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北师大版数学八年级下册全册教案北师大版数学八年级下册教学计划教师 日期一、指导思想在教学中努力推进九年义务教育，落实新课改，体现新理念，培养创新精神。通过数学课的教学，使学生切实学好从事现代化建设和进一步学习现代化科 学技术所必需的数学基本知识和基本技能；努力培养学生的运算能力、逻辑思维 能力，以及分析问题和解决问题的能力。二、学情分析八年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直接影响到将来是 否能升学。优生不多，思想不够活跃，有少数学生不上进，思维跟不上。要在本 期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，充分发挥学生是学习的主体，教师 是教的主体作用，注重方法，培养能力。三、本学期教学内容分析本学期教学内容共计六章。第一章三角形的证明本章将证明与等腰三角形和直角三角形的性质及判定有关的一些结论，证明 线段垂直平分线和角平分线的有关性质，将研究直角三角形全等的判定，进一步 体会证明的必要性。第二章一元一次不等式和一元一次不等式组本章通过具体实例建立不等式，探索不等式的基本性质，了解一般不等式的 解、解集、解集在数轴上的表示，一元一次不等式的解法及应用；通过具体实例 渗透一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的内在联系.最后研究一元一次 不等式组的解集和应。第三章图形的平移与旋转本章将在小学学习的基础上进一步认识平面图形的平移与旋转，探索平移，旋转的性质，认识并欣赏平移，中心对称在自然界和现实生活中的应用。第四章分解因式本章通过具体实例分析分解因式与整式的乘法之间的关系揭示分解因式的 1北师大版数学八年级下册全册教案实质，最后学习分解因式的几种基本方法。第五章分式与分式方程本章通过分数的有关性质的回顾建立了分式的概念、性质和运算法则，并在 此基础上学习分式的化简求值、解分式方程及列分式方程解应用题，能解决简单 的实际应用问题。第六章平行四边形本章将研究平行四边形的性质与判定，以及三角形中位线的性质，还将探索 多边形的内角和，外角和的规律；经历操作，实验等几何发现之旅，享受证明之 美。四、主要措施1、面向全体学生。由于学生在知识、技能方面的发展和兴趣、特长等不尽相同，所以要因材施 教。在组织教学时，应从大多数学生的实际出发，并兼顾学习有困难的和学有余 力的学生。对学习有困难的学生，要特别予以关心，及时采取有效措施，激发他 们学习数学的兴趣，指导他们改进学习方法。帮助他们解决学习中的困难，使他 们经过努力，能够达到大纲中规定的基本要求，对学有余力的学生，要通过讲授 选学内容和组织课外活动等多种形式，满足他们的学习愿望，发展他们的数学才 能。2、重视改进教学方法，坚持启发式，反对注入式。教师在课前先布置学生预习，同时要指导学生预习，提出预习要求，并布置 与课本内容相关、难度适中的尝试题材由学生课前完成，教学中教师应帮助学生 梳理新课知识，指出重点和易错点，解答学生预习时遇到的问题，再设计提高题 由学生进行尝试，使学生在学习中体会成功，调动学习积极性，同时也可激励学 生自我编题。努力培养学生发现、得出、分析、解决问题的能力，包括将实际问 题上升为数学模型的能力，注意激励学生的创新意识。3、改革作业结构减轻学生负担。将学生按学习能力分成几个层次，分别布 置难、中、浅三个层次作业，使每类学生都能在原有基础上提高。4、课后辅导实行流动分层。5、运用新课程标准的理念指导教学，积极更新自己脑海中固有的教育理念，2北师大版数学八年级下册全册教案不同的教育理念将带来不同的教育效果。6、培养学生良好的学习习惯，陶行知说：教育就是培养习惯，有助于学生 稳步提高学习成绩，发展学生的非智力因素，弥补智力上的不足。7、开展课题的研究，课外调查，操作实践，带动班级学生学习数学，同时 发展这一部分学生的特长。8、进行个别辅导，优生提升能力，扎实打牢基础知识；对学困生，一些关 键知识，辅导他们过关，为他们以后的发展铺平道路。9、培养学生学习数学的良好习惯。四、教学进度第一章三角形的证明13课时L1等腰三角形4课时1.2直角三角形2课时1.3线段的垂直平分线2课时1.4角平分线2课时复习小节与检测3课时第二章一元一次不等式和一元一次不等式组12课时2.1 不等关系1课时2.2不等式的基本性质1课时2.3不等式的解集1课时2.4 一元一次不等式2课时2.5 一元一次不等式与一次函数2课时2.6 一元一次不等式组2课时复习小节与检测3课时第三章图形的平移与旋转10课时3.1图形的平移3课时3.2图形的旋转2课时3.3中心对称1课时3.4简单的图形设计1课时复习小节与检测3课时3北师大版数学八年级下册全册教案期中考试复习2课时第四章分解因式7课时4.1分解因式1课时4.2提公因式法2课时4.3公式法2课时4.4重心2课时复习小节与检测2课时第五章分式与分式方程11课时5.1认识分式2课时5.2分式的乘除法1课时5.3分式的加减法3课时5.4分式方程3课时复习 小节与检测2课时第六章平行四边形10课时4.1平行四边形的性质2课时4.2特殊的平行四边形的判定3课时4.3三角形的中位线1课时4.4多边形的内角和外角和2课时复习小节与检测2课时综合实践（一）生活中的“一次模型”1课时综合实践（二）平面图形的镶嵌1课时总复习剩余时间合计：授新：48课时，复习小节与检测19课时。4北师大版数学八年级下册全册教案五、培优辅差计划：优生辅导：对优生的辅导以课堂教学为主要形式，教师在课堂上要注意提问一些有针对 性、概括性较强、难度较大的问题，培养优生的思维的敏感性，并且，课后对他 们的作业布置也要有层次性，即让它们掌握扎实的基础知识，又要布置一些有一 定难度的思考题，让他们“吃饱”。鼓励他们要利用业余时间多练习、多思考、多做一些课本之外的题目，进一步训练优生思维的灵活性，通过各种形式进行比 赛，拓宽他们的知识面，开阔视野，让他们灵活地掌握知识。