北师大版九年级数学上册全册教案.pdf

第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质）二教与目标【知识与技能】理解菱形的概念，掌樨菱形的性质.【过程与方法】经历探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展学 生思维意识,体会几何说理的基本方法.【情感态度】培养学生主动探究的习惯、严密的思维意识和审美意识.【教学Jf i点】理解并掌握菱形的性质.【教学难点】形成推理的能力.:瓠学日程一、情境导入，初步认识四人为一小组先在组内交流自己收集的有关菱形的图片，实物等，然后进行 全班性交流.引入定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.【教学说明】认识菱形，感受菱形的生活价值.二、思考探究，获取新知教师拿出平行四边形木框（可活动的），操作给学生看，让学生体会到：平 移平行四边形的一条边，使它与相邻的一条边相等，可以得到一个菱形，说明菱 形也是平行四边形的特例，因此，菱形也具有平行四边形的所有性质.【教学说明】通过教师的教具操作感受菱形的定义.如图：将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开.思考，1.这是一个什么样的图形呢？2.有几条对称轴？3,对称轴之间有什么位置关系？4.菱形中有哪些相等的线段？【教学说明】充分地利用学具的制作,发现菱形所具有的性质，激发课堂学 习的热情.【归纳结论】菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、对角线互相垂直.三、运用新知，深化理解1.见教材P3第1俎2.见教材P?例1.3.如图，菱形ABCD中，AB=15,ZADC=120o,则B、D两点之间的距离【教学说明】本题考查有一个角是60的菱形的一一条对角线等于菱形的边 长.4.如图所示，在菱形ABCD中，ZABC=60,DE AC且交BC的延长线 于点E.求证：DE=；BE.分析：由四边形ABCD是菱形，NABC=60。，易得BDJ_AC,ZDBC=300,又由DEAC,即可证得DELBD,由30所对的直角边等于斜边的一半，即 可证得de=Lbe.2证明：方法一：如图,连接BD,丁四边形ABCD是菱形，ZABC=603,4 次ABDAC,ZDBC=30,B C EVDE/7AC./.DE1BD,B|)ZBDE=90,ade=1be.2方法二：丁四边形ABCD是菱形，NABC=60，ADBC,AC=AD.ACDE,四边形ACED是菱形，.DE=CE=AC=AD,又四边形ABCD是菱形，AD=AB=BC=CD：BC=EC=DE,即C为BE的中点，ADE=BC=-BE.2【教学说明】此期考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识.此尊难度 不大，注意数形结合思想的应用.5.如图,在菱形ABCD中，ZA=60c,AB=4,。为对角纹BD的中点，过 O点作OELAB,垂足为E./.AB=11,BC=13,S=AB-BC=11 X 13=143.【教学说明】通过上面的解题分析.再对整个学习过程进行总结，能够促进 理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展.四、复习训练，巩固提高1.已知：如图，在矩形ABCD中，CEBD.E为垂足，ZDCE：ZECB=3：1,则 nace=度.解析：根据矩形的性质首先求出NDCE,ZECB的度数,然后利用三角形内 角和定理求解即可.2.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC,AE交CD 千点F,则度.解析：由于正方形的对角线平分一组对角，那么/ACB=45,即/ACE=135在等段ACAE中.已知顶角的度数.即可由三处形内角和定理求得 NE的度数.3.如图，以4ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即4 ABD、ABCE.AACF,请回答下列问题，并说明理由.（1）四边形ADEF是什么四边形：（2）当ZiABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形.分析：（1）四边形ADEF是平行四边形.根据ABD,EBC都是等边三角 形，容易得到全等条件证明DBETZABCg ZFEC,然后利用全等三角形的性 质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF是平行四边形.（2）若平行四边形ADEF是矩形，则NDAE=90,然后根据已知可以得 到/BAC=150.解：（1）四边形ADEF是平行四边形.理由：VAABD,ZiEBC都是等边三角形.AD=BD=AB,BC=BE=ECZDBA=ZEBC=60c Z DBE+Z EB A=Z ABC+Z EBA./.ZDBE=ZABC.在aDBE f l l AABC 中BD=BAZDBE=ZABCBE=BC,.DBEAABCADE=AC.