十二章-全等三角形.doc

第十二章 全等三角形
第十二章全等三角形
单元（章）教学计划
1、地位与作用：
本章是在七年级学过线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识的基础上，进一步学习全等三角形，全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学会如何利用全等三角形进行证明，让学生证明三角形两条对角线的交点到三角形三边的距离相等，并进一步让学生得出这个交点在第三条角平分线上，即三角形的三条角平分线交于一点。这也为学生今后在“圆”一章学习内心作好了准备，也为今后更广泛的应用数学建模的思想方法奠定基础，具有在代数学中承上启下的作用；渗透建立数学模型，分类讨论等数学思想。
2、目标与要求：
知识与技能
(1)了解全等三角形概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素。
(2)探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。
(3)了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明。
 　 过程与方法
(1)学习全等三角形的概念和性质，探索全等三角形的条件和性质。
(2)掌握怎样找全等三角形的对应元素，能结合一些具体问题，依照全等三角形的性质，完成线段和角的相等的推理，线段鱼角的计算问题。
(3) 利用三角形全等的条件及角的平分线的性质，初步掌握经过一步一步的推理，最后证明结论正确的方法。
 　 情感态度与价值观
把生产实际问题抽象转化为数学问题，渗透转化思想，培养抽象、概括、分析问题和解决问题的能力。
3、重点与难点：
重点是：三角形全等的条件，证明的基本过程，掌握证明的格式。
难点是：理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式。
4、教法与学法：
根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，主要采取教师启发引导，学生自主探究，分类比较法，统一归纳法，自学讨论法，小组互动法等教学方法.教学过程中，创设适当的教学情境，证明的方向明确，过程简单，书写容易规范化，引导学生独立思考、共同探究。
5、活动步骤：
一、创设情境、导入新课； 二、探索新知 合作交流； 三、应用迁移，提高巩固 练习；四、总结反思，拓展升华；五、作业布置
6、时间安排：
11.1全等三角形 1课时
11.2全等三角形的判定 5课时
11.3角的平分线的性质 2课时
数学活动 复习与小结 2课时

12．1全等三角形
【教学目标】
知识与技能目标:
掌握怎样的两个图形是全等形，了解全等形，了解全等三角形的概念及表示方法。知道全等三角形有关概念，掌握寻找全等三角形中对应元素的基本方法。掌握全等三角形的性质。通过演译变换两个重合的三角形，呈现出它们之间各种不同的位置关系，从中了解并体会图形的变换思想，逐步培养动态研究几何意识。初步会用全等三角形的性质进行一些简单的计算。
过程与方法目标：
围绕全等三角形的对应元素这一中心，通过观察、操作、想象、交流、等展开教学活动。设计一系列问题，给出三组组合图形，让学生找出它的对应顶点、对应边、对应角，进面引入本节问题的主题，强化了本课的中心问题-----全等三角形的性质，经历理解性质的过程。运用多媒体演示图形的位置变化，使学生认识到图形具有相对运动能力。变换两个重合的三角形的位置，使它们呈现各种不同的位置关系，让学生从中了解、体会图形的变换思想，逐步培养学生动态研究几何图形的意识。
情感与态度目标:
学生在富有趣味的活动中进行全等三角形的学习，提供学生发现规律的空间，激发学生学习兴趣。给学生以充分的思考时间，有利于不同层次学生的学习。
教学重点：全等三角形的性质
教学难点：寻找全等三角形中的对应元素
教学方法:采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法。
课前准备 多媒体课件
【教学教程】
一、创设情境，引入新课
1.电脑显示
问题：各组图形的形状与大小有什么特点？
一般学生都能发现这两个图形是完全重合的。
归纳：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
2.学生动手操作
⑴在纸板上任意画一个三角形ABC，并剪下，然后说出三角形的三个角、三条边和每个角的对边、每个边的对角。
⑵问题：如何在另一张纸板再剪一个三角形DEF，使它与△ABC全等？
3.板书课题：全等三角形
定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
“全等”用“≌”表示，读着“全等于”
如图中的两个三角形全等，记作：△ABC≌△DEF
二、 探究
全等三角形中的对应元素
1. 问题：你手中的两个三角形是全等的，但是如果任意摆放能重合吗？该怎样做它们才能重合呢？
2．学生讨论、交流、归纳得出：
⑴.两个全等三角形任意摆放时，并不一定能完全重合，只有当把相同的角重合到一起（或相同的边重合到一起）时它们才能完全重合。这时我们把重合在一起的顶点、角、边分别称为对应顶点、对应角、对应边。
⑵.表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点字母写在对应的位置上，这样便于确定两个三角形的对应关系。
全等三角形的性质
1.观察与思考：
寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边
有什么关系？对应角呢？
    全等三角形的性质：
     全等三角形的对应边相等．
  全等三角形的对应角相等．
2.用几何语言表示全等三角形的性质
如图：∵∆ABC≌ ∆DEF
　　∴AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF（全等三角形对应边相等）
　　　∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F（全等三角形对应角相等）
探求全等三角形对应元素的找法
1.动画（几何画板）演示
(1)图中的各对三角形是全等三角形，怎样改变其中一个三角形的位置，使它能与另一个三角形完全重合?
归纳：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻折、旋转的方法．
(2)说出每个图中各对全等三角形的对应边、对应角
归纳：从运动角度可以很轻松解决找对应元素的问题．可见图形转换的奇妙．
2. 动画（几何画板）演示
图中的两个三角形通过怎样的变换才能重合？用式子表示全等关系.并说出其中的对应关系.