同时，在教学中要 结合本教材中的思考题进行对优生的辅导，要让他们养成刻苦钻研、勤于思考、勇于创新的品质，培养他们热爱数学的兴趣。后进生辅导：他们在学习上总的特点是上课不注意听讲，智力一般，学习依赖思想严重，没有独立思考勇于创新的意识，1、与家长的多联系，让家长协助教师教育和督促学生努力学习。2、课后多和差生交谈，使后进生愿意接近老师，经常和老师说说心里话，有利于老师对学生的了解，有利于做好后进的转化工作。3,开展互帮互学的活动，尽量给差生创设一个好的学习环境。4、分层次设计目标，给差生制订能够完成的目标，使其能真正感到成功的 喜悦。5、对差生多表扬其闪光点，激发其上进心，批评时要恰当得体，切忌不可 伤害，不能让其他同学嘲笑他们，嫌弃他们。6、利用课余时间帮助差生辅导，尽力使他们的成绩有所提高，让他们认识 到“我能行”。要在学习上，生活上关心每一个后进生的成长，使每个后进生真 正感到班集体的温暖，激发他们的求知欲。5北师大版数学八年级下册全册教案北师大版数学八年级下册全册教案教师 S期第一章三角形的证明【单元分析】本章是八年级上册第七章平行线的证明的继续，在“平等线的证明”一章中，我 们给出了 8条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论。运 用这些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。在这之前，学生已经对图形的性质及其相互关系进行了大量的探索，探索的同时也经 历过一些简单的推理过程，已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本 章进一步严格证明三角形有关定理打下了基础。【单元目标】1.知识与技能(1)等腰三角形的性质和判定定理；(2)直角三角形的性质定理和判定定理；2.过程与方法(1)会运用等腰三角形的性质和判定定理解决相关问题；(2)直角三角形的性质定理和判定定理解决简单的实际问题；3.情感态度与价值观(1)经历由情景引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践的过程，培养学数 学、用数学的意识与能力；(2)感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久 文化的思想感情。【单元重点】在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理。【单元难点】明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。【教学思路】1.对于已有命题的证明，教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说理过程，从中 获取严格证明的思路；对于新增命题，教学过程中要重视学生的探索、证明过程，关注该命 题与其他已有命题之间的关系；对于整章的命题，注意关注将这些命题纳入一个命题系统，关注命题之间的关系，从而形成对相关图形整体的认识。2.对于证明的方法，除了注重启发和回忆，还应注意关注证明方法的多样性，力图通过 学生的自主探索，获得多样的证明方法，并在比较中选择适当的方法。3.证明过程中注意揭示蕴含其中的数学思想方法，如转化、归纳、类比等。4.作为初中阶段几何证明的最后阶段，教学中应要求学生掌握综合法和分析法证明命题 的基本要求，掌握规范的证明表述过程，达成课程标准对证明表述的要求。6北师大版数学八年级下册全册教案【单元课时安排】课题课时1.1等腰三角形4课时1.2直角三角形2课时1.3线段的垂直平分线2课时1.4角平分线2课时回顾与思考2课时1.1 等腰三角形【教学目标】1.知识与技能理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定 理。2.过程与方法经历探索一发现一猜想一证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的 自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力。3.情感态度与价值观启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补 充的辩证关系。【教学重点】经历“探索一一发现一一猜想一一证明”的过程。【教学难点】用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论。【教学方法】讲授法【课时安排】4课时第一课时【教学目标】1.知识与技能能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理。2.过程与方法经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自 然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力。3.情感态度与价值观启发引导学生体会探索结论和证明结论,及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充 的辩证关系。【教学重点】探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法。【教学难点】7北师大版数学八年级下册全册教案【教学过程】明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。教学过程教学随笔第一环节：回顾旧知导出公理提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；3.两边夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)；5.三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：1.