又ACF是等边三角形，:.AC=AF.，DE=AF.同理可证：AD=EF,四边形ADEF是平行四边形.(2)若四边形ADEF是矩形，则 NFAD=90,ZBAC=36O NDAFNDAB/FAC=3600-90-60-60=150“.ZBAC=150时，四边形ADEF是矩形.【教学说明】让学生先独立完成，而后将不会的问题各小组交流讨论得出结 果,养成学以致用的好习惯.五、肺生互动，课堂小结先小组内交流本节课的收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结.教 如进行补充.【教学说明】归纳平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，体验事物之间 的联系与区别.郭调后作业布置作业:教材“复习题”中第5、8、12题.:教学反思一通过本节课的复习，归纳矩形、菱形、正方形的性质和判定，使学生体验事 物之间的联系与区别.从而加强对新知识的理解与应用.第二章一元二次方程1认识一元二次方程第1课时一元二次方程的定义敦竽目标【知识与技能】探索一元二次方程及其相关概念，能的辨别各项系数，能够从实际问题中抽 象出方程知识.【过程与方法】在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程 与实际生活的联系.【情感态度】通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生 学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.【教学Jf i点】一元二次方程的概念.【教学难点】如何把实际问题转化为数学方程.;敦与13程一、情境导入,初步认识问题上有一块矩形铁皮，100c m,宽50c m.在它的四个角分别切去一个 正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无 盖方盒的底面积是36005?,那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题2：一个氏为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端处地面的垂直跳离 为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？你能设出未知数，列出相应的方程吗？【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，乂是本课一种很自然的 引入，为本课的探究活动做好铺垫.二、思考探究，获取新知你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？(1)(100-2x)(50-2x)=3600(2)(x+6)2+72=102【教学说明】分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不 是所学过的方程，特点是两边都是整式.且整式的最高次数是2.【归纳结论】方程的等号两边都是整式,只含有一个未知数，且未知数的最 高次数是2的方程叫作一元二次方程：一般地.任何一个关于x的一元二次方程,经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a、b、c 为常数，aHO)这种形式叫作 元二次方程的一般形式.其中吆2是二次项，a是二次项的系 数：bx是一次项，b是一次项系数：c是常数项.活动中教师应重点关注：(I)引导学生观察所列出的两个方程的特点；(2)让学生类比曲面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义：(3)强调定义中体现的3个特征：整式；一元：2次.【教学说明】让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到其 正理解定义的目的.三、运用新知，深化理解1.下列方程是一元二次方程的有(I)x2+1/x-5=0(3)x+-=45)x2-5=O2解答：(5)(2)x?-3xy+7=O(4)nP-2m4-3=O(6)ax2-bx=42.已知方程(m+2)x+(m+1)x-m=0,当m满足 时，它是一元 次方程：当m满足 时，它是一元二次方程.解析：当m+2=0.即m=2时，方程是一元一次方程：当m+2#0,即m#-2时，方程是一元二次方程.解答：m=-2 mW23.一元二次方程(x+l)2-x=3(x2-2)化成一般形式是_.解析：一元二次方程一般形式是ax2+bx+c=O(a,b,c为常数，aWO),对 照一般形式可先去括号，再移项，合并同类项，得2/17=0.解答：2x2-x-7=04.把方程5x2+6x+3=0的二次项系数化为1,方程可变为()A.x2+6/5x+3/5=0 B.x2-6x-3=OC.x2-6/5x-3/5=O D.x2-6/5x+3/5=O解析：注意方程两边除以5,另两项的符号同时发生变化.解答：C5.