C
D
E
⑴

⑵
⑶

3. 归纳：找对应元素的常用方法有两种：
  （1）从运动角度看
    a．翻折法：一个三角形沿某条直线翻折与另一个三角形重合，从而发现对应元素．
    b．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．
    c．平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．
（2）根据位置元素来推理
a.有公共边的，公共边是对应边；
b.有公共角的，公共角是对应角；
c.有对顶角的，对顶角是对应角；
d.两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边；
e.两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角；
三、课堂练习
练习1.△ABD≌△ACE，若∠B＝25°, BD＝6㎝，AD＝4㎝，
你能得出△ACE中哪些角的大小，哪些边的长度吗？为什么 ？
练习2.△ABC≌△FED
⑴写出图中相等的线段，相等的角；
⑵图中线段除相等外，还有什么关系吗？请与同伴交
流并写出来.
四、课堂小结
通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，探索了找两个全等三角形对应元素的方法，并且利用性质解决简单的问题。
找对应元素的常用方法有三种：
（一）从运动角度看
1．平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．
2．翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．
3．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．
（二）根据位置元素来推理
1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边．
2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．
（三）根据经验来判断
1. 大边对应大边，大角对应大角
2. 公共边是对应边，公共角是对应角
五、课堂作业
教科书习题12.1第3、5、6 题．
六、板书设计 12．1 全等三角形
一、概念
二、全等三角形的性质
三、性质应用 例题
四、小结：找对应元素的方法
运动法：翻折、旋转、平移．
位置法：对应角→对应边，对应边→对应角．
经验法：大边→大边，大角→大角．公共边是对应边，公共角是对应角。

12.2 三角形全等的判定
第1课时
【教学目标】：
知识与技能：掌握三角形全等的“边边边”的条件；了解三角形的稳定性．
过程与方法：经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．
情感态度与价值观：让学生在自主探索三角形全等的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方法和享受良好的情感体验．让学生体验数学来源于生活，又服务于生活的辩证思想．
教学重点:三角形全等的条件．
　　教学难点：寻求三角形全等的条件．
教学方法:采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法。
课前准备 多媒体课件
【教学过程】：
一、创设情境，引入新课
[师]出示投影片一，回忆前面研究过的全等三角形．
已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．
[生]图中相等的边是：AB=A′B、BC=B′C′、AC=A′C．
相等的角是：∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′．
[师]很好，老师这里有一个三角形纸片，你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？
[生]能，先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等．
[师]这位同学利用了全等三角形的定义来作图．请问，是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题．
出示投影片二
1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？
2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．
①三角形一内角为30°，一条边为3cm．
②三角形两内角分别为30°和50°．
③三角形两条边分别为4cm、6cm．
学生活动：分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流．
结果展示：
1．只给定一条边时：