(推论)两角及其中一 角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS),并要求学生利用前面所提到的 公理进行证明；2.回忆全等三角形的性质。已知：如图，NA=ND,NB=NE,BC=EF.求证：ABCZZiDEF.证明：.NA=ND,NB=NE(已知)，又NA+NB+NC=180,ND+NE+NF=180(三角形内角和等于 180),.ZC=180-(ZA+ZB),ZF=180-(ZD+ZE),A ZC=ZF(等量代换)。又BC=EF(已知)，AAABCADEF(ASA)。第二环节：折纸活动探索新知在提问：“等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能 再次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些性质的证明 吗？”的基础上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程。具体操作中，可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人 为小组进行交流，互相弥补不足。第三环节：明晰结论和证明过程在学生小组合作的基础上，教师通过分析、提问，和学生一起完成以上 两个个性质定理的证明，注意最好让两至二个学生板演证明，其余学生挑选 其一证明.其后，教师通过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法，给学 生明晰证明过程。(1)等腰三角形的两个底角相等；(2)等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合第四环节：随堂练习巩固新知8北师大版数学八年级下册全册教案【板书设计】学生自主完成P4第2题：如图（图略），在4ABD中,C是BD上的一点，且 ACLBD,AC=BC=CD,（1）求证：4ABD是等腰三角形；（2）求NBAD的度数。第五环节：课堂小结让学生畅谈收获，包括具体结论以及其中的思想方法等。第六环节：布置作业课本第4页习题1.1第2、3题1.1等腰三角形（一）证明：:/人:/口，NB=NE（已知），又NA+NB+NC=180,ZD+ZE+ZF=180（三角形内角和等于 180）,.ZC=180-（ZA+ZB）,ZF=180-（ZD+ZE）,A ZC=ZF（等量代换）。又BC=EF（已知），AAABCADEF（ASA）。【教学反思】第二课时【教学目标】1.知识与技能进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性。2.过程与方法让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎 逻辑推理的能力。3.情感态度与价值观体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性。【教学重点】用面积法验证勾股定理。【教学难点】用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论.【教学过程】教学过程教学随笔9北师大版数学八年级下册全册教案第一环节：提出问题，引入新课在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等），你能发现其中一第二环节：自主探究在等腰三角形中自主作出一些线段（如角平分线、中线、高等），观察其 中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。你可能得到哪些相等的线段？你如何验证你的猜测？你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程；还可以有哪些证明方法？通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验 证的基础上探究出：等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等.并对这些命题给予多样的证明。如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方 法：已知：如图,在中,AB=AC,BD、CE是AABC的角平分线.求证：BD=CE.证法 1：VAB=AC,NABC=NACB（等边对等角）.ZABC,Z2=|ZABC,.Z1=Z2.在aBDC和ACEB中，ZACB=ZABC,BC=CB,N1=N2.,.BDCACEB（ASA）.BD=CE（全等三角形的对应边相等）证法2：证明：北师大版数学八年级下册全册教案，ZABC=ZACB.又.N3=N4.在4ABC和4ACE中，N3=N4,AB=AC,NA=NA.ABD ACE（ASA）.,.BD=CE（全等三角形的对应边相等）.第三环节：经典例题变式练习提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪 些线段相等？并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”：在课本图14的等腰三角形ABC中，（1）如果NABD、ZABC,NACENACB呢？由此，你能得到一个什么结 论？（2）如果 AD=|AC,AE=|AB,那么 BD=CE 吗?如果 AD=|AC,AE=|AB 呢？由此你得到什么结论？第四环节：拓展延伸，探索等边三角形性质提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊 性质：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60.已知：在 ABC 中，AB=BC=AC.求证：ZA=ZB=ZC=60.证明：在 ABC中，VAB=AC,，NB=NC（等边对等角）.