课的教学目标是:1.理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；2.能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形；3.经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力、归纳能力；4.体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣;第12页教学重点理解勾股定理逆定理的具体内容。三、教法学法1.教学方法：实验一猜想一归纳一论证本节课的教学对象是初二学生，他们的参与意识较强，思维活跃，对通过实验获得数学 结论已有一定的体验，但数学思维严谨的同学总是心存疑虑，利用逻辑推理的方式，让同 学心服口服显得非常迫切，为了实现本节课的教学目标,我力求从以下三个方面对学生进行 引导：(1)从创设问题情景入手,通过知识再现,孕育教学过程；(2)从学生活动出发,通过以旧引新，顺势教学过程；(3)利用探索,研究手段,通过思维深入,领悟教学过程。2.课前准备教具：教材、电脑、多媒体课件。学具：教材、笔记本、课堂练习本、文具。四、教学过程设计本节课设计了七个环节。第一环节：情境引入；第二环节：合作探究；第三环节：小 试牛刀；第四环节：登高望远；第五环节：巩固提高；第六环节：交流小结；第七环节：布置作业。第一环节：情境引入内容：情境：1.直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？2.如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否 就是直角三角形呢？意图：通过情境的创设引入新课，激发学生探究热情。效果：从勾股定理逆向思维这一情景引入，提出问题，激发了学生的求知欲，为下一第13页环节奠定了良好的基础。第二环节：合作探究内容1:探究下面有三组数，分别是一个三角形的三边长。也C,5,12,13；7,24,25；8,15,17：并回答这样两个问题：1.这三组数都满足嚏串 吗？2.分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？学生 分为4人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数。A B意图：通过学生的合作探究，得出“若一个三角形的三边长 满足二一廿E,则这个三角形是直角三角形”这一结论；在活动中体验出数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊一一般一特殊”的发展规律。效果：经过学生充分讨论后，汇总各小组实验结果发现：5,12,13满足可以构成直角三角形；7,24,25满足可以构成直角三角形；8,15,17 满足可以构成直角三角形。从上面的分组实验很容易得出如下结论：如果一个三角形的三边长a也c,满足那么这个三角形是直角三角形内容2:说理提问：有同学认为测量结果可能有误差，不同意这个发现。你认为这个发现正确吗？你能给出一个更有说服力的理由吗？意图：让学生明确，仅仅基于测量结果得到的结论未必可靠，需要进一步通过说理等方 式使学生确信结论的可靠性，同时明晰结论：如果一个三角形的三边长a,b,c,满足a2+=c2,那么这个三角形是直角三角形满足/=一的三个正整数，称为勾股数。注意事项：为了让学生确认该结论，需要进行说理，有条件的班级，还可利用几何画 板动画演示，让同学有一个直观的认识。活动3：反思总结提问：第14页1.同学们还能找出哪些勾股数呢？2.今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢？3.到今天为止，你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢？4.通过今天同学们合作探究，你能体验出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢?意图：进一步让学生认识该定理与勾股定理之间的关系第三环节：小试牛刀内容:1.下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由。9,12,15；15,36,39；12,35,36；12,18,22解答：2.一个二角形的二i力长分别是GTTM,则这个三角形的面积是（）A 250 SB 150cm2 C 200 cm2D不能确定解答：B3.如图，在 AA8C中，ADLB CD,8。=9,AO=12,AC=20,则 AA8C是（）A 等腰三角形 B锐角三角形 人C直角三角形 D钝角三角形解答：c 2_1_4.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三盾形是（广,A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D不能确定解答：A意图：通过练习，加强对勾股定理及勾股定理逆定理认识及应用效果：每题都要求学生独立完成（5分钟），并指出各题分别用了哪些知识。第四环节：登高望远内容：1.一个零件的形状如图2所示，按规定这个零件中NANDBC都应是直角。工人师傅量第15页得这个零件各边尺寸如图3所示，这个零件符合要求吗？图3解答：符合要求 v 32+42=52,a ZDAB=90 又 AB.（4）中A-6的路线长为：AB.得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解 题.在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具 决体问观第21页A察.接下来后提问：怎样计算AB?在放445中，利用勾股定理可得A5?=44+42,若已知圆柱体高为12c帆，底面半径为 3cm,取 3,则 A82=1 2 2+(3x3)2,.A8=1 5.注意事项：本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面，目的仅仅是让学 生感知最短路径的不同存在可能.但这一拓展使学生无法去论证最短路径究竟是哪条.因 此教学时因该在学生在圆柱表面感知后，把探究集中到对圆柱侧面最短路径的探究上.方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几 何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：1.审题一一分析实际问题；2.建模一一建立相应的数学模型；3.求解一一运用勾股定理计算；4.检验一一是否符合实际问题的真实性.第三环节：做一做内容：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AO边和3C边是否分别垂 边A3,但他随身只带了卷尺，(1)你能替他想办法完成任务吗？(2)李叔叔量得AD长是30厘米，A3长是40厘米，B O长 米，AD边垂直于A3边吗？为什么？直于底是50厘(3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AO边是否垂直于A3边吗？边与A3边呢？解答：（2）/AD2+AB2=302+402=2500B D2=2500:.AD2+AB2=B D2：.AD和AB垂直.