已知(m+3)x2.3mxl=O是一元二次方程，则m的取值范围是.解答：mW36,把方程(13x)(x+3)=2x3 化为一元二次方程的一般形式.并写出二次项、二 次项系数、一次项、一次项系数及常数项.解：原方程化为一般形式是：5x2+8x-2=O,其中二次项是5x2.二次项系数是 5,一次项是8x.一次项系数是8,常数项是2(因为一元二次方程的一般形式是三个 单项式的和所以不能漏写单项式系数的符号).7.关于x的方程mF3x=xLmx+2是一元二次方程，m应满足什么条件？分析：先把这个方程化为一般形式，只要二次项的系数不为0即可.解：由 mx2-3x=x2-inx4-2 得到(m-i)x+(m-3)x-2=0,所以 m-IWO.即 m Hl所以关于x的方程mx23x=xLmx+2是一元二次方程，m应满足mHL【教学说明】这组练习目的在于巩固学生对一元二次方程定义中3个特征的 理解，进一步巩固学生对一元二次方程的基本概念的理解.四、师生互动、课堂小结本节课你学到了哪些内容和方法？【教学说明】小结反思中，不同学生有不同的体会，要尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识,为每个学生创造数学活动中获得活动经验的机会.二%课归作业1.布置作业,教材习题2.1”中第1、2题.2.完成练习册中相应练习.教与反周本节课是一元二次方程的第一课时,通过对本节课的学习，学生将掌握一元 二次方程的定义、一般形式及有关概念，并学会利用方程就决实际问题.在教学 过程中，注重重难点的体现.本节课内容对于学生整个中学阶段的数学学习有着 电大的意义,能否学好关系到日后学习的成败，因此必须要让学生吃透内容并且 能够真正消化.第2课时一元二次方程的根及近似解:敦与目标【知识与技能】会进行简单的一元二次方程的试解.【过程与方法】根据超意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体 题目.【情感态度】理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力.【教学电点】判定一个数是否是方程的根.【教学难点】会在简单的实际问题中估算方程的解.理解方程解的实际意义.:教与国雁一、情境导入，初步认识学生活动：请同学独立完成下列问题.问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直 即离为8m,那么梯广的底端跑墙多少米？设梯子底端距墙为x m,那么，根据题意，可得方程为丘运式.整理.得xL36=O.列表:6问题2：一个面积为120m2的矩形苗网.它的长比宽多2m,苗网的长和宽 各是多少？设苗圃的宽为x m,则长为（x+2）m.根据题意，得x(x+2)=120.整理，-x2x“2O=O.列表：x 5 6 7 8 9 10 11z2+2r-120【教学说明】通过列我计算使学生了解一元二次方程的鼾，确定未知数的大 致范胤二、思考探究，获取新知提问：(1)问题I中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解 是多少？(2)如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？老师点评式1)问题1中x=6是代-36=0的解：问题2中.x=IO是x42k120=0 的解.(2)如果抛开实际问题，问题1中还有x=6的解；问题2中还有x=-12的 解.为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的情况区别，我们也称一元二 次方程的解叫做一元二次方程的根.回过头来看：xL36=0有两个根，一个是6.另一个是但-6不满足题意：同理，问题2中的x=-12的根也不满足8意.【教学说明】由实际问题列出方程并解得的根.并不一定是实际问题的根.还要考虑这些根是否确实是实际问题的解.三.运用新知，深化理解1.下面哪些数是方程2x2+10 x+I2=0的根？4-3,-2,-I,0.1,2.3,4.分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把它代入等式，看它是否能使等 式两边相等叩可.解：将上面的这些数代入后，只有2和3满足方程的等式，所以x=-2或x=3 是一元二次方程2x410 x+12=0的两根.2.若x=l是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的一个根，求代数式2014(;i+h+c)的值.分析:如果一个数是方程的根.那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等.这一点同学们要深刻理解.3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？(1)x-64=0(2)3x2-6=O(3)x2-3x=O分析：要求出方程的根.