同理：NC=NA,.NA=NB=NC（等量代换）.又./A+NB+NC=180（三角形内角和定理），AZA=ZB=ZC=60.学生一般都能得到这些定理的证明，能规范地写出对于“等边三角形三 个内角都相等并且每个内角都等于60”的证明过程:第五环节：随堂练习及时巩固在探索得到了等边三角形的性质的基础上，让学生 独立完成以下练习。1.如图，已知4ABC和4BDE都是等边三角形.北师大版数学八年级下册全册教案【板书设计】求证:AE=CD活动意图：在巩固等边三角形的性质的同时，进一步掌握综合证明法的 基本要求和步骤，规范证明的书写格式。第六环节：探讨收获课时小结本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段，并 由特殊结论归纳出一般结论，第七环节：布置作业课本第7页习题1.2第2、3题1.2等腰三角形（二）已知：在 AABC 中，AB=BC=AC.求证：ZA=ZB=ZC=60.证明：在 ABC中，VAB=AC,，NB=NC（等边对等角）.同理：NC=NA,，NA=NB=NC（等量代换）.XVZA+ZB+ZC=180（三角形内角和定理），.NA=NB=NC=60.【教学反思】第三课时【教学目标】1.知识与技能探索等腰三角形判定定理。2.过程与方法理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明。3.情感态度与价值观培养学生的逆向思维能力。【教学重点】理解等腰三角形的判定定理。【教学难点】了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。2北师大版数学八年级下册全册教案【教学过程】教学过程教学随笔第一环节：复习引入通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立 思考后再进交流。问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分 别是什么？问题2.我们是如何证明上述定理的？问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角 形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？第二环节：逆向思考，定理证明教师：上面，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问 题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获 得数学结论的一条途径.例如”等边对等角”，反过来成立吗?也就是：有两 个角相等的三角形是等腰三角形吗？生如图，在aABC中，ZB-ZC,要想证明AB=AC,A只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可 A以了./师你是如何想到的？/生由前面定理的证明获得启发，比如作BC的中线，/或作A的平分线，或作BC上的高，都可以把AkBC分成两 B1-1个全等的三角形.师很好.同学们可在练习本上尝试一下是否如此，然后分组讨论.生我们组发现，如果作BC的中线，虽然把AABC分成了两个三角形，但无法用公理和已证明的定理证明它们全等.因为我们得到的条件是两个三 角形对应两边及其一边的对角分别相等，是不能够判断两个三角形全等 的.后两种方法是可行的.师那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出 来.（教师可让两个同学在黑板上演示，并对推理证明过程讲评）（证明略）师我们用“反过来”思考问题，获得并证明了一个非常重要的定理一 一等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.这一定理 可以简单叙述为：等角对等边.我们不仅发现了几何图形的对称美，也发现 了数学语言的对称美.第三环节：巩固练习将书中的随堂练习提前到此，是为了及时巩固判定定理。引导学生进行 分析。已知：如图，NCAE是ABC的外角,ADBC且N1=N2.求证：AB=AC.证明：VADBC,/.N1=NB（两直线平行，同位角相等），Aft一DN2=NC（两直线平行，内错角相等）.A又.N1=N2,.ZB=ZC./.AB=AC（等角对等边）./BCB北师大版数学八年级下册全册教案第四环节：适时提问导出反证法我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题也获得了一个数 学结论.如果否定命题的条件，是否也可获得一个数学结论吗？我们一起来“想一想”：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边 也不相等.你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗？有学生提出：“我认为这个结论是成立的.因为我画了几个三角形，观 察并测量发现，如果两个角不相等，它们所对的边也不相等.但要像证明“等 角对等边”那样却很难证明，因为它的条件和结论都是否定的.”的确如此.像 这种从正面人手很难证明的结论，我们有没有别的证明思路和方法呢？我们来看一位同学的想法：如图，在4ABC中，已知NBW NC,此时AB 4与Ac要么相等，要么不相等./假设AB=AC,那么根据“等边对等角”定理可得NC=NB,但已知条件是NBW NC.NC=NB B 与已知条件“NBrNC”相矛盾，因此ABWAC/你能理解他的推理过程吗？B C再例如，我们要证明AABC中不可能有两个直角，也学 的证法，假设有两个角是直角，不妨设N A=900,B=180,但ABNA+NB+NC=180,“NA+NB=180”与“NA+NB+N C=180”相矛盾，因此AABC中不可能有两个直角.引导学生思考：上一道面的证法有什么共同的特点呢?引出反证法。