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第二章：点、线、面之间的位置关系
【知识要点】
1. 点、线、面之间的位置关系
①　 四个公理
公理1： 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
符号表示： 。
公理2： 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3： 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点
的公共直线。
符号表示： 。
公理4： 平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行线的传递性）。
符号表示：
②　 直线之间的位置关系：
（1）平行：在同一平面内，且没有交点。
（2）相交：在同一平面内，有且只有一个交点。
（3）异面：不同在任何一个平面内，没有公共点
定理： 空间中如果有两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
③　 直线与平面之间的位置关系
（1）直线在平面内----有无数个公共点
（2）直线与平面相交--有且只有一个公共点
（3）直线与平面平行----没有公共点
注：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外
④　 平面与平面之间的位置关系
（1）两个平面平行---没有公共点 （2）两个平面相交---有一条公共直线
2. 直线、平面平行的判定与性质
①　 直线与平面平行
（1)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
符号表示： .
（2）性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面
的交线与该直线平行 符号表示：
②　 平面与平面平行
（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示： .
（2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示： 。

3. 直线、平面垂直的判定与性质
①　 直线与平面垂直
（1）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
符号表示：。
（2）性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行。
符号表示： 。
②　 平面与平面垂直
（1）判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号表示：。
（2）性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号表示：。

针对性练习题
一、选择题
1、下列说法正确的是
A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形
C.梯形一定是平面图形 D.平面和平面有不同在一条直线上的三个交点
2、垂直于同一条直线的两条直线一定
A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能
3、下列四个结论：
⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
4、已知，则直线与直线的位置关系是 （ ）
A．平行； B．相交或异面； C．异面； D．平行或异面。
5、下列叙述中错误的是 （ ）
A．若且，则； B．三点确定一个平面；
C．若直线，则直线与能够确定一个平面；
D．若且，则。
6、两条不平行的直线，其平行投影不可能是 （ ）
A．两条平行直线； B．一点和一条直线； C．两条相交直线； D．两个点。
7、在下列关于直线、与平面、的结论中，正确的是（ ）
A．若，且，则 B．若，且，则
C．若，且，则 D．若，且，则
8已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：
①若；②若；
③如果相交；
④若
其中正确的命题是 （ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
9、设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则 ②若，，，则
③若，，则 ④若，，则
其中正确命题的序号是 ( )
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④
10、下列说法不正确的是（ ）
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；
B．同一平面的两条垂线一定共面；
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.
11、四面体中，若，则点在平面内的射影点是
的 （ ）
A．外心； B．内心； C． 垂心； D．重心。
12、直三棱柱中，各侧棱和底面的边长均为，点是上任意一点，
连接，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13已知是两条异面直线，，那么与的位置关系 。
14、在三棱锥中,底面,
则点到平面的距离是 。
15、在长方体，底面是边长为的正方形，高为，则点到截面的距离为 。
16、已知为直线，为平面，有下列三个命题：
（1） ，则； （2） ，则；
（3） ，则； （4） ，则；
其中正确命题是 。
三、解答题
17、 如图：是平行四边形平面外一点，分别是上的点，且=。
求证：平面

18、已知四棱锥的三视图如下图所示，是侧棱上的动点.
(1) 求四棱锥的体积；
A
B
C
D
P
E
(2) 是否不论点在何位置，都有？证明你的结论；

19、如图，在正方体中，
（1）画出二面角的平面角；
（2）求证：面面

20、如图，已知平面，平面，△为等边三角形，
A
B
C
D
E
F
，为的中点.
(1) 求证：平面；
(2) 求证：平面平面；

21、直三棱柱中，，.为的中点，点在上且.
（1）求证：⊥平面；
（2）求三棱锥的体积.

P
B
C
D
A
E
F
22、如图，在底面是矩形的四棱锥中，面，、为别为、的中点，且， ，
（1）求四棱锥的体积；
（2）求证：直线∥平面.

23、如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分别为的中点。
(1)求证：；（2）求与平面所成的角；
（3）求截面的面积。

24、在三棱锥中，△是边长为的正三角形，平面平面，、分别为的中点。
（Ⅰ）求证：平面SAC
（Ⅱ）证明：⊥；
（Ⅲ）求点到平面的距离。

A
B
C

25、如图，在三棱锥中，分别是的中点，,。
（1） 求证：平面；
（2） 求异面直线与所成角的余弦值；
（3） 求点到平面的距离。

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