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第二章：点、线、面之间的位置关系【知识要点】1. 点、线、面之间的位置关系 四个公理公理1： 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号表示： 。公理2： 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理3： 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线。 符号表示： 。公理4： 平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行线的传递性）。 符号表示： 直线之间的位置关系：（1）平行：在同一平面内，且没有交点。（2）相交：在同一平面内，有且只有一个交点。（3）异面：不同在任何一个平面内，没有公共点 定理： 空间中如果有两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 直线与平面之间的位置关系 （1）直线在平面内-有无数个公共点（2）直线与平面相交-有且只有一个公共点（3）直线与平面平行-没有公共点注：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 平面与平面之间的位置关系（1）两个平面平行-没有公共点 （2）两个平面相交-有一条公共直线2. 直线、平面平行的判定与性质 直线与平面平行 （1)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 符号表示： . （2）性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面 的交线与该直线平行 符号表示： 平面与平面平行 （1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示： . （2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： 。 3. 直线、平面垂直的判定与性质 直线与平面垂直 （1）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 符号表示：。 （2）性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行。 符号表示： 。 平面与平面垂直 （1）判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 符号表示：。 （2）性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 符号表示：。针对性练习题一、选择题1、下列说法正确的是 A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形 C.梯形一定是平面图形 D.平面和平面有不同在一条直线上的三个交点2、垂直于同一条直线的两条直线一定 A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能3、下列四个结论：两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。两条直线没有公共点，则这两条直线平行。两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。其中正确的个数为（ ） A B C D4、已知，则直线与直线的位置关系是 （ ） A平行； B相交或异面； C异面； D平行或异面。5、下列叙述中错误的是 （ ） A若且，则； B三点确定一个平面； C若直线，则直线与能够确定一个平面； D若且，则。6、两条不平行的直线，其平行投影不可能是 （ ） A两条平行直线； B一点和一条直线； C两条相交直线； D两个点。7、在下列关于直线、与平面、的结论中，正确的是（ ）A若，且，则 B若，且，则C若，且，则 D若，且，则8、已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：若；若； 如果相交；若其中正确的命题是 （ ） A B C D9、设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若，则 若，则 若，则 若，则 其中正确命题的序号是 ( ) A和 B和 C和 D和10、下列说法不正确的是（ ） A空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B同一平面的两条垂线一定共面； C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内； D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.11、四面体中，若，则点在平面内的射影点是 的 （ ） A外心； B内心； C 垂心； D重心。12、直三棱柱中，各侧棱和底面的边长均为，点是上任意一点，连接，则三棱锥的体积为（ ）A B C D二、填空题13、已知是两条异面直线，那么与的位置关系 。14、在三棱锥中,底面,则点到平面的距离是 。15、在长方体，底面是边长为的正方形，高为，则点到截面的距离为 。 16、已知为直线，为平面，有下列三个命题：（1） ，则； （2） ，则；（3） ，则； （4） ，则； 其中正确命题是 。三、解答题17、 如图：是平行四边形平面外一点，分别是上的点，且=。 求证：平面18、已知四棱锥的三视图如下图所示，是侧棱上的动点.(1) 求四棱锥的体积；ABCDPE(2) 是否不论点在何位置，都有？证明你的结论；19、如图，在正方体中，（1）画出二面角的平面角；（2）求证：面面20、如图，已知平面，平面，为等边三角形，ABCDEF，为的中点.(1) 求证：平面；(2) 求证：平面平面；21、直三棱柱中，.为的中点，点在上且.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.PBCDAEF22、如图，在底面是矩形的四棱锥中，面，、为别为、的中点，且， ，（1）求四棱锥的体积；（2）求证：直线平面. 23、如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，垂直于底面，分别为的中点。 (1)求证：；（2）求与平面所成的角；（3）求截面的面积。24、在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，、分别为的中点。（）求证：平面SAC（）证明：；（）求点到平面的距离。ABC25、如图，在三棱锥中，分别是的中点，,。（1） 求证：平面；（2） 求异面直线与所成角的余弦值；（3） 求点到平面的距离。8