都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证 明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立.这也是证明命题的一种 方法，我们把它叫做反证法.接着用“反过来”思考问题的方法获得并证明了等腰三角形的判定定理“等角对等边”，最后结合实例了解了反证法的含义.第五环节：拓展延伸活动过程与效果：在一节课结束之际，为培养学生思维的综合性、灵 活性特安排了 2个练习。一个是通过平行线、角平分线判定三角形的形状，再通过线段的转换求图形的周长。另一个是一个开放性的问题，考察学生多 角度多维度思考问题的能力。学生在独立思考的基础上再小组交流。1.如图，BD 平分/CBA,CD 平分NACB,且 MNBC,设 AB=12,AC=18,求AAMN的周长.2.现有等腰三角形纸片，如果能从一个角的顶点出发，将原纸片一次剪 开成两块等腰三角形纸片，问此时的等腰三角形的顶角的度数？第六环节：课堂小结(1)本节课学习了哪些内容？(2)等腰三角形的判定方法有哪几种？(3)结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系.(4)举例谈谈用反证法说理的基本思路北师大版数学八年级下册全册教案【板书设计】第七环节：布置作业1.1等腰三角形（三）已知：如图，NCAE是AABC的外角，ADBC且N1=N2.求证：AB=AC.证明：VADZ/BC,.N1=NB（两直线平行，同位角相等），/2=NC（两直线平行，内错角相等）.又./1=N2,.ZB=ZC.，AB=AC（等角对等边）.【教学反思】第四课时【教学目标】1.知识与技能理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30。角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。2.过程与方法经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展 抽象思维。3.情感态度与价值观在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。【教学重点】等边三角形判定定理的发现与证明。【教学难点】了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。【教学过程】教学过程教学随笔第一环节：提问问题，引入新课教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个 三角形是等腰三角形呢？从而引入新课。开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供了铺垫。（教师应给学生自主探索、思考的时间）第二环节：自主探索学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结北师大版数学八年级下册全册教案论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件,并引导学生总结出下表：性质判定的条件等腰三角形（含等边三 角形）等边对等角等角对等边“三线合一 即等腰 三角形顶角平分线，底边上的中线、高互 相重合有一角是60。等边三角形三个角 都相等，且每个角都 是60。三个角都相等的 三角形是等边三 角形经历定理的探究过程，即明确有关定理，同时提高学生的自主探究能力。第三环节：实际操作 提出问题活动内容：教师直接提出问题：我们还学习过直角三角形，今天我们研 究一个特殊的直角三角形：含30。角的直角三角形。拿出三角板，做一做：用含30。角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边 三角形吗？在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存 在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由.让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论：在直角三角形中，如果一个 锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边 等于斜边的一半.已知：如图，在 RtZiABC 中，ZC=90,ZBAC=30.1求证：BC=-AB.分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC至D,使CD=BC,连 接AD.证明：在aABC 中，ZACB=90,ZBAC=30ZB=60.延长BC至D,使CD=BC,连接AD（如图所示）.ZACB=90.ZACB=90vac=ac,A AABCAADC（SAS）.AB=AD（全等三角形的对应边相等）./.ABD是等边三角形（有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形）.1 1BC=-BD=-AB.第四环节：变式训练巩固新知直接提请学生思考刚才命题的逆命题：在 直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐 角等于30。吗?如果是，请你证明它.在师生分析的基础上，给出证明:1已知：如图，在 改 ABC 中，ZC=90,BC=/AB.北师大版数学八年级下册全册教案求证：ZBAC=30证明：延长BC至D,使CD=BC,连接AD.ZACB=90,ZACD=90.XVAC=AC.丁ACB 0ACD(SAS).AAB=AD.1VCD=BC,BC=-BD.-1又TBC=5 AB,，AB=BD.AAB=AD=BD,g|JAABD是等边三角形.，NB=60.在 RtZXABC 中，ZBAC=30.呈现例题，在师生分析的基础上，运用所学的新定理解答例题。