意图：运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处 理问题.第22页效果：先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性.当刻度尺较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加的方法量出A3,AD 和3。的长度，或在AB,边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论.第四环节：小试牛刀内容：1.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速 度向正东行走，1时后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走.上午10：00,甲、乙两人 相距多远？解答：如图:已知A是甲、乙的出发点，10:00甲到达B点，乙到达。点.则：43=2X6=12(km)AC=1X5=5(km)在放bc1中：B C2=AC2+AB2=52+122=169=132.：,B C=3(km).A-f东即甲乙两人相距13 km.2.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到5处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离.解答：.AB2=152+202=625=252.20 RA 勿 J/X zHB 1/Ta-/3.有一个高为1.5 m,半径是1m的圆柱形油桶，在靠近边向有一小孔I,从孔中插 入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m,问这根铁棒有多长？解答：设伸入油桶中的长度为 m.腑则最长时：/%=2.5.6，最长是 2.5+0.5=3(m).”最短时：tsHl trcR.一第23页，最短是 1.5+0.5=2(m).答:这根铁棒的长应在23nl之间.意图：对本节知识进行巩固练习，训练学生根据实际情形画出示意图并计算.效果：学生能独立地画出示意图，将现实情形转化为数学模型，并求解.第五环节：举一反三内容:1.如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点3处爬行,已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s,且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到3?卜数 初喘喷育成冤解：如图，在RtABC中:V500202.不能在20 s内从A爬到艮2.在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出 水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池 的深度和这根芦苇的长度各是多少？解答：设水池的水深AC为%尺，则这根芦苇长为AD=AB=(x+1)尺，在直角三角形ABC中，3c=5尺.由勾股定理得:B C2AC2=AB2.即 5?+(%+i)2.25+/=f+2%+1.第24页2%=24.x-12,x+1=13.答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.意图：第1题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展，从圆柱侧面到棱柱侧面，都是将空间问 题平面化；第2题，学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代 人民的聪明才智；运用方程的思想并利用勾股定理建立方程.效果：学生能画出棱柱的侧面展开图，确定出AB位置，并正确计算.如有可能，还可把正 方体换成长方体进行讨论.学生能画出示意图，找等量关系，设适当的未知数建立方程.注意事项：对于普通班级而言，学生完成“小试牛刀”，已经基本完成课堂教学任务.因 此本环节可以作为教学中的一个备选环节，共老师们根据学生状况选用.第六环节：交流小结内容：师生相互交流总结：1.解决实际问题的方法是建立数学模型求解.2.在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问 题.意图：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛 应用及它们的悠久历史.效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出在寻求曲面最短路径时，往往考虑 其展开图，利用两点之间，线段最短进行求解.并赞叹我国古代数学的成就.第七环节：布置作业1.课本习题1.4第1,2,3题.2.如图是学校的旗杆，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了一段，现在老第25页师想知道旗杆的高度，你能帮老师想个办法吗?请你与同伴交流设计方案？注意事项：作业2作为学有余力的学生的思考题.六、教学设计反思本节从生动有趣的问题情景出发，通过学生自主探究，运用勾股定理及其逆定理解决 简单的实际问题，既巩固了基本知识点，又在将实际问题抽象成几何图形过程中，学会观 察，提高分析能力，渗透数学建摸思想.在设计中，我注重以下两点：1.要充分利用好教材提供的素材“蚂蚁怎么走最近”是一个生动有趣的问题，让学生充满了探究的欲望，这个问题体 现了二、三维图形的转化，对发展学生的空间观念很有好处.2.合理使用教材提供的练习本节课通过“小试牛刀”和“举一反三”把教材中的练习重组，使练习有梯度，既巩 固了基本知识点，又训练了学生的应用能力.第一个作业让学生深入理解和应用勾股定理 及逆定理.3.突破重点、突破难点的策略在教学过程中教师应通过情景创设，激发兴趣，鼓励引导学生经历探索过程，得出结 论，从而发展学生的数学应用能力，提高学生解决实际问题的能力.4.分层教学根据本班学生实际情况可在教学过程中选择：基础训练一一“小试牛刀”；提高训练一 一“举一反三”；拓展训练一一作业第2题.5.评价方式根据新课标的评价理念，在教学过程中应关注学生的参与程度，关注活动中所反映出 的思维水平，关注对实际问题的理解水平，关注学生对基本知识的掌握情况和应用勾股定 理及逆定理解决实际问题的意识和能力.在教学过程中尊重学生的个体差异，对于学生的 回答教师应给予恰当的评价与鼓励，并帮助学生树立学习数学的自信，充分发挥教育的价 值.附：板书设计第26页蚂蚁怎样走最近情境引入-小试牛刀：举一反三-合作探究-1.-1.2.-2.-3.-课后作业:第一章勾股定理回顾与思考一、学生起点分析通过前面三节的学习，学生已经基本掌握了勾股定理及逆定理的知识，并能应用勾股 定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基 础和活动经验基础.同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有 了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.