只给定一个角时：

2．给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边．

可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．
[师]那么，给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？
[生]四种可能．即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边．
[师]在大家刚才的探索中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．
二 、探究
出示投影片三
做一做：
已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？
学生活动：
1．讨论作法．
2．比较、验证结果．
3．探究、发现、总结规律．
教师活动：
教师可参与到学生的制作与讨论中，及时发现问题，因势利导．
活动结果展示：
1．作图方法：
先画一线段AB，使得AB=6cm，再分别以A、B为圆心，8cm、10cm为半径画弧，两弧交点记作C，连结线段AC、BC，就可以得到三角形ABC，使得它们的边长分别为AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm．
2．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合．这说明这些三角形都是全等的．
3．特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC，根据前面作法，同样可以作出一个三角形A/B/C/，使AB=A/B/、AC=A/C/、BC=B/C/．将△A/B/C/剪下，发现两三角形重合．这反映了一个规律：
三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．
[师]用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．请看例题．
三、例题
[例]如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．
求证：△ABD≌△ACD．
[师生共析]要证△ABD≌△ACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等．
证明：因为D是BC的中点
所以BD=DC
在△ABD和△ACD中

所以△ABD≌△ACD（SSS）．
生活实践介绍：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．
四、课时小结
本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．
五、布置作业
必做题：教科书习题12.2第1、9 题；
选做题：如图，△ABC 和△EFD 中，AB =EF， AC =ED，点B，D，C，F 在一条直线上.（1）添加一个条件，由“SSS”可判定△ABC≌△EFD；（2）在（1）的基础上， 求证：AB∥EF

六、板书设计
12.1 三角形全等判定（1）
一、复习导入
二、尝试活动 探索新知
三、应用新知 解决问题
四、总结提高

12.2 三角形全等的条件
第2课时
【教学目标】：
知识与技能：理解三角形全等的“边角边”的条件．掌握三角形全等的“SAS”条件，了解三角形的稳定性．能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题．
过程与方法：经历探究全等三角形条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学规律的过程．掌握三角形全等的“边角边”条件．在探索全等三角形条件及其运用过程中，培养有条理分析、推理，并进行简单的证明．
情感态度与价值观：通过画图、思考、探究来激发学生学习的积极性和主动性，并使学生了解一些研究问题的经验和方法，开拓实践能力与创新精神．
教学重点:三角形全等的条件．
　　教学难点：寻求三角形全等的条件．
教学方法:采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法。
课前准备 多媒体课件
【教学过程】：
一、创设情境，导入新课
[师]在上节课的讨论中，我们发现三角形中只给一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．给出三个条件时，有四种可能，能说出是哪四种吗？
[生]三内角、三条边、两边一内角、两内角一边．
[师]很好，这四种情况中我们已经研究了两种，三内角对应相等不能保证两三角形一定全等；三条边对应相等的两三角形全等．今天我们接着研究第三种情况：“两边一内角”．
（一）问题：如果已知一个三角形的两边及一内角，那么它有几种可能情况？
[生]两种．
1．两边及其夹角．
2．两边及一边的对角．
[师]按照上节方法，我们有两个问题需要探究．
（二）探究1：先画一个任意△ABC，再画出一个△A/B/C/，使AB= A/B/、AC=A/C/、∠A=∠A/（即保证两边和它们的夹角对应相等）．把画好的三角形A/B/C/剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
探究2：先画一个任意△ABC，再画出△A/B/C/，使AB= A/B/、AC= A/C/、∠B=∠B/（即保证两边和其中一边的对角对应相等）．把画好的△A/B/C/剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
学生活动：
1．学生自己动手，利用直尺、三角尺、量角器等工具画出△ABC与△A/B/C/，将△A/B/C/剪下，与△ABC重叠，比较结果．
2．作好图后，与同伴交流作图心得，讨论发现什么样的规律．
教师活动：
教师可学生作完图后，由一个学生口述作图方法，教师进行多媒体播放画图过程，再次体会探究全等三角形条件的过程．
二 、探究
操作结果展示：
对于探究1：
画一个△A/B/C/，使A/B/=AB，A/C/=AC，∠A/=∠A．
1．画∠DA/E=∠A；
2．在射线A/D上截取A/B/=AB．在射线A/E上截取A/C/=AC；
3．连结B/C/．
将△A/B/C/剪下，发现△ABC与△A/B/C/全等．这就是说：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边角边”或“SAS”）．
播放课件：
两边和它们的夹角对应角相等的两个三角形全等．简称“边角边”和“SAS”．
如图，在△ABC和△DEF中，