就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方 根的意义来求解.4.x(x-1)=2 的两根为(D)A.xi=O.X2=l B.xi=O,X2=-lC.xi=l t X2=2 D.xi=-L X2=25.方程ax(x-b)+(b-x)=0 的根是(B)A.xi=b X2=a B.xi=b X2=l/aC.xi=a X2=l/a D.xi=a2 X2=b26.如果x2-8i=0,那么x2-81=O的两个根分别是xi=9 x：=-9.7.如果x=l是方程ax4bx+3=0的一个根，求(ab)244ab的值.解：由已知，得a+b=-3,原式二(a+b)2=(-3)2=98.如果关于x的一元二次方程axbx+=0(a*0)中的二次项系数与常数项 之和等于一次项系数，求证：“必是该方程的一个根.解：由题意可知：a+c=b.a-b+c=O.把x=-l代入原方程，得ax:+bx+c=aX(-1)-+bX(-1)-fc=a-b+c=0“必是该方程的一个根.9.在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在2.2X+1=0,令匚二l=y,则有-2y+l=0,根据上述变形数学思 XX X想(换元法)解决小明给出的问题：求x2-1)2+(x2.l)=0的根.解：设尸X 2-1,则/+丫=0,yi=0,”=-1,当 X：-1=0 时，X|=l X2=-1；当 x2-l=-l 时，X3=X4=0.X2=-1 X3=X4=0 是原方程的根.【教学说明】让学生先独立完成，而后将不会的问题同各小组交流讨论得出 结果.四、师生互动，课堂小结本节课应掌握：1.一元二次方程根的概念：2.一个数是否是一元二次方程的根的判断方法：3.求一元二次方程的根的方法.I：课后作业1.布置作业：教材“习题2.2”第1、2题.2.完成练习册中相应练习.二敦与反界本节课通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范 围，从而会进行简单的一元二次方程的解的计算.2用配方法求解一元二次方程:教字目标【知识与技能】理解里方法的意义，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.【过程与方法】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦,并体验数学的价值，增强学 生学习数学的兴趣.【教学理点】运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.【教学难点】了解并掌握用配方求解一元二次方程.:教与过程一、情境导入，初步认识1.根据完全平方公式填空：(1)x*2 3 4+6x+9=()2(2)x2-8x+16=()2(3)x2+10 x+()三()2(4)x2-3x+()2=()22.解下列方程：(1)(x+3)2=25：(2)12(x-2)-9=0.3.你会解方程x、6x-16=0吗？你会将它变成(x+m)-n(n为非负数)的形 式吗？试试看，如果是方程2x?+l=3x呢？【教学说明】利用完全平方知识填空，为后面学习打下基础.二、思考探究，获取新知思考：怎样解方程x46xI6=0?x2+6x-16=0移项：x2+6x=16两边都加上9.即(g),使左边配成x?+2bx+b：的形式：x2+6x+9,右边为：16+9：写成平方形式：(x+3)J25降次：x+3=5解一次方程：x+3=5,x+3=5,*.xt=2 X2=-8【教学说明】通过这一过程，学生发现能用宜接开平方法求解的方程都可以 转化成一般形式.一般形式的方程也能逆向转化为可以直接开平方的形式，所以 总结出解一元二次方程的基本思路是将x4px+q=0形式转化为(x+m)2=n(n2 0)的形式.归纳结论通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种方法 称为配方法.三、运用新知，深化理解1.解方程(注，学生练习，教师巡视，适当辅导).(1)x2-10 x+24=0：(2)(2x-l)(x+3)=5：(3)3x2-6x+4=0.解：(I)移项，x0,当bMac O Hj,“一 NO.b.yP-4ucx+=-2u 2a-b/b:-4ac.-byjb2-4d c X=-2a-yjb-4ocX2=2【归纳总结】山上可知，一元二次方程axbx+c=O(aO)的根由方程的系 数a、b、c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac20 时，将 a、b、c 代入式子 x二-随(bZac 20)，2a就可求出方程的根：(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式：(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；(4)由求根公式可知.一元二次方程最多有两个实数根.用公式法解一元二次方程时,必须注意两点：(1)将a、b.c的值代入公式 时，一定要注意符号不能出错；(2)式子b2-4ac 20是公式的一部分.