八年级学生已初步具有几何图形的观察，几何证明的理论思维能力.他们希望老师创 设便于他们进行观察的几何环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会，希望老师 满足他们的创造愿望，让他们实际操作，使他们获得施展自己创造才能的机会.但对于勾 股定理的综合应用，还需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识,但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，可能部分同学会有一些困难.二、教学任务分析勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它揭示了直角三角形三边之间的数 量关系，将形与数密切联系起来，理论上占有重要的地位，它有着悠久的历史，在数学发 展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用，勾股定理的应用蕴含着丰富的文 化价值.勾股定理也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础，具有学科的基础性 与广泛的应用.本课时教学是复习课，强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探 索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培 养学生多方面的能力.让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受数学的美，以提高学 第27页习兴趣.为此，本节课的教学目标是：让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用.在回顾与思考的过程中，提高解决问题，反思问题的能力.在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣.通过对勾股定理历史的再认 识，培养爱国主义精神，体验科学给人来带来的力量.三、教学过程设计本节课设计了六个环节.第一环节：情境引入；第二环节：知识结构梳理；第三环节:合作探究；第四环节：拓展提升；第五环节：交流小结；第六环节：布置作业.第一环节情境引入勾股定理，我们把它称为世界第一定理.它的重要性，通过这一章的学习已深有体验,首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表；其次，了解勾股定理历史的同学知道，正是 由于勾股定理得发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们将在 实数一章里讲到，第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足 这个方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是费马大定理，直到1995 年，数学家怀尔斯才将它证明.勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的 宝贵的财富，这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史，勾股定理的应用.目的：通过对勾股定理历史及地位的解读，让学生了解知识脉络及前后联系，激发学习探究 热情.效果：从历史的深度提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础.第二环节：知识结构梳理本章知识要点及结构：（第16题由学生独立思考完成，小组代表展示）第28页1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用和C分别表 示直角三角形的直角边和斜边，那么=1.2.勾股定理各种表达式：在RtZVLBC中，ZC=90,ZA,ZB,NC的对边也分别为a,c,贝h二,b=,c=.3.勾股定理的逆定理：在aABC中，若a,b,c三边满足,则aABC为.4.勾股数：满足 的三个，称为勾股数.5.几何体上的最短路程是将立体图形的 展开，转化为_上的路程问题，再利用 两点之间，解决最短线路问题.6.直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？（教师引导，小组讨论、总结）从边的关系来说，当然就是勾股定理；从角度的关系来说，由于直角三角形中有一个 特殊的角即直角，所以直角三角形的两个锐角互余.直角三角形作为一个特殊的三角形.如果又有一个锐角是30。，那么30。的角所对的直 角边时斜边的一半.7.举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形.判断一个三角形是直角三角形可以从角、边两个方面去判断.（1）从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形.例如：在ABC中，/8=75。，/C=15。，根据三角形的内角和定理，可得乙4 二 90。，根据定义可判断ABC是直角三角形.在A3C中，ZA=-ZB=-ZC,由三角形的内角和定理可知，ZA=30,2 3/B=2/A=60。，ZC=3ZA=90,5c 是直角三角形.（2）从边出发来判断一个三角形是直角三角形.其实从边来判断直角三角形它的理论 依据就是判定直角三角形的条件（即勾股定理的逆定理）.例如：AB C 的三条边分别为a=7,b=25,c=24,而 a+c=7+黄=625=25=b;根据勾股定理的逆定理可知ABC是直角三角形，但这 第29页里要注意的是b所对的角ZB=90.在ABC三条边的比为a:b:c=5:12:13,AAB C是直角三角形.8.通过回顾与思考中的问题的交流，由同学们自己建立本章的知识结构图.(小组内展示自己总结的知识框图，相互交流完善知识框图；每个小组选取一名代表，展示本组的知识框图.)三边的关系-勾股定理一历史、应用直角三角形直角三角形的判别一应用目的：复习与直角三有形有关的知识，加强知识的前后联系，把勾股定理及判定纳入直角三 角形的知识体系中，把以前的零散的知识形成知识体系.通过学生相互交流，整理知识框 图复习本章知识点，自觉内化到自身的知识体系中.效果：学生有独立思考的空间，与有合作交流的舞台，动静结合，相得益彰.第三环节：合作探究内容：探究一：利用勾股定理求边长已知直角三角形的两边长分别为3、4,求第三边长的平方.解：(1)当两直角边为3和4时，第三边长的平方为25；(2)当斜边为4,一直角边为3时，第三边长的平方为7.注意事项：因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5.但 这一理解的前提是3、4为直角边.而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为 斜边，但也可能为直角边.探究二：利用勾股定理求图形面积：1.求出下列各图中阴影部分的面积.第30页（1）（2）（3）图（1）阴影部分的面积为;（答案：1）图（2）阴影部分的面积为；（答案：81）图（3）阴影部分的面积为;（答案：5）2.已知 RtZkABC 中，ZC=90,a+b=14cm,c=1