对于探究2：
学生画出的图形各式各样，有的说全等，有的说不全等．教师在此可引导学生总结画图方法：
1．画∠DB/E=∠B；
2．在射线B/D上截取B/A/=BA；
3．以A/为圆心，以AC长为半径画弧，此时只要∠C≠90°，弧线一定和射线B/E交于两点C/、F，也就是说可以得到两个三角形满足条件，而两个三角形是不可能同时和△ABC全等的．
播放课件：
也就是说：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．所以它不能作为判定两三角形全等的条件．
归纳总结：
“两边及一内角”中的两种情况只有一种情况能判定三角形全等．即：
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．（简记为“边角边”或“SAS”）
三、应用举例
[例]如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA．连结BC并延长到E，使CE=CB．连结DE，那么量出DE的长就是A、B的距离．为什么？
[师生共析]如果能证明△ABC≌△DEC，就可以得出AB=DE．
在△ABC和△DEC中，AC=DC、BC=EC．要是再有∠1=∠2，那么△ABC与△DEC就全等了．而∠1和∠2是对顶角，所以它们相等．
证明：在△ABC和△DEC中

所以△ABC≌△DEC（SAS）
所以AB=DE．
例2　某同学不小心把一块三角形的玻璃从两个顶点处打碎成两块（如图），现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃．请问如果只准带一块碎片，应该带哪一块去，能试着说明理由吗？
利用今天所学“边角边”知识，带1号的那块．因为它完整地保留了两边及其夹角，一个三角形两条边的长度和夹角的大小确定了，这个三角形的形状、大小就确定下来了．

四、练习
1. 已知： AD∥BC，AD＝ CB(图3)．
求证：△ADC≌△CBA．
2.已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2(图4)．
求证：△ABD≌△ACE．
五、课堂小结
　　1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．
　　2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理．
六、布置作业
教科书习题12.2第2、3、10题．

12.2 三角形全等判定（2）
一、复习导入
二、尝试活动 探索新知
三、应用新知 解决问题
四、总结提高

七、板书设计

12.2三角形全等的判定
第3课时
【教学目标】：
知识与技能：理解三角形全等的条件：角边角、角角边．三角形全等条件小结．掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．
过程与方法：经历探究全等三角形条件的过程，进一步体会操作、归纳获得数学规律的过程．掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．
情感态度与价值观：通过画图、探究、归纳、交流，使学生获得一些研究问题的经验和方法，发展实践能力和创新精神
教学重点:已知两角一边的三角形全等探究．
　　教学难点：灵活运用三角形全等条件证明．
教学方法:采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法。
课前准备 多媒体课件
【教学过程】：
一、创设情境，导入新课
1．复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？
三个角、三个边、两边一角、两角一边．
（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？
三种：①定义；②SSS；③SAS．
2．[师]在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？
二 、探究
[师]三角形中已知两角一边有几种可能？
[生]1．两角和它们的夹边．
2．两角和其中一角的对边．
做一做：
三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？
学生活动：自己动手操作，然后与同伴交流，发现规律．
教师活动：检查指导，帮助有困难的同学．
活动结果展示：
以小组为单位将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．
规律：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
[师]我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC，能不能作一个△A/B/C/，使∠A=∠A/、∠B=∠B/、AB= A/B/呢？
[生]能．
学生口述画法，教师进行多媒体课件演示，使学生加深对“ASA”的理解．
[生]①先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出AB的边长．
②画线段A/B/，使A/B/=AB．
③分别以A/、B/为顶点，A/B/为一边作∠D A/B/、∠EB/A，使∠D/AB=∠CAB，∠EB/A/=∠CBA．
④射线A/D与B/E交于一点，记为C/
即可得到△A/B/C′．
将△A/B/C′与△ABC重叠，发现两三角形全等．
[师]于是我们发现规律：
两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
这又是一个判定三角形全等的条件．
[生]在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？
[师]你提出的问题很好．温故而知新嘛，请同学们来验证这种想法．
三、练习
如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
证明：∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°
∠A=∠D，∠B=∠E
∴∠A+∠B=∠D+∠E
∴∠C=∠F
在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（ASA）．
于是得规律：
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．
四、例题
[例1]如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．
求证：AD=AE．
[师生共析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中，所以要证AD=AE，只需证明△ADC≌△AEB即可．
学生写出证明过程．
证明：在△ADC和△AEB中