【教学说明】让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=O(aO)能否用配方法求出它的解，通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式.2.用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？(1)2x2-3x=0：(2)3x?-26x+l=0：(3)4x2+x+1=0.【归纳总结】(1)当A=b?Tac 0时，一元二次方程axe+bx+c W(a#0)有两个不相等的实数根，叫x尸士生三E,x2J-R4j加 2a(2)芍A=b：-4ac=0时,一元.次方程 W+bx+c M)(a#0)有两个相等实数根叩 X|=X2=-：2a(3)当A=b2ac 0时，一元二次方程ax、bx+c=O(a/0)没有实数根.【教学说明】进一步体会一元二次方程的根与bL4ac的关系.三、运用新知，深化理解1.用公式法解下列方程.(1)2x2-x-1=0；(2)x2+1.5=-3x：(3)x2-V2 x+12=0：(4)4x2-3x+2=0.分析：用公式法解一元二次方程，需先确定a、b、c的值，再算出的 值，最后代入求根公式求解.【教学说明】(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的根是由一元二次方程 的系数a、b、c确定的：(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2-4ac 0 的前提下，把a、h、c的值代入x=-土、41r中,可求得方程的两个根：2a(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.2.不解方程，判定方程根的情况0的 解集(用含a的式子表示).分析：要求ax+30的解集，就是求ax-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0.因为一元二次方程(a-2)2ax+a+l=0没有实数根.即-2a)7(a-2)(a+1)0,就可求出a的取值范围.解：关于x的一元二次方程(a2)x22ax+a+l=O没有实数根./.(-2a)2-4(a-2)(a+l)=4a-4a244a+80 a0 即 ax-3,/.x-3/a 所求不等式的解集为x-3/a【教学说明】主体探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解 求根公式.四、师生互动，课堂小结本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根推出了一元二次方程 的求根公式，并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况.,调后作业1 布置作业：教材“习题2.5”中第1、2题.2.完成练习册中相应练习.二教与反思通过复习配方法使学生对一元二次方程的定义及解法有一个深刻的印象.然 后让学生用配方法推导一般形式ax2+bxz=0(aW0)的解，并掌握利用根的判别式 判断一元二次方程根的情况.使学生的推理能力得到加强.4用因式分解法求解一元二次方程教字目标【知识与技能】能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程.能够根据一元二次方程的结构特点，灵活选用简单的方法.【过程与方法】通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力.【情感态度】通过知识之间的相互联系.培养学生用联系和发展的限光分析问题、解决问 题.树立转化的思想方法.【教学重点】用因式分解法解一元二次方程.【教学难点】理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.;敦与亘程一、情境导入，初步认识复习：将下列各式分解因式(I)5x2-4x：(2)x2-4x+4；(3)4x(x-1)2+2x：0,T-5)土M 53 x=,2x2 4(2)原方程化为(1-x)0,士后.&ox-,.xi=3 xz=-2.2即 a2+b2=3 或 a2+b2=-2.F%b=0.3+产=-2不符合题意应舍去，取abl.【教学说明】(1)整体思想能帮助我们解决一些较“麻烦”的问期.(2)在 做题时要注意隐含条件.5,用一根长40c m的铁丝闱成一个而积为91c m-的矩形,问这个矩形长是多 少？若围成一个正方形，它的面积是多少？解：设长为x c m,则宽为(弓-x)c m,40、x (-x)=91.2解这个方程，得加=7,xi=13.40 40当 x=7c m 时，二x=2d 7=13(c m)(舍去)；当 x=13c m 时，-x=2O-13=72 2(c m).当闱成正方形时,它的边长为吧=10(c m).面积为KFTOO(c m2).4【教学说明】应用提高、拓展创新,培养学生的应用意识和创新能力.四、师生互动，课堂小结1.本节课我们学习了哪些知识？2.因式分解法解一元二次方程的步骤有哪些？