等腰三角形的底角为15。，腰长为2a,求腰上的高CD的长.分析：观察图形可以 发现在RtAADC中,AC=2a 而NDAC是4ABC的一个 外角，而NDAC=x15=30,根据在直角三角形中，30。角所对的直角边是斜边的 一半，可求出CD.解：V ZABC=ZACB=15A ZDAC=ZABC+ZACB=15+15=301 1.CD%AC5 x2a=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它 所对的直角边等于斜边的一半）.第五环节：畅谈收获课时小结让学生对课堂学习进行小结，注意总结具体的知识、结论，以及解决问 题的方法和蕴含其中的思想，如分类讨论思想、逆向思维等。第六环节：布置作业【板书设计】1.1 等腰三角形（四）1已知：如图，在ABC41,ZC=90,BC=-AB.求证：ZBAC=30证明：延长BC至D,使CD=BC,连接AD.ZACB=90,.二 ZACD=90.XVAC=AC.,.ACBAACD(SAS).，AB=AD.1 VCD=BC,BC BD.37，AB=AD=BD,即4ABD是等边三角形.二.NB=60.在 RtABC 中，ZBAC=30.【教学反思】1.2 直角三角形【教学目标】i.知识与技能（1）掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立。2.过程与方法（1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维.（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力。3.情感态度与价值观体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数 学、用数学的兴趣。【教学重点】掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法。【教学难点】应用定理解决与直角三角形有关的问题。【教学方法】讲授法【课时安排】2课时第一课时【教学目标】1.知识与技能掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法。2.过程与方法进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。3.情感态度与价值观北师大版数学八年级下册全册教案在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。【教学重点】掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法。【教学难点】结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题 不一定成立。【教学过程】教学过程教学随笔第一环节：创设情境，引入新课通过问题1,让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质。问题1一个直角三角形房梁如图所示，其中BCAC,ZBAC=30,AB=10 cm,CB，AB,BC_LACj垂足分别是耳、C，那么BC的长是多少？BC1呢?解：在 RtaABC 中，ZCAB=30,AB=10 cm,1 1 BC=2 AB=2 xl0=5cm.CBdAB,，ZB+ZBCB=90 1 1又:NA+NB=90。AZBCB,=NA=3011 1在 RQACB中，BBL BC,x5=.,.ABl=AB=BB=10-2.5=7.5(cm).在 RgCAB市，NA=30。11 B/2 AB=2 x 7.5=3.75（cm）.解决这个问题，主要利用了上节课已经证明的“30。角的直角三角形的 性质”.由此提问：”一般的直角三角形具有什么样的性质呢？”从而引入勾 股定理及其证明。教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.如果利用公理 及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗？请同学们打开课本P18,阅读读一读，了解一下利用教科书给出的公 理和推导出的定理，证明勾股定理的方法.第二环节：讲述新课阅读完毕后，针对“读一读”中使用的两种证明方法，着重讨论第一种,第二种方法请有兴趣的同学课后阅读.（1）.勾股定理及其逆定理的证明.已知:如图，在ZiABC 中,NC=90。，BC=a,AC=b,AB=c.求证：a2+b2=C2.证明：延长CB至D,使BD=b,作NEBD=NA,并 取 BE=c,连接 ED、AE（如图）,则ABCZaBED.，NBDE=90。，ED=a（全等三角形的对应角相等，对 应边相等）.四边形ACDE是直角梯形.B北师大版数学八年级下册全册教案1 1，s 梯形 acde=5(a+b)(a+b)=(a+b)2.AZ ABE=180 -(ZABC+ZEBD)=180-90=90 AB=BE.二.a2+b2=c2教师用多媒体显示勾股定理内容，用课件演示勾股定理的条件和结论，并强调.具体如下：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平 方.反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形的结论.你能证明此结 论吗？师生共同来完成.已知：如图：在aABC中，AB2+AC2=BC2 求证：aABC是直角三角形.分析：要从边的关系，推出NA=90是 不容易的，如果能借助于4ABC与一个直角 三角形全等，而得到NA与对应角（构造的三 角形的直角）相等，可证.证明：作 RSABU,使NA=90,AB=AB,AC、AC（如图），则AB2+AC2.（勾股定理）.AB2+AC2=BC2,AB=AB,AC.BC2=BC2.BC=Bt.,.ABCAABV（sss）.NA=NA=90（全等三角形的对应角相等）.