所以△ADC≌△AEB（ASA）
所以AD=AE．
[例2]　如图，小明、小强一起踢球，不小心把一块三角形的装饰玻璃踢碎了，摔成了3 块，两人决定赔偿．你能告诉他们只带其中哪一块去玻璃店，就可以买到一块完全一样的玻璃吗？

[师]请同学们把三角形全等的判定方法做一个小结．
学生活动：自我回忆总结，然后小组讨论交流、补充．
有五种判定三角形全等的条件．
1．全等三角形的定义
2．边边边（SSS）
3．边角边（SAS）
4．角边角（ASA）
5．角角边（AAS）
推证两三角形全等，要学会联系思考其条件，找它们对应相等的元素，这样有利于获得解题途径．
练习：图中的两个三角形全等吗？请说明理由．

五、课堂小结
　 我们有五种判定三角形全等的方法：
　　1．全等三角形的定义
　　2．判定定理：边边边（SSS）  边角边（SAS）  角边角（ASA）  角角边（AAS）
六、布置作业
习题12.2第4、5、11、12题．
12.2 三角形全等判定（3）
一、复习导入
二、尝试活动 探索新知
三、应用新知 解决问题
四、总结提高

七、板书设计

12.2三角形全等的判定
第4课时
【教学目标】：
知识与技能：直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”．
过程与方法：经历探究直角三角形全等条件的过程，体会一般与特殊的辩证关系．掌握直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．
情感态度与价值观：通过画图、探究、归纳、交流使学生获得一些研究问题的经验和方法．发展实践能力和创新精神
教学重点:运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
　　教学难点：熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学方法:采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法。
课前准备 多媒体课件
【教学过程】：
一、提出问题，复习旧知
1、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、
2、如图，Rt△ABC中，直角边是 、 ，斜边是
3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，
（1）若∠A=∠D，AB=DE，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（2）若∠A=∠D，BC=EF，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（3）若AB=DE，BC=EF，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）
根据 （用简写法）
二 、创设情境，导入新课
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．（播放课件）
（1）你能帮他想个办法吗？
（2）如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
（1）[生]能有两种方法．
第一种方法：用直尺量出斜边的长度，再用量角器量出其中一个锐角的大小，若它们对应相等，根据“AAS”可以证明两直角三角形是全等的．
第二种方法：用直尺量出不被遮住的直角边长度，再用量角器量出其中一个锐角的大小，若它们对应相等，根据“ASA”或“AAS”，可以证明这两个直角三角形全等．
可是，没有量角器，只有卷尺，那么他只能量出斜边长度和不被遮住的直角边边长，可是它们又不是“两边夹一角的关系”，所以我没法判定它们全等．
[师]这位师傅量了斜边长和没遮住的直角边边长，发现它们对应相等，于是他判断这两个三角形全等．你相信吗？
三、探究
做一做：
已知线段AB=5cm，BC=4cm和一个直角，利用尺规做一个直角三角形，使∠C=90°，AB作为斜边．做好后，将△ABC剪下与同伴比较，看能发现什么规律？
（学生自主完成后，与同伴交流作图心得，然后由一名同学口述作图方法．老师做多媒体课件演示，激发学习兴趣）．
作法：
第一步：作∠MCN=90°．
第二步：在射线CM上截取CB=4cm．
第三步：以B为圆心，5cm为半径画弧交射线CN于点A．
第四步：连结AB．
就可以得到所想要的Rt△ABC．（如下图所示）
将Rt△ABC剪下，同一组的同学做的三角形叠在一起，发现这些三角形全等．
可以验证，对一般的直角三角形也有这样的规律．
探究结果总结：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”和“HL”）．
[师]你能用几种方法说明两个直角三角形全等呢？
[生]直角三角形也是三角形，一般来说，可以用“定义、SSS、SAS、ASA、AAS”这五种方法，但它又具有特殊性，还可以用“HL”的方法判定．
[师]很好，两直角三角形中由于有直角相等的条件，所以判定两直角三角形全等只须找两个条件，但这两个条件中至少要有一个条件是一对对应边才行．
四、例题：
[例1]如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD． 求证：BC=AD．
分析：BC和AD分别在△ABC和△ABD中，所以只须证明△ABC≌△BAD，就可以证明BC=AD了．
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD
∴∠D=∠C=90°
在Rt△ABC和Rt△BAD中

∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）
∴BC=AD．
[例2]有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两滑梯倾斜角∠ABC和∠DFE有什么关系？
[师生共析]∠ABC和∠DFE分别在Rt△ABC和Rt△DEF中，已知条件中这两个三角形又有一些对应的等量关系，所以可以证明这两个三角形全等得到对应角相等，显然，可以看出这两个角不相等，它们又是直角三角形中的锐角，是不是互余呢？我们试试看．
证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中

所以Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
∴∠ABC=∠DEF
又∵∠DEF+∠DFE=90°
∴∠ABC+∠DFE=90°
即两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余．
五、课时小结
　　至此，我们有六种判定三角形全等的方法：
　　1．全等三角形的定义 2．边边边（SSS） 3．边角边（SAS）
　　4．角边角（ASA） 5.角角边（AAS） 6.HL（仅用在直角三角形中）
六、布置作业
教科书习题12.2第6、7、8题．
12.2 三角形全等判定（4）
一、复习导入
二、尝试活动 探索新知
三、应用新知 解决问题
四、总结提高

七、板书设计

12.2三角形全等的判定
第5课时
【教学目标】：
知识与技能：1．掌握全等三角形的判定方法．
　 2．能结合已知条件合理选用某种判定方法证明两个三角形全等．
过程与方法：经历探究全等三角形条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学规律的过程．掌握三角形全等的条件．在探索全等三角形条件及其运用过程中，培养有条理分析、推理，并进行简单的证明．
情感态度与价值观：通过画图、思考、探究来激发学生学习的积极性和主动性，并使学生了解一些研究问题的经验和方法，开拓实践能力与创新精神．
教学重点: 根据已知条件选择合适的判定方法证明两个三角形全等．
　　教学难点：根据已知条件选择合适的判定方法证明两个三角形全等．
教学方法:采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法。
课前准备 多媒体课件
【教学过程】：
一、知识梳理
问题1　请同学们回答下列问题：
（1）判定两个三角形全等的方法有哪些？
（2）判定两个直角三角形全等的方法有哪些？
（3）在三角形全等的判定方法中，至少要几个条件？
二、证题思路建构
　问题2　已知：如图，
（1）当AB =DC时， 再添一个条件证明△ABC≌△DCB，
这个条件可以是 .
（2）当∠A =∠D 时， 再添一个条件证明△ABC ≌
△DCB，这个条件可以是 .

分析：在△ABC 和△DCB 中，已经具备了什么条件？
（1）若要以“SAS”为依据，还缺条件 ＿＿＿＿；
（2）若要以“ASA ”为依据，还缺条件＿＿＿＿；
（3）若要以“AAS ”为依据，还缺条件＿＿＿＿；
（4）若要以“SSS ”为依据，还缺条件＿＿＿＿．
证明两个三角形全等的基本思路
（1）已知两边；
（2）已知一边一角；
（3）已知两角．
三、典型例题
例1　已知：如图，
（1）若AB =DC，∠A =∠D，你能证明哪两个三角形全等？
（2）若AB =DC，∠A =∠D =90°，你能证明哪两个三角形全等？

　变式1　已知：如图，∠ABC =∠DCB，BD、CA 分别是∠ABC、∠DCB 的平分线，求证：AB = DC.
　变式2　已知：如图，AB =DC，AC =DB．求证： EA =ED.
变式3　已知：如图，AB =DC，AC =BD．求证： EA =ED.

变式4　如图，延长BA、CD 交于点P：
（1）若PA =PD，PB =PC．求证：BE =CE；
（2）若PA =PD，∠B =∠C．求证： BE =CE；

四、小结：
证两三角形全等的方法
（1）先确定要证哪两个三角形全等；
（2）在图中标出相等的边和角（公共边、公共角以及对顶角都是隐含条件）；
（3）分析已知条件，欠缺条件，选择判断方法．
五、布置作业
教科书复习题12第3、4、7、8、9 题．

12.3 角平分线
第1课时
【教学目标】：
知识与技能：理解角平分线的画法．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．会用尺规作一个已知角的平分线．
过程与方法：在探索角的平分线的画法和性质中培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心。
情感态度与价值观：在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．
教学重点:利用尺规作已知角的平分线。。
教学难点:角的平分线性质的应用。
教学方法:采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法。
课前准备 多媒体课件
【教学过程】：
一、创设情境、导入新课