【教学说明】对某些方程而言因式分解法比较快捷，不适合因式分解法的再 考虑其它方法.课后作业1.布置作业：教材“习题2.7”中第1、2题.2.完成练习册中相应练习.:教学反而这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基 本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程，而达到11的，我们主要利用了因 式分解“降次”.在今天的学习中，要逐步深入、领会、掌握“转化”这一数学 思想方法.*5 一元二次方程的根与系数的关系普敦与目标【知识与技能】掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的 两根之和及两根之积，并会解一些简陋的问题.【过程与方法】经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概 括能力，解决问题的能力，渗透整体的数学思想、求简思想.【情镇态度】通过学生自己探究,发现根与系数的关系,增强学习的信心，培养科学探究 精神.【教学盅点】根与系数的关系及运用.【教学难点】定理的发现及运用.;教与亘程一、情境导入,初步认识我们知道生活中许多事物存在着一定的规律,有人发现并验证后就得到伟大 的定理，而我们数学学科中更蕴做着大量的规律.那么一元二次方程中是否也存 在什么规律呢？今天我们共同去探究，感受一次当科学家的滋味.【教学说明】让学生感受到数学和其他学科一样，里边有很多有价值的规律,等待我们去探索，激发学生的学习兴趣、探究欲望.二、思考探究，获取新知解下列方程,将得到的解填入下面的表格中，观察我中X|+X2,XX2的值.它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规 律？-一兀一次方程 x1+6.r-16=()x2 2kr 5=()2.1-3/l一【教学说明】通过学生计克一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之 积，引导学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法.【归纳总结】一般地，对于关于x的一元二次方程a+bx+c f aWO),用 求根公式求出它的两个根xh xn,由一元二次方程axbxx=O的求根公式知 x尸生史三，七二土巫三还，能得出以下结果：2a 2ah cX|+X2=-，X|X2=一 a a【教学说明】让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让 学生经历从特殊到一般的科学探究过程.三.运用新知，深化理解1,求下列方程的两根之和与两根之积.(I)x2-6x-!5=0：(2)5x-l=4x2；(3)x T；(4)2x2=3x.2.已知关于x的方程x、2(k-1)x+H=O有两个实数根X|,x:(1)求k的取值范围：(2)若bH+X2l=Xl X2l,求 k 的值.【教学说明】让学生初步学会运用根与系数的关系来求两极和与两根积.3.已知方程5x2+kx-6=0的一个根为2,求它的另一个根及k的值；解：设方程的另一个根是XI,那么2xi=_：又 X|+2=一:.*.k=r74.利用根与系数的关系，求一元二次方程2x43xl=0的两个根的（1）平方 和：（2）倒数和.解：设方程的两个根分别为XI，X2，那么 X|+X2=-3，2 1 X1X2=-2（I）,:（XI+X2）2=x/+21I X2+X/,xj+x二（xi+x2）2-2xi X2=13/4（2）-L+=工X X2 X，X25.已知关于x的方程x?（k+1）x+l/4k:+l=0,且方程两实根的枳为5.求k 的值.解：方程两实根的积为5=+）了-4K+DN0 4 ,XyX2+1=5得产.,=4 当k=4时，方程两实根的积为5.6.已知关于x的一元：次方程/+2（k-1）x+kn=O有两个不相等的实数根.（1）求实数k的取值范围：（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请 说明理由.解：（1）A=2（k-1）M（k2-l）=4k2-8k-b4-4k2+4=-8k-b8.:原方程有两个不相等的实数根，A-8k+80,解得k 4,所以它的另一个根是4.【教学说明】目的是考察学生灵活运用知识解决问题的能力，让学生了解到 根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性.四、师生互动，课堂小结不解方程，根据一元：次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些 代数式的值：求得方程的另一根和方程中的特定系数的值：(1)先化成一般形式，再确定&b,c.(2)当且仅当bL4ac0时，才能应用根与系数的关系.(3)要注意符号：两个根的和是2前面有负号，两个根的枳是前面没有 a a负号.让学生谈谈本节课的收获与体会，教断可适当引导和点拨.】象课后作业1 布置作业：教材“习电2.8”中第2、3题.2.