因此，ABC是直角三角形.总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么 这个三角形是直角三角形.（2）.互逆命题和互逆定理.观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？在前面的学 习中还有类似的命题吗？通过观察，学生会发现：上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定 理的结论，结论是第二个定理的条件.这样的情况，在前面也曾遇到过.例如两直线平行，内错角相等“，交 换条件和结论，就得到“内错角相等，两直线平行又如在直角三角形中，23北师大版数学八年级下册全册教案如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边就等于斜边的一半，.交换此定 理的条件和结论就可得“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30。”。第三环节：议一议观察下面三组命题：学生以分组讨论形式进行，最后在教师的引导下得 出命题与逆命题的区别与联系。让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联系，要能够清晰地 分别出一个命题的题设和结论，能够将一个命题写出“如果；那么”的形式，以及能够写出一个命题的逆命题。活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要 先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结。活动时可以先让学生观察下面 三组命题：如果两个角是对顶角，那么它们相等.如果两个角相等，那么它们是对顶角.如果小明患了肺炎，那么他一定发烧.如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.三角形中相等的边所对的角相等.三角形中相等的角所对的边相等.上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流.不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的 结论是第一个命题的条件.在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条 件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题.再来看议一议”中的三组命题，它们就称为互逆命题，如果称每组的第 一个命题为原命题，另一个则为逆命题.请同学们判断每组原命题的真假.逆 命题呢？在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题.在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题.在第三组中，原命题和逆命题都是真命题.由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题.第四环节：想一想要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把结论 变换成条件，条件变换成结论，就得到了逆命题.请学生写出命题如果两个有理数相等，那么它们的平方相等，的逆命题 吗?它们都是真命题吗？从而引导学生思考：原命题是真命题吗？逆命题一定是真命题吗？并通 过具体的实例说明。如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们 为互逆定理.其中逆命题成为原命题（即原定理）的逆定理.能举例说出我们已学过的互逆定理？如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，两直线平行，内错角相等”与“内 错角相等，两直线平行”.全等三角形对应边相等和三边对应相等的三角21北师大版数学八年级下册全册教案【板书设计】形全等、”等边对等角和“等角对等边等.第五环节：随堂练习说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假四边形是多边形；(2)两直线平行，内旁内角互补；(3)如果 ab=0,那么 a=0,b=0分析互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，尤其是对以“如果那么形式给出的命题，写出其逆命题较为容易，但 对于那些不是以这种形式给出的命题，叙述其逆命题有一定困难.可先分析 命题的条件和结论，然后写出逆命题.解：(1)多边形是四边形.原命题是真命题，而逆命题是假命题.(2)同旁内角互补，两直线平行.原命题与逆命题同为正.(3)如果a=0,6=0,那么ab=0.原命题是假命题，而逆命题是真命题.第六环节：课时小结这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中 的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道，原命题成立，其逆 命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步发展了演绎推理能力.第七环节：课后作业习题L 5第1、2、3、4题1.2直角三角形(一)已知：如图，在aABC 中，NC=90。，BC=a,AC=b,AB=c.求证：a2+b2=C2.证明：延长CB至D,使BD=b，作NEBD=NA,并取BE=c,连接ED、AE(如图)，则 ABCABED.NBDE=90。，ED=a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)./.四边形ACDE是直角梯形.1 1二S 梯形 acde=5(a+b)(a