完成练习册中相应练习.I教与反用此节课在研究方程的根与系数关系时，先从具体例子观察、归纳其规律，并 且先从二次项系数是1的方程入手，然后提出二次项系数不是1的方程，由此.猜想一般的一元二次方程的根与系数的关系,最后对此猜想的正确性作出证明.这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值.6应用一元二次方程第1课时利用一元二次方程解决几何问题.敦与目标【知识与技能】使学生会用一元二次方程解应用题.【过程与方法】进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的 能力，培养学生运用数学的意识.【情感态度】通过列方程解应用题，进一步体会运用代数中方程的思想方法解应用题的优 越性.【教学市点】实际问题中的等鼠关系如何找.【教学难点】根据等显关系设未知数列方程.:敦与亘程一、情境导入，初步认识列方程解应用题的步骤是什么？审题，设未知数，列方程，解方程，答.【教学说明】初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际H意，设未 知数，列出一元一次方程求解.从而得到问题的解决.但有的实际问胞，列出的 方程不是一元一次方程，是一元二次方程,这就是我们本节课所研究的问题，一 元二次方程的应用.二、思考探究，获取新知问题：有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子,现用一块长方形台布铺在桌面 上，如果台母的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的氏度相同，试求这块台布 的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）分析：设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为（2x+6）尺，宽为（2x+3）尺，利用台布的面积是桌面面积的2倍构建方程可获得结论.解：设四周垂下的宽度为x尺时，依题意可列方程为（6+2x）（3+2x）=2X6 X3.整理方程，得2x2+9x-9=0.解得xl-0.84,x2-5.3（不舍就意，舍去）.即这块 台布的长约为7.7尺，宽约为4.7尺.【教学说明】注意引导学生分析、理清题目中的数盘关系，挖掘已知条件 与要解决问题.激发学生解决问题的欲望.体会数形结合思想的应用.三、运用新知.深化理解1.见教材P52例1.2,直角三角形的两条直角边的和为，面积是6,则斜边长为（B）A.V37 B.5 C.A D.73.从正方形铁皮的一边切去一个2c m宽的长方形，若余下的长方形的面积为 48c m2,则原来正方形的铁皮的面枳为迦城.4.如图，在一幅矩形地陵的四周镶有宽度相同的花边，地敌中间的矩形图案的长为6m.宽为3m,若整个地段的面 积为40m，求花边的宽J解：没花边的宽为x m,依题意有（6+2x）3+2x）=40,解得x.l,xa-U（不合题意应舍去）.2即花边的宽度为l m.一,“w5.如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三A 0边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.i c（I）若所围的面积为150m，试求此长方形鸡场的长和宽：（2）如果增长为18m,则（1）中长方形鸡场的长和宽分别是多少？（3）能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由.分析:如图，若设BC二x m,则AB的长为至二土 m,若设AB二x m,则 2BC=（352x）m,再利用期设中的等量关系.可求出（1）的解：在（2）中墙长a=18m意味着BC边长应小于或等于18m,从而对（1）的结论进行甑别即可：（3）中可借助（1）的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得到结论.解:（1）设BC=xm,则AB=CD=m,依即意可列方程为x=150,2 2 解这个方程，得xi=20,X2=15.当 BC=x=20m 时，AB=CD=7.5m,当 BC=15m 时，AB=CD=10m,即这个长 方形鸡场的长与宽分别为20m和7.5m或15m和10m;(2)当墙长为18m时，显然BC=20m时，所围成的四场会在靠墙处留下一 个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15m和 10m:(3)不能围成面积为160m2的长方形鸡场,理由如下:设BC=x m,由知 AB=-m,从而有 x =160,方程整理为 xL35x+32O=O.此时 A=35：-4 2 2X1X32O=1225128OVO,原方程没有实数根.从而知用35m的篱笆按图示方式 不可能围成面积为160m工的鸡场.6.如图所示，在ABC 中，ZC=90,AC=6c m,BC=8c m,AB点P从点A出发沿边AC向点C以l c m/s的速度移动，点Q从点/L C出发沿CB边向点B以2c nVs的速度移动当其中一点到达终点/时，另一点也随之停止运动|(1)如果P.Q同时出发，几秒钟后，可使APCQ的面积为8c mV(2)点P.Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得4PCQ的面积等于 ABC的面积的一半？分析:(1)如果 P，Q 同时出发，x s 后，AP=xc m PC=(6-x)c m.CQ=2xc m.此时4PCQ的面积为：X2x(6-x),令该式=8,由此等量关系列出方程求出符合 题意值;(2)AABC 的面积的一半等于1XAC BC=12(c m2),令：X2x(6-x)2 一=12,判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在.解：(1)设xs后，可使APCQ的面积为8c m2.由题意得AP=xc m,PC=(6-x)c m,CQ=2xc m.则;(6x)2x=8.整理，x2-6x+8=0 解得 xi=2,X2=4.所以 P,Q同时出发2s或4s后可使aPCQ的面积为8c m(2)由题意，f S,C=-AC BC=-X6X8=24(c m2),令1X2xX(6-x)2 2 2=1 X24,x-6x+12=0,b2-4ac=62-4X 12=-12180个，不符合题意，舍去:当 x=60 时，进货 18U-10X(60-52)=100(个)V180 个，符合题意.答：当该商品每个定价为60元，进货为100个时.商店获利2000元.【教学说明】此题主要考查了一元二次方程的应用.找到关键描述语，建立 等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.四、断生互动、课堂小结列一元二次方程解应用题,步骤与以前列方程解应用题一样，其中审题是射 决问题的基础，找等最关系列方程是关键，恰巧灵活地设元直接影响着列方程与 解法的难易.它可以为正确合理的答案提供有利的条件.方程的解必须进行实际 意义的检验.调后作业1.布置作业：教材“习置2.10”中第2,4题.Z完成练习册中相应练习.I：敦与反思这节课是“列一元二次方程解应用题”，这类注电联系实际考查学生数学应 用能力的问题，体现时代性，并且结合社会热点、焦点问题，引导学生关注国家.人类和世界的命运.既有强烈的德育功能，又可以让学生从数学的角度分析社会 现象,体会数学在现实生活中的作用.在课堂中始终贯彻数学源广生活乂川于生 活的数学观念.同时用方程来解决问题，使学生树立一种数学建模的思想.本章复习YK教字目标【知识与技能】l 一元二次方程的相关概念；2.灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；3,能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况：4,能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题：5.构造一元二次方程解决简单的实际问嗯；【过程与方法】通过灵活运用解方程的方法,体会几种法之间的联系与区别，进一步熟练 地根据方程特征找出最优解法.【情感态度】通过实际问题的解决，进一步熟练地运用方程籍决实际问题，体会方程思想 在解决问题中的作用.【教学血点】运用知识、技能解决问题.【教学难点】解题分析能力的提高.二敦字亘程一、知识结构直接开方法 闪式分稣法 配方法【教学说明】引导学生回顾本章知识点展小本章知识结构图，使学生系统 地了解本章知识以及之间的关系二、释疑解惑，加深理解1.一元二次方程的概念：等号两边都是整式,只含有个求知数（一元），并且求知数的最高次数是z(二次)的方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是：ax bx ya、b、c为常数，a#0),其中ax：是二次项.a是二次项系数.bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项.3.一元二次方程的解法,直接开方法：配方法：公式法：因式分解 法.4.一元二次方程a+bx+c TXaKO)的根的判别式是A=bLl ac,当A 0时.方程有两个不相等的实数根：当=()时，方程有两个相等的实数根：当AV0 时，方程没有实数根；当A 20时，方程有实数根.5.一元二次方程的根与系数的关系：(韦达定理)当A=b2-4ac 2 0时，一元二次方程ax2+bx+c=O(a H 0)的求根公式为 x=七。：若一元二次方程axbx+c TXaHO)的两根为x1、X：.则 2ab cXj+X2=-,Xi X2=.a a若一元二次方程x：+px+q=O的两根为X|、X、则xi+x?=-p xix=q6.一元二次方程的应用.【教学说明】学生独立完成，通过对重点知识的回顾为本节课的学习内容做 好铺垫.三.典例精析，复习新知1.(1)方程(m+1)x20H+7xm=0是一元二次方程，则m是多少？分析：首先根据一元二次方程的定义得，mZ2ml=2：再由一元二次方程 ax：+bx+c=O(aWO)的定义中aWO这一条件得m+1 W0来求